1、第 02 章 圆锥曲线与方程一、选择题：1. 【吉林省实验中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】椭圆 的两个焦点1 925 yx为 F1、F 2，过 F2的直线交椭圆于 A、B 两点，则 AB F1的周长为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 50【答案】B【解析】试题分析：由椭圆的定义得 ，所以AB F112120,10AFaBFa的周长为 ，故选 B.10AFB考点：椭圆的定义2. 【吉林省实验中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】设椭圆的两个焦点分别为F1、 、F 2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直 角三角形，则椭圆的离心率是 A
2、 2 B 21 C D 1【答案】D考点：1、椭圆的简单性质；2、离心率问题3. 【吉林省实验中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】设椭圆的离心率为 e ，右焦点为 F(c，0) ，方程 ax2bxc0 的两个2(0)xyab21实根分别为 x1和 x2，则点 P（x 1，x 2） A必在圆 x2y 22 内 B必在圆 x2y 22 上C必在圆 x2y 22 外 C以上三种情形都有可能【答案】A【解析】试题分析：由椭圆的离心率 e 得 ，方程 ax2bxc0 的两个实根分别为 x1213ba和 x2，由韦达定理得 ，所以1212,xxa，所以点 P 必在圆 x2y 22 内，故选 A
3、121212374考点：1、椭圆的性质；2、点与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的基本性质，点与圆的位置关系，属于中档题；先通过椭圆的离心率得出 的关系，由已知方程 ax2bxc0 的两个实根分别为 x1和ab、x2，再由韦达定理得 ；为了得出点 与圆12123,xxaPx2y 22 的关系，把点 的横坐标和纵坐标代入P，因此在圆内部211174xx4. 【吉林省实验中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】 为曲线)0,3(,(21FP上任意一点，则145yxA B021PF1021PFC D 【答案】B考点：1、椭圆的定义；2、点与椭圆的位置关系【思路点晴】由曲线 ，可以
4、联想到椭圆方程 ；由题意知方程145yx2156xy所对应的曲线为连接椭圆四个顶点围成的四边形，并且该四边形在椭圆的内部145yx（四个顶点在椭圆上） ，因此 B为正确选项；本题以曲线为载体，考查类比思想、数形结合思想，以及椭圆的定义，正确的类比联想是解此题的关键，本题属于难题5. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】抛物线 的焦点24yx=坐标是（ ）A、 B、 C、 D、(2,0)(2,0)-(1,0)(1,0)-【答案】C【解析】试题分析：抛物线 的焦点坐标是 ，所以抛物线 的焦点坐标是2ypx=(,0)2p24yx=(1,0)考点：抛物线的定义6. 【湖南
5、省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的焦距与短轴长之比为（ ）A、 B、 C、3 D、133 3【答案】D【解析】试题分析：由题意知 ，而 ，所以 ，答案2ab=22()3cabb-=-3cb=为D考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的简单性质7. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】设 、 是双曲线的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则的面积等于（ ）A、 B、 C、24 D、48【答案】C【解析】试题分析：由双曲线的定义知 ，联立，得 ，而 ,则 是直角三角形，所以面积为 24，答案为C考点：1、双曲
6、线的性质；2、焦点三角形的面积8. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】已知双曲线的焦距为 10，点 在 的渐近线上，则 的方程为（ ）2:1xyCab-=(2,1)PCCA、 B、 C、 D、20550xy-=2180xy-=2108xy-=【答案】A【解析】试题分析：双曲线 的渐近线为 ，点 在 的渐近线上得2:1xyCab-=byxa=(2,1)PC，又 ， ，联立得 ，所以 的方程为2ab=10c22c+05=，故选A05xy-考点：1、双曲线的性质；2、渐近线方程9. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】下面有四个命题：椭圆
7、 的短轴长为 1； 双曲线 的焦点在 轴上；2xy+=21xy-=x设定点 ，动点 满足条件 ，则动点12(0,3)(,F-(,)P12(0)PFa+的轨迹是椭圆；P抛物线 的焦点坐标是 .其中真命题的个数为：_.28yx=(0,)【答案】1考点：1、椭圆的性质；2、双曲线的性质；3、抛物线的性质【易错点晴】本题以命题的真假判断为载体，考查了圆锥曲线的定义、性质及方程，是一道综合性比较强的题，属于中档题；熟练掌握圆锥曲线的定义和性质，标准方程是解答正确该题的关键；是易错选项，根据题目所给条件判断不出轨迹是椭圆，一定要分类讨论，当 三种取值范围不同时，动点 的轨迹也不相同6,aP10. 【西藏日
8、喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】已知点 ，抛2,0A物线 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其准线相交于点 ，C:24xyFAC则 （ ）FA B C D:51:21:51:3【答案】C【解析】试题分析：过点 M作 轴于点 B。设 ，则 .易知点 A为 FN的xmFM1B中点，且 ， 。利用三角形相似得，52AN2F51Asin即 ，解得 ,所以 .故选，OB1m12512mNC。考点：抛物线的综合应用。11. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】已知双曲线（ ， ）的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）21xya
9、b0ab43yxA B C D5343532【答案】A【解析】试题分析：由渐近线方程得， .故选 A。34ab3512abe考点：求双曲线的离心率。12. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上，若 ， ， 是一个直角三角2169xy1F21F2形的三个顶点，则点 到 轴的距离为（ ）xA B C D539794【答案】D【解析】试题分析：可以证明，焦点三角形中，当点 P在椭圆短轴端点时， 最大。在该椭圆21PF中，可计算最大时仍为锐角，即直角三角形的顶点只可能是焦点，所以点 到 轴的距离x为点 P的纵坐标 y的绝对
10、值 。将 代入椭圆方程得， ,所以 。)(cx或 49yy故选 D。考点：椭圆上点与两个焦点构成的三角形（也叫焦点三角形） 。13. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】设 ， 是双曲线1F2（ ， ）的两个焦点， 是 上一点，若 ，且C:21xyab0abC6a的最小内角为 ，则 的离心率为（ ）12F3CA B C D2343【答案】C考点：求双曲线的离心率。【方法点睛】求双曲线的离心率问题：一、通过基本量运算求出，a,b,c,从而求出离心率。二、只需给出一个条件列出关于 a,b,c三个量的一个等量关系，并将 代入消去22bacb，从而得到关于 a,c的二
11、次齐次方程，然后将方程两边同时除以 得到关于 即 的一e元二次方程求解即可。本题是利用余弦定理直接得到 a,c的二次齐次方程求解即可。14. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】抛物线的焦点坐标是（ ） 24xyA. B. C. D.(0,1)(1,0)1(0,)6(,0)【答案】A【解析】试题分析：由抛物线的交点坐标公式可知，该抛物线的焦点纵坐标是 ，故交点坐标41是 .(0,1)考点：抛物线的性质.15. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】焦点在 轴x上的椭圆 的焦距为 ，则长轴长是 （ ）21(0)xy
12、a42A. B. C. D.3662【答案】B【解析】试题分析：由题意可知 ，所以长轴长为，故选 B.313242nn考点：椭圆的性质.16. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】方程表示椭圆，则 的取值范围是（ ）214xyttA. B. 或 C. D. 或1t4t 512t4t【答案】D【解析】试题分析：由题意可知 ，所以 的取值范围是 或 .401ttt512t4t考点：椭圆的标准方程.17. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】过的直线 与双曲线 仅有一个公共点，则这样的直线 有（ ）条(4,1)Pl2
13、14xylA.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】试题分析：双曲线方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ，过点214xy12yx，斜率 的两条直线与该双曲线只有一个公共点，过点 且与该双(4,1)P1k (4,)P曲线只有一个公共点的直线有 2 条故选 B考点：双曲线的简单性质18. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】 直线与椭圆 相切，则 的值为（ ）yxm21xymA. B. C. D.313【答案】A考点：直线与抛物线的位置关系.19 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】已知斜率为的直线 与双曲线 相
14、交于 两点，且 的中点为 ，1l )0,(12bayx BA、 )3,1(M则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C Dxy3xy3xy31xy3【答案】B【解析】试题分析：设 ，则 两式相减可得：12()()AxyB， ， ， 212xyab，斜率为 的直线 与双曲线12121212()()0xyab1l相交于 两点， 的中点为 ，2()0yb， AB， 、 3(1)M， 故选：B23OMka 3byxa考点：双曲线的简单性质20 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】倾斜角为的直线 经过抛物线 的焦点 ，与抛物线相交于 两点，则弦 的长为4l24yxF
15、,AB（ ）A. B. C. D. 2 68【答案】D考点：双曲线的简单性质【思路点睛】本题主要考查了抛物线的应用以及直线与圆锥曲线的综合问题和方程的思想，解答本题时，首先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线 的方程组24yx成方程组，消去 得到关于 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即yx可求线段 的长AB21. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】直线与双曲线 的左支有两个公共点，则 的取值范围是1ykx21xykA B. C. D. (2,0)(2,)(2,1)(2,1【答案】C【解析】试题分析：联立方程直线 与双曲线
16、得 ；1ykx21xy20()kx若直线 与双曲线 的左支交于不同的两点，则方程有两个不等的负1ykx2根， 解得： ，故选：C.2224801()k(2)1k，考点：双曲线的简单性质【思路点睛】本题考查的知识点圆锥曲线中的范围问题，首先根据直线 与双曲1ykx线 的左支交于不同的两点，可得直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，进21xy而构造关于 的不等式组，然后再解不等式可得答案；其中分析出题目的含义是直线与双k曲线联立方程有两个不等的负根，是解答的关键22. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】在直角坐标系中， 为坐标原点， 为 轴正方向上的单位
17、向量，动点 满足OixP，则 的最大值为（ ）243Pi|OPA. B. C. D. 223【答案】D【解析】试题分析：设 ， ，所以(1,0)i(,)Pxy，表示平面上一点 到两点222 43OPy P的距离之和为定值 ，且 ，所以点 的轨迹是以 为(,0), 43P(2,0),焦点，中心为原点，长轴为 的点的椭圆，所以 的最大值为 .|O考点：1.向量的模；2.两点之间的距离；3.椭圆的定义.【思路点睛】本题主要考查了两点之间的距离公式和椭圆的定义，解决本题的关键是将，转化为两点的距离，可得243OPii，再将关系式2xyxy与椭圆的定义相结合，即可得到点 的轨迹是以2 43P为焦点，中心
18、为原点，长轴为 的点的椭圆，进而求出结果.(,0),23. 【四川省绵阳南山中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】经过点 P（2,1）且与抛物线 只有一个公共点的直线的条数为xy42A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】试题分析：设过点 的直线为 ，代入抛物线得 ，由P12ykx2480yk得 ，方程有 2 根，所以直线与抛物线相切时有两条直线，当直线与抛0210k物线相交且 时只有一个公共点，因此所求直线有 3 条，故选 C考点：直线与抛物线的位置关系24. 【四川省绵阳南山中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】已知双曲线（ ， ）的两条渐近线均和圆 ： 相切，
19、且12byax0ab 0562xy双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为CA. B. 452 1542yxC. D. 1632yx 362【答案】A考点：1.双曲线方程及性质；2.直线与圆相切的位置关系25. 【四川省绵阳南山中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】已知椭圆210xyab与双曲线 210,xymnn 有相同的焦点 ,0c和 ,，若c是 ,m的等比中项， 2n是 2与 c的等差中项，则椭圆的离心率是A. B. C 4 D 3【答案】D【解析】试题分析：由椭圆双曲线焦点均为 ,0c和 ,可知 ，由 c是222,abcmn,am的等比中项， 2n是 2m与 的等差中项
20、可得 ，由,， 可得到 ，代入 得 ，将其代入2cc3nm22c得 ， ，所以 ，故选 D412ea考点：1.椭圆双曲线方程及性质；2.等比中项等差中项【方法点睛】求椭圆双曲线的离心率的题目是圆锥曲线部分常考题型，求解时首先由方程求解 的值，利用 可求得离心率，或由已知条件找到关于 的齐次方程，如,abccea,abc的形式，两边同除以 即可得到关于离心率 的方程，从而求得离心220pq2e率的值，本题中由已知条件可得到 与 的关系，将 值用 表示出来，通过,bc,mn,c,mn两者间的关系即可求得 比值,mna26. 【四川省绵阳南山中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】双曲线的两
21、焦点为 在双曲线上,且满足 , 则21()xyn12FP12PFn的面积为( )21FPA.1 B. 1C.2 D.4【答案】A【解析】试题分析：假设点 在右支上，由双曲线定义可知P12PFn12Fn2,Fn2221211PF2P的面积为 ，故选 A1F12SP考点：双曲线方程及性质【方法点睛】双曲线椭圆的焦点三角形面积的问题是常考的题目，求解时主要利用余弦定理和双曲线椭圆定义，双曲线的焦点三角形面积公式为 椭圆的焦点三角形面2cot,Sb积公式为 其中 ，以椭圆为例，公式推导如下：2tan,Sb12FP22112 112cos cosFPPF212124cosabca ，双曲线22212 2
22、sincosiintancobSPFb 2tanS焦点三角形面积公式推导与椭圆类似27.【江西省吉安市第一中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】设 是椭圆12,F的左右焦点，过点 作 x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，21xyab(0)12,F则椭圆的离心率 e 为( )A B C D51231223【答案】A【解析】试题分析：由题意推出椭圆上的点的坐标，代入椭圆方程，得到 a，b，c 的关系，然后求解椭圆的离心率即可是椭圆 的左右焦点，过点 作 x 轴的垂线交椭圆四点构12,F21xyab(0)12,F成一个正方形，所以 是椭圆上的点，可得,c222424211caaacacb
23、， ， ，故选 A.423530ee考点： 椭圆的简单性质二、填空题：1. 【吉林省实验中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】若方程 1322myx表示椭圆，则 m的取值范围是_【答案】 (1,2),3U【解析】试题分析：由于方程1322myx表示椭圆，可得 ，解得 ，103m13m且 ，故答案为 .2m(1,),U考点：椭圆的标准方程2. 【吉林省实验中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】中心在坐标原点，焦点在 轴x上的椭圆经过点 ，椭圆的两个焦点分别为 F1、 、P)4,3(F2，若 ，则椭圆的方程为_21【答案】 045yx【解析】试题分析：不妨设椭圆方程为 ，把点
24、代入 得 ；21xyabP)4,3(21xyab2961ab又 ，即 ，解得 ；在椭圆中有 ，联立21PF43c5c22c得 ，故椭圆的方程为 .296ab25,0ab1042yx考点：1、椭圆的性质；2、垂直时斜率的关系【思路点晴】先根据中心在坐标原点，焦点在 轴上，设出椭圆的标准方程，代入已知点的坐标，得出 的一个关系式；再根据 ，知 ，求出 的知，ab、 21PF12PFkc得到 的另一个关系式，联立可得 的值，所以椭圆的方程可得；本题考查的是椭、 ab、圆的标准方程、椭圆的性质、两直线垂直时斜率的关系，属于中档题3. 【吉林省实验中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】过椭圆的
25、左顶点 的斜率为 的直线交椭圆 于另一个点 ，且点)0(1:2bayxCAkCB在 轴上的射影恰好为右焦点 ，若 ，则椭圆的离心率的取值范围是BF213_【答案】 )32,1(【解析】试题分析：由图知 ，点 在 轴上的射影恰好为右焦点 ，把 代入椭圆AFacBxFxc得 ，所以 ；又 ，即2acB2tnFackA213k，解得 ，所以答案为 .22111,33ece),(.考点：1、椭圆的性质；2、直线的倾斜角和斜率；3、直线和椭圆的位置关系【思路点晴】本题考查的是椭圆和直线的位置关系、椭圆的几何性质和直线的斜率的知识，属于中档题；解此类问题时，数形结合是解决问题的关键先根据图形，得出， ，从
26、而求出斜率的表达式 ；AFac2acB 2tanBFackA再根据 和椭圆的几何性质，即可求出椭圆离心率的取值范围13k4. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】已知点，动点 满足条件 ，则动点 的轨迹方程 (2,0)(,MNP|2MPNP【答案】21(0)xy【解析】试题分析：依题意，点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，又PN， ， 所求方程为：202)(MN， ， ， ， 2ca，.1xy考点：双曲线的定义.5. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】设 分21F，别为椭圆 的左、右焦点，椭圆上存在一点 ，
27、使得21(0)xyabP则椭圆的离心率为 12123|,|,PFPFa【答案】 3【解析】试题分析：由 双 曲 线 的 定 义 可 得 ， ， 由12PFa， 则 有12123|,|,PFbPFab， 即 有 （ 3b-4a） （ 3b+a）213|,|a=0，即 有 ， 所 以 2b223,2cbcabea考点：椭圆的离心率.【思路点睛】本题考查双曲线的定义和性质：离心率，由双曲线的定义可得， 再由条件，即可得到 的关系，再由椭圆的性质可得 的12PFaab， abc， ，关系式，结合离心率公式，即可求得6. 【四川省绵阳南山中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】如图所示，一隧道内
28、设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 0.5 米。若行车道总宽度 AB 为 6 米，则车辆通过隧道的限制高度是 米（精确到 0.1 米）【答案】3.2【解析】试题分析：取抛物线的顶点为原点，对称轴为 y轴，建立直角坐标系，设抛物线方程 ，将点 C代入抛物线方程得 ，抛物4,C20xpy2p线方程为 ，行车道总宽度 AB=6m，将 代入抛物线方程， ，2xy3x.5ym隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 米限度为 ，则.5d6.3d车辆通过隧道的限制高度是 3.2考点：抛物线的应用【方法点睛】本题主要考
29、查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，求解时首先建立合适的坐标系（以抛物线的顶点为原点建系） ，通过点的坐标得到曲线对应的抛物线方程，求得抛物线上点的坐标，从而可确定车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上的距离，使其满足最小为 ，进而3,y 0.5得到车辆的最大高度7.【江西省吉安市第一中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】如图，椭圆，圆 ，椭圆 C 的左、右焦点分别为 ，过2:14xyCa(2)22:4Oxya12,F椭圆上一点 P 和原点 O 作直线 交圆 O 于 M，N 两点，若 ，则l 12|6PF的值为 .|MN【答案】6【
30、解析】试题分析：设出 P 的坐标，把 P 的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及，求得 P 的横纵坐标的平方和，由对称性得到12|6F，代入横纵坐标的平方和后整理得答案22044MNaOaxy设 P 在椭圆上， 0,xy（ ） ， 2200214xa， （ ） ， 221200 06664Faexe， ， ， ，由对称性得 2222 220 664444aaPMNaOaxy 考点：椭圆的简单几何性质【方法点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单三
31、、解答题 1. 【吉林省实验中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】(本题满分 12 分）如图，已知圆 ，直线 是圆的一条切线，且 与椭1:2yxO)0,(:bkxyl l圆 交 12yx于不同的两点 .BA,（1）求 与 的关系；kb（2）若弦 的长为 ，求直线 的方程.34l【答案】 （1） 与 的关系为 ；（2）直线 的方程为 kb12kl2:xyl【解析】试题分析：（1）根据圆的切线的性质，知圆心到切线的距离等于半径，即，化简得 ；（2） 设 ，把直线方程与椭12kd12kb ),(),(21yxBA圆方程联立，根据韦达定理得 ，代入弦长公式2,4kbkx中，再根据（1）中的结
32、论求出 ，所以直线 的方程为21ABkx,1l:yl试题解析：（1） 直线 与圆的相切，圆心到直线的距离 ，l12kbd；12kb（2）由 消去 得： ，2yxb 024)21( bkx设 ， ，),(),(21BA 221,kx 221211()4kxkx2413 .,bk:yl考点：1、圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的定义、直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题；解答此类问题时一定要先把直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示出 和 的关12x1系式，再代入弦长 中，联立方程即可求出 与 的值，从而得直线21ABkxkb的方程为 l:xyl2. 【吉林省实验中
33、学 2015-2016学年高二上学期期中考试】 （本题满分 12 分）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆 内1)(:2M9)1(:2yxNPMN切，圆心 的轨迹为曲线 .PC（I）求曲线 的轨迹方程；（II） 是与圆 以及圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于两点 ，当圆 的半l lCBA,P径最长时，求 的长.AB【答案】 （I）曲线 的轨迹方程为 ；（II） 的长为 或 C21(2)43xyxAB23187【解析】试题分析：（I）设动圆 的半径为 ，由动圆 与圆 外切并且与圆 内切得PRPMN，而 ，由椭圆的定义知，动点 的轨迹是以134PMNR2NP为焦点，4 为长轴长的椭圆，求出轨
34、迹即可；（II）由于、，所以 ；当且仅当圆 的圆心为 ， 时，222,0R其半径最大，其方程为 .再分：当直线 的斜率存在和不存在两种情况讨()xyl论即可求出弦长试题解析：（）由圆 的方程知，圆心 ，半径为 1；圆1)(:2yxM1,0M的圆心 ，半径为 3；设动圆 的半径为 ，由动圆 与圆9)1(:2yxN,0NPRP外切并且与圆 内切得 ，而 ，由椭圆的定4PR2N义知，动点 的轨迹是以 为焦点，4 为长轴长的椭圆，所以、，因此曲线 的轨迹方程为 .22,13acbacC21()43xyx（）设曲线 上任意一点 ，由于 ，所以 ；C,Pxy 2MPNRR当且仅当圆 的圆心为 ， 时，其半
35、径最大，其方程为 .02R()4xy当直线 的斜率不存在时，则 与 轴重合，可得 ；lly23AB当直线 的斜率存在时，由于圆 的半径 ，可知 与 轴不平行；设 与 轴的交点1ll为 ，则 ，可得 ，所以可设 ，由 于 相切可得QPMr4,0Q:4lykxlM，解得 ；231k2k当 时，联立 ，得 ， ，4k2413yx2780x12128,7xx所以 ；21()4()47ABkx由于对称性可知，当 时，也有 .18AB综上可知， 的长为 或 .AB23187考点：1、椭圆的定义及性质；2、圆与圆的位置关系；3、直线与圆锥曲线的位置关系【方法点晴】本题综合考查了两圆的位置关系、直线与圆相切的
36、问题、椭圆的定义及性质以及直线与椭圆的位置关系等，是一道综合性非常强的题目，属于难题；解此类问题需要较强的推理能力和计算能力、分类讨论的数学思想.涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用：直线与曲线联立后得到一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式，使得问题简化，此类题目是高考试卷中常见的压轴题3. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】 （本小题 10分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点在双曲线 上，求抛物线方程.【答案】抛物线方程为 y28 x或 y28 x【解析】试题分析：先表示出双曲线的顶点，根据题意即可求出抛物线的方程.试题解析：由题意知抛物线的焦点为双
37、曲线Error!Error!1 的顶点，即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为 y28 x或 y28 x . 考点：1、双曲线的性质；2、抛物线的定义4. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】 （本小题 12分）命题方程 是焦点在 轴上的椭圆，命题 函数在 上单调递增.若 为假，为真，求实数 的取值范围.【答案】实数 的取值范围是 1 2或 3【解析】试题分析：对于命题 ：方程 是焦点在 轴上的椭圆可得 2.对于命题 ，由 0 对 恒成立得 1 3.由为假， 为真得 一真一假，分类讨论即可.试题解析：对于命题 ，由条件可得 2.对于命题 ，由 0 对 恒成
38、立得0 1 3.由 为假， 为真得 一真一假，若 真 假时，则可得 3，若 假 真时，则可得 1 2，综上可得， 的取值范围是 1 2或 3.考点：1、逻辑关系；2、椭圆的性质；3、函数的性质5. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 .（1）求双曲线 的方程；（2）若直线 与双曲线 恒有两个不同的交点 和 ，且（其中 为原点） ，求 的取值范围.【答案】 （1）双曲线 的方程为 ；（2） 的取值范围是.【解析】试题分析：（1）设双曲线 ， 由已知得 ， ，再由，得 ，故双曲线 C的方程为 ；（2）将 代入 ，由直线
39、与双曲线交于不同的两点得 且 ，由 得，于是 2，解得 ， 故 的取值范围为 试题解析：（1）设双曲线 ， 由已知得 ， ，再由，得 ，故双曲线 C的方程为 4分（2）将 代入 得 .由直线 与双曲线交于不同的两点得且 且 则 ， ，由 得 ，而 8分于是 2，即 ， 解此不等式得 ， 由得 ， 故 的取值范围为 . 12分考点：1、双曲线的性质；2、向量的数量积；3、参数取值问题【思路点晴】本题考查的是双曲线的性质、向量的数量积、参数取值范围等问题，属于难题；先根据双曲线的定义求出 的值，进而用待定系数法求得双曲线的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和双曲线方程联立
40、得到关于 的二次方程，由直线 与双曲线交于不同的两点得到关于 的一个不等式，用韦达定理写出两个根的关系，代入 公式中，再得到关于的 的不等式，联立即可求出取值范围6. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】 （本题满分 12分=5+7）椭圆 （ ）的上顶点为 ， 是 上的一点，以 为直C:21xyab0aA4,3bCA径的圆经过椭圆 的右焦点 F（1）求椭圆 的方程；（2）动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，问：在 轴上是否存在两个定点，它们到直l x线 的距离之积等于 ？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由l1【答案】 （1） ；（2）存在两个
41、定点 ， ，使它们到直线 的2xy1,021,l距离之积等于 。【解析】试题分析：（1）设 。以 为直径的圆经过椭圆 的右焦点 即 ，从F,0cACF0A而得到 b,c的一个方程，然后将点 P代入椭圆方程得到 a,b的一个方程，再结合,三个量三个方程，从而求出参数 a,b，进而求出椭圆方程；（2）是否存在性22cba问题应假设存在去求解。当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，由其与椭圆有l ykxm且只有一个公共点得到 。假设存在两点 ， 满足题设，然21mk1,02,后得到 。因与参数 k,m无关，所以令其系数12d122等于零即可求出。（2）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，代入椭圆方程，
42、消去 ，l ykxmy整理得 （ ）22140kxkm方程（ ）有且只有一个实根，又 ，1所以 ，得 8分02假设存在 ， 满足题设，则由1,2,022112122 1kkmkmd 对任意的实数 恒成立，112k所以， 解得， 或1201212当直线 的斜率不存在时，经检验符合题意l总上，存在两个定点 ， ，使它们到直线 的距离之积等于 121,2,0l1分考点：求椭圆方程；存在性问题。【方法点睛】 （1）求椭圆方程常用的方法是待定系数法（本题即使用该法） ，即根据题意确定方程是那种形式（ 或 ）,然后根据条件求出 a,b即可。21xyab21(0)xab另外，常用定义法，即根据题意动点满足到
43、两定点距离之和等于定长且定长大于两定点间的距离，从而求出椭圆方程。 （2）是否存在性问题，常假设存在去求解，如果求出存在；如果求不出即不存在。本题是假设存在，并求出 ，则21121kkm要使其恒成立，需有参数的系数等于零即可求解。7. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试】 （本题满分12 分） 直线 经过椭圆 的右焦点，与椭圆交于 、 两点，且 ，l21xyAB827A求直线 的方程.【答案】 :3()lyx【解析】试题分析：首先由题意可知，联立方程然后再根据弦长公式可得22221()4(1)0xykxkk，最后利用点斜式即可求出结果.2()817AB
44、3试题解析：由题意可知，联立方程5分2222(1)4(1)0xykxkk 28(1)kA10分2228()()1117ABkk3k12分.:3()lyx考点：直线与椭圆的位置关系.【一题多解】设直线 的倾斜角为 ， ，由过焦点的弦长公式l2,1abc，可得 ，所以2cosabAB218cos7ostan32直线 .:3(1)lyx8. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】设椭圆 C：的离心率与双曲线 x2y 21 的离心率互为倒数，且 在椭21xyab(0) (2,1)P圆上.（） 求椭圆 C 的方程；（） 若椭圆 C 左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆 C 相交于 两点，求21F， 1l,AB面积的最大值2FAB【答案】 （） ；（）214xy2【解析】试题分析：（）双曲线的离心率公式可得 ，得 ，再将点21cbea2ab代入椭圆方程，可得， ，即可求出椭圆方程；（）设过 的直线 ：1(2)P， 2b 1Fl，将其与与 联立得， ，由韦达定理myx14xy2()20my得，和弦长公式可得 ，由点到直线的距离公式212|()AB
