1、复数性质的妙用复数有很多特殊的性质，如果能在解题的过程中灵活地加以运用，就会收到事半功倍的效果.一、虚数 i的性质及其应用与虚数单位 相关的性质有： 21i（即 的平方根是 i） ；若 nN，则 41ni， 421n， 43ni， 41n； 2()i； 1i； 1230nni， 1231()nniiN例 1 计算198i解析：919829()(1)ii，19833()iii二、共轭复数的性质及其应用设复数 z的共轭复数为 z，则有如下性质： ； 1212zz； ； 122(0)z； z为实数 z， 为纯虚数 z例 2 设复数 12满足 12120A，其中 5A，求 12zA的值解析： 1212
2、12zAzAzA()，把 12120zz代入上式，得 2125zA三、 的应用例 3 设复数 z满足 2，求 24z的最值解析：由题意， 4，则 2(1)zz设 (22)zabib， ，则 421abiia当 1时， min40z；当 2a时， 2max10z四、纯虚数的性质及其应用命题 设 z 为非零复数，若 z 为纯虚数，则对任意非零实数 a，有za成立反之，若 a是非零实数，且 za，则 z为纯虚数证明：由两复数差的模的几何意义可知，复数 对应点的轨迹为复平面上复数 a 与 对应点连线的中垂线.显然其中垂线为虚轴.因而复数 z为纯虚数，反之亦然.例 4 解方程 465ziizi解析：原方程可化为 (4)i，若 450z，则 z，原方程不成立， 450z z 为纯虚数由命题知， z， 6zi ，即 56zi
