1、第 2 课时 余 弦 定 理1.了解向量法证明余弦定理的推导过程 .2.掌握余弦定理及其推论 .3.能够利用余弦定理及其推论解三角形 .如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度 .工程技术人员先在地面上选一适当的位置 A,量出 A 到山脚 B、 C 的距离,其中 AB= km,AC=1 km,再3利用经纬仪测出 A 对山脚 BC(即线段 BC)的张角 BAC=150,你能通过计算求出山脚的长度BC 吗?问题 1:上述问题中,山脚 BC 长度的求解用的是余弦定理,余弦定理的内容是什么?余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的
2、积的两倍,这个定理是余弦定理,可以用式子表示为 a2= 、 b2= 、 c2= . 问题 2:余弦定理的推论:cos A= ;cos B= ;cos C= . 问题 3:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具:(1)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用 的观点,可以知三求一 . (2)利用余弦定理可以完成三种情形的斜三角形,分别是: 已知 ,解三角形; 已知 ,解三角形; 已知 ,解三角形 . 问题 4: ABC 的三边为 a,b,c,对角分别为 A,B,C,则:(1)若 ,则角 C 是直角; (2)若 ,则角 C 是钝角; (3)若 ,则角 C 是锐角 .
3、1.在 ABC 中, abc= 3 5 7,则 ABC 的最大角为( ).A.100 B.135 C.120 D.1502.设 ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 c= ,b=2a,C= ,则边 a 等于( ).33A. B.1 C. D.212 323.(1)以 7,24,25 为各边长的三角形是 三角形; (2)以 2,3,4 为各边长的三角形是 三角形; (3)以 4,5,6 为各边长的三角形是 三角形 . 4.在 ABC 中,已知 a2=b2+bc+c2,求角 A.已知三角形的三边解三角形在 ABC 中,已知 abc= 2 ( +1),求 ABC 各角的度数
4、.6 3已知两边及其中一边的对角解三角形在 ABC 中, a=3 ,b=3,B=30,解这个三角形 .3利用余弦定理判定三角形形状已知 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(4,-1),n=(cos2 ,cos 2A),2且 mn= .72(1)求角 A 的大小;(2)若 b+c=2a=2 ,试判断 ABC 的形状 .3在 ABC 中,若 sin Asin Bsin C=23 .则该三角形的最大内角为 . 19在 ABC 中, a= ,b=1,B=30,解这个三角形 .3在钝角 ABC 中, a=1,b=2,则最大边 c 的取值范围是 . 1.在 ABC 中,
5、sin A sin B sin C=3 2 4,则 cos C 等于( ).A.- B.- C. D.23 14 14 232.在 ABC 中,已知 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角 C 等于( ).A.60 B.45或 135 C.120 D.303.在 ABC 中, A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2+c2=b2+ac,则 cos B= . 4.已知在 ABC 中, a=8,b=7,B=60,求 c.(2013 年新课标全国卷)已知锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b 等于( ).A.10
6、 B.9 C.8 D.5考题变式(我来改编):第 2 课时 余 弦 定 理知识体系梳理问题 1:b2+c2-2bccos A c2+a2-2accos B a2+b2-2abcos C问题 2: 2+222 2+222 2+222问题 3:(1)方程 (2)三边 两边及其夹角 两边及其一边的对角问题 4:(1)a2+b2=c2 (2)a2+b2c2基础学习交流1.C 设三边分别为 3k,5k,7k,则角 C 为最大角,根据余弦定理:cos C= =2+222=- ,C= 120.(3)2+(5)2(7)2235 122.B cos C= = = ,解得 a=1.2+222 52342 123.
7、(1)直角 (2)钝角 (3)锐角 (1)72+242=252, 三角形为直角三角形;(2)22+32-420, 三角形为锐角三角形 .4.解:由已知得 b2+c2-a2=-bc, cos A= =- ,2+222 12又 00),6 3由余弦定理有:cos A= = = ,A= 45,2+222 6+(3+1)2426(3+1) 22cos B= = = ,B= 60,2+222 4+(3+1)2622(3+1) 12C= 180-45-60=75.【小结】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角 .探究二:【解析】根据余弦定
8、理得: b2=c2+a2-2cacos B,即 c2-9c+18=0,解得: c=3 或 c=6.当 c=3 时,cos A= =- ,2+222 12A= 120,故 C=180-120-30=30;当 c=6 时,cos A= = ,2+222 12A= 60,故 C=180-60-30=90.综上可知: A=60,C=90,c=6 或 A=120,C=30,c=3.【小结】已知三角形的两边与一角求第三边,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角 .若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可
9、以两次应用正弦定理求出第三边) .探究三:【解析】(1) m= (4,-1),n=(cos2 ,cos 2A),2m n=4cos2 -cos 2A=4 -(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3.2 1+2又 m n= ,- 2cos2A+2cos A+3= ,解得 cos A= . 00),23 19则 b=3x,c= x.显然 cba,19C 是最大角 . cos C= = =- ,C= .2+222 (2)2+(3)2(19)2223 12 23应用二:(法一)根据余弦定理得:b2=c2+a2-2cacos B,即 c2-3c+2=0,解得: c=1 或 2.当 c=1
10、时, C=B=30,A= 120;当 c=2 时, ABC 为直角三角形, C=90,A= 60.(法二)可由正弦定理 = 得 sin A= = ,A= 60或 120. 32当 A=60时, C=90,c= 2;当 A=120时, C=30,c= 1.应用三:( ,3) 根据余弦定理得:cos C= = ,52+222 524C 为最大角, C 为钝角,即 cos C= ( -1,0),524解得: c3.5基础智能检测1.B 由正弦定理得 abc= 3 2 4,cos C= =- .2+222 142.B a 4+b4+c4=2c2(a2+b2),a 4+b4+c4-2a2c2-2b2c2
11、=0,即( a2+b2-c2)2=2a2b2, = ,即 cos C= ,故 C=45或 135.2+222 22 223. cos B= = = .12 2+222 2124.解: b 2=c2+a2-2accos B, 72=c2+82-28ccos 60,c 2-8c+15=0,故 c=3 或 c=5.全新视角拓展D 根据题目条件 23cos2A+cos 2A=0,得 23cos2A+2cos2A-1=0,即 cos2A= .又因为三角125形为锐角三角形,所以 cos A= ,由余弦定理得, a2=b2+c2-2bccos A,即 72=36+b2- b,化简得15 1255b2-12b-65=0,解得 b=5,所以答案为 D.
