1、2.3.1 直线与平面垂直的判定及其性质一、选择题1直线 l 与平面 内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面 的位置关系是( )A平行 B垂直C在平面 内 D无法确定解析：选 D 当平面 内的两条直线相交时，直线 l平面 ，即 l 与 相交，当面 内的两直线平行时， l 或 l 或 l 与 斜交2下列说法中正确的个数是( )若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l .若直线 l 与平面 内的两条相交直线垂直，则 l .若直线 l 与平面 内的任意一条直线垂直，则 l .A3 B2C1 D0解析：选 B 对于不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错
2、误的，是正确的3.如图所示，如果 MC菱形 ABCD 所在平面，那么 MA 与 BD 的位置关系是( )A平行 B垂直相交C垂直但不相交 D相交但不垂直解析：选 C 连接 AC，因为 ABCD 是菱形，所以 BD AC.又 MC平面 ABCD，则 BD MC.因为 AC MC C，所以 BD平面 AMC.又 MA平面 AMC，所以 MA BD.显然直线 MA 与直线 BD不共面，因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交4在 ABC 中， AB AC5， BC6， PA平面 ABC， PA8，则 P 到 BC 的距离是( )A. B25 5C3 D45 5解析：选 D 如图所示，作 P
3、D BC 于 D，连 AD. PA平面 ABC， PA CD. CB平面 PAD， AD BC.在 ACD 中， AC5， CD3， AD4.在 Rt PAD 中， PA8， AD4， PD 4 .82 42 55正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成的角的余弦值为( )A. B.23 33C. D.23 63解析：选 D 如图，设正方体的棱长为 1，上、下底面的中心分别为O1、 O，则 OO1 BB1， O1O 与平面 ACD1所成的角就是 BB1与平面 ACD1所成的角，即 O1OD1，cos O1OD1 .|O1O|OD1| 132 63二、填空题6.在三棱锥
4、 VABC 中，当三条侧棱 VA、 VB、 VC 之间满足条件_时，有 VC AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)解析：只要 VC面 VAB，即有 VC AB；故只要 VC VA， VC VB 即可答案： VC VA， VC VB(答案不唯一，只要能保证 VC AB 即可)7.如图， BCA90， PC平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所在的直线中：(1)与 PC 垂直的直线有_；(2)与 AP 垂直的直线有_解析：(1) PC面 ABC， AB， AC， BC平面 ABC. PC AB， PC AC， PC BC.(2) BCA90即 BC AC，又 BC PC， AC PC
5、C， BC面 PAC， BC AP.答案：(1) AB， AC， BC (2) BC8. 正方体 ABCD A1B1C1D1中，面对角线 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角为_解析：连接 A1C1，交 B1D1于 E，则 A1C1 B1D1，即 A1E B1D1.又DD1 A1C1，即 DD1 A1E， A1E平面 BB1D1D.连接 BE，则 A1BE 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角在 Rt A1BE 中， A1E A1B，12 A1BE30，即 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角为 30.答案：30三、解答题9.如图，在直角三角形 BMC 中， BCM90， MB
6、C60，BM5， MA3 且 MA AC， AB4，求 MC 与平面 ABC 所成角的正弦值解：因为 BM5， MA3， AB4，所以 AB2 AM2 BM2，所以 MA AB.又因为 MA AC， AB、 AC平面 ABC，且 AB AC A，所以 MA平面 ABC，所以 MCA 即为 MC 与平面 ABC 所成的角又因为 MBC60，所以 MC ，532所以 sin MCA .MAMC 3532 23510.如图，在锥体 P ABCD 中， ABCD 是菱形，且 DAB60，PA PD， E， F 分别是 BC， PC 的中点证明： AD平面 DEF.证明：取 AD 的中点 G，连接 PG， BG. PA PD， AD PG.设菱形 ABCD 边长为 1.在 ABG 中， GAB60， AG ， AB1，12 AGB90，即 AD GB.又 PG GB G， AD平面 PGB，从而 AD PB. E， F 分别是 BC， PC 的中点， EF PB，从而 AD EF.又 DE GB， AD GB， AD DE， DE EF E， AD平面 DEF.
