1、等差数列例题解析【例 1】 在 100 以内有多少个能被 7 个整除的自然数？解 100 以内能被 7 整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d7，a n98代入 ana 1 (n1)d 中，有987(n1)7解得 n14答 100 以内有 14 个能被 7 整除的自然数【例 2】 在1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，b 使这五个数成等差数列，求此数列解 设这五个数组成的等差数列为a n由已知 ：a 11，a 5771(51)d 解出 d2所求数列为：1，1，3，5，7来源:数理化网【 例 】 312在 等 差 数 列 ， ， ， ， 的 相 邻 两 项 之 间1插入一个数，使之组
2、成一个新的等差数列，求新数列的通项来源: 解 d= (5) d=d=34原 数 列 的 公 差 ， 所 以 新 数 列 的 公 差 ， 期 通 项 为 12ann51342()即 =【例 4】 在1000，2000内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数共有多少个？解 设 an=3n，b m4m3，n，m N令 ， 则 为 使 为 整 数 ， 令 ，4nm3k得 n4k1(kN) ，得a n， bm中 相同的项构成的数列c n的通项cn12n3(nN)则在1000，2000内c n的项为 84123，85123，166123来源:n166841=83 共有 83 个数【例 5】 三个数成等差
3、 数列，其和为 15，其平方和为 83，求此三个数解 设三个数分别为 xd，x，xd则 (xd)()=15xd8322解得 x5，d2 所求三个数为 3、5、7 或 7、5、3说明 注意学习本题对 三个成等差数列的数的设法【例 6】 已知 a、b、c 成等差数列，求证： bc，c a，ab 也成等差数列证 a、b、c 成等差数列2b=ac(bc)(a b)a2bca(ac)c2(a c)bc、ca、 ab 成等差数列说明 如果 a、b、c 成等差数列，常化成 2bac 的形式去运用；反之，如果求证 a、b、 c 成等差数列，常改证 2b=ac本例的意图即在让读者体会这一点 【 例 7】 bab
4、若 、 、 成 等 差 数 列 ， 且 ， 求 证 ： 、 、 、 不1 c可能是等差数列分析 直接证明 a、b、c 不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法证 假设 a、 b、c 是等差数列，则 2b=ac又 、 、 成 等 差 数 列 ， ， 即 12bac2ab(c)2acb(a c)=2b 2，b 2ac又 a、b、c 不为 0， a、b、c 为等比数列，又 a、b、c 为等差数列， a、b、c 为常数列，与 a b 矛盾， 假设是错误的 a、b、c 不可能成等差数列【例 8】 解答下列各题：(1)已知等差数列a n，a n0，公差 d0，求证：对任意 kN，关于
5、 x 的方程akx2 2ak+1xa k+20 有一公共根； 若 方 程 的 另 一 根 为 ， 求 证 数 列 是 等 差 数 列 ；在 中 ， 已 知 三 边 、 、 成 等 差 数 列 ， 求 证 ： 、 也 成 等 差 数 列 x(2)ABCabckcotcott 12xAk分析与解答(1)akx22a k+1xa k+20a n为 等差数列，2a k+1a ka k+2a kx2(a ka k+2)xa k+20(a kx ak+2)(x1)=0，a k0 或 1kxaadkkkk222a n为等差数列，d 为不等于零的常数 方 程 有 一 公 共 根 ， 数 列 是 等 差 数 列
6、1xk(2)由条件得 2b= ac4RsinB 2RsinA2R sinC， 2sinBsinAsinC 4sinB2o=sinA+C2os ABC +csi 分析至此，变形目标需明确，即要证2cotB=tAcotC2由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有cottcosinisins(coc)()siniotACACCB222122将 条 件 代 入 、 、 成 等 差 数 列 cotA2tcotC2【例 9】 若正数 a1，a 2，a 3，a n+1 成等差数列，求证：来源:1123 11a nan来源:分 析 11aadnnn证明 设该数列的公差为 d，则a1a 2=a2a 3a na n+1=da 1a n+1=nd 左 式 d=a1 naan231danan11111右 式 原等式 成立【例 10】 设 xy，且两数列 x，a 1，a 2，a 3，y 和 b1，x，bb234， ， ， 均 为 等 差 数 列 ， 求 来源：高考资源网高考资源网()分 析解 d=yx51()2可 采 用 由 amnb2436(2)1， 得 a43218版权 所有：()
