1、生活中的古典概型19 世纪法国著名数学家拉普拉斯曾说过：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。 ”可见概率在我们的生活中存在的广泛性与重要性，而古典概型作为一种重要的概率模型，在生活中就更加少不了了.下面举几个例子，帮助大家理解.例 1 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕捞出一定数量的鱼，例如 2000 尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕捞出一定数量的鱼，例如 500 尾，查看其中有记号的鱼的，设有 40 尾。根据上述数据，估计水库内鱼的尾数.解：设水库中鱼的尾数为 n，n 是未知
2、的，现在要估 n 的值。假定每尾鱼被捕捞的可能性是相等的，设事件 A捕捞上来的鱼带有记号 ，则由古典概型可知第二次从水库中捕捞出 500 尾，观察每尾鱼上是否有记号，其中带有记号的鱼有 40 尾，即事件 A 发生的频数 m=40,由概率的统计定义知所以，估计水库中约有鱼 25000 尾.古典概型中的有序和无序问题求古典概型中某事件的概率的关键是列举基本事件，在列举基本事件的时候，同学们会发现，有些事件和顺序有关，有些事件和顺序无关，那么到底哪些事件应该考虑顺序，哪些事件应该不考虑顺序呢？例 1 一个袋子中有白球 2 个，红黄球各 1 个，规定：颜色 白球 红球 黄球分数 1 1 1现依次从袋子
3、中抓 3 个球，求得分不大于 1 分的概率.解：因为抓出球的数目大于 2，所以用树形图表示会比较清晰。用 1，2 表示白球，用 a 表示红球，b 表示黄球.所有基本事件用树形图列举如下：基本事件总数为： 46=2其中得分不大于 1 分的基本事件共有 18 个。183(34P抓 个 球 得 分 不 大 于 分 ）如果我们不考虑抽取顺序，所有基本事件可以表示为：从上面的树形图可以看出，基本事件总数为 4，其中得分不大于 1 分的基本事件有3 个。 3(P抓 个 球 得 分 不 大 于 1分 ）考虑顺序和不考虑顺序的结果是一样的，为什么会这样呢？细心的同学会发现下面六个基本事件(1,2,a), (1
4、,a,2), (2,1,a), (2,a,1), (a,1,2), (a,2,1)，如果不考虑抽取顺序，其实表示的是同一个结果：抽到 2 个白球，1 个红球。原来当不考虑顺序时的每一个基本事件都有 6 个考虑顺序的基本事件和它对应，每个事件都扩大 6 倍，这样，在用公式 ()AP所 包 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数 计算概率时，分子分母同时扩大 6 倍，所以结果相同。而我们列举基本事件时，指列举“一次试验中可能出现的每一个基本结果”而既然在上面所求的问题中，考虑顺序的六个事件表示的是同一个结果，所以对于此类问题，我们在解答时不考虑顺序.那么，是不是所有的基本事件都可以看作无
5、序的呢？例 2.一个盒子里有点数分别为 1，2，3，4 的 4 张牌，有放回的连续抽取两次，求“两张牌点数之和不小于 6 的概率” 。解：考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 基本事件共有 41个，其中符合题意的如划线所示，共有 6 个。所以 P(两张牌点数之和不小于 6 的概率) 318。不考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,2) (2,3) (2
6、,4) (3,3) (3,4) (4,4) 基本事件共有 10 个，其中符合题意的如划线所示，共有 4 个。所以 P(两张牌点数之和不小于 6 的概率) 2105。两次的概率不相等，为什么会这样呢？仔细观察两组基本事件就会发现，第二组中的（1,2）在第一组中有(1,2),(2,1)两个基本事件和它对应，但第二组中的（1,1）在第一组中只有(1,1)一个基本事件和它对应。这样并不是每一个基本事件都扩大了两倍，所以计算结果不同。因此当因为有放回的抽取而出现(1,1)这样重复的事件时，基本事件必须看作和顺序有关。思考：从 1，2，3，4，5 五个数字中，任意有放回地抽取三个数字，求三个数字完全不同的概率.这个问题我们应该考虑顺序吗？你能算出答案吗？
