1、1第 13 练 空间几何体明考情空间几何体是空间位置关系的载体，是高考的必考内容，题目难度为中档，多为选择题.知考向1.三视图与直观图.2.几何体的表面积与体积.3.多面体与球.考点一 三视图与直观图要点重组 (1)三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线.(2)由三视图还原几何体的步骤定 底 面 根 据 俯 视 图 确 定定 棱 及 侧 面根 据 正 主 视 图 确 定 几 何 体 的 侧 棱 与 侧 面 特 征 ， 调 整 实 线 、虚 线 对 应 棱 的 位 置定 形 状 确 定 几 何 体 的 形 状(3)直观图画法的规则：斜二测画法.1.将长方体截去一个
2、四棱锥，得到的几何体如图 1 所示，则该几何体的侧(左)视图为( )2答案 D解析 被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条棱为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有 D 项符合.2.(2017全国)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A.90 B.63 C.42 D.36答案 B解析 方法一 (割补法)如图所示，由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.将圆柱补全，并将圆柱
3、体从点 A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 ，所以该几何体的体积 V3 243 261263.12故选 B.方法二 (估值法)由题意知， V 圆柱 V 几何体 V 圆柱 .12又 V 圆柱 3 21090，45 V 几何体 90.3观察选项可知只有 63 符合.故选 B.3.如图所示是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的直观图是( )答案 D解析 先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正(主)视图和侧(左)视图可知选项 D 正确.4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为 1，且侧棱 AA1平面 A1B1C1，正(
4、主)视图是边长为1 的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧(左)视图的面积为( )A.2 B. C. D.13 332答案 C解析 由直观图、正(主)视图以及俯视图可知，侧(左)视图是宽为 ，长为 1 的长方形，32所以面积 S 1 ，故选 C.32 325.已知正三棱锥 V ABC 的正(主)视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧(左)视图的面积是_.4答案 6解析 如图，由俯视图可知正三棱锥底面边长为 2 ，3则 AO 2 sin 602.23 3所以 VO 2 ，42 22 3则 VA2 .3所以该正三棱锥的侧(左)视图的面积为 2 2 6.12 3 3考点二 几何体的表面积与体积
5、方法技巧 (1)求不规则的几何体的表面积，通常将几何体分割成基本的柱、锥、台体.(2)几何体的体积可以通过转换几何体的底面和高以利于计算.6.(2016北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.116 13 12答案 A解析 由三视图知，三棱锥如图所示.由侧(左)视图得高 h1，5又底面积 S 11 ，12 12所以体积 V Sh .13 167.(2017浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A. 1 B. 3 2 2C. 1 D. 332 32答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为
6、1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面是直角边长为 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，2该几何体的体积为 V 1 23 3 1.13 12 13 12 2 2 2故选 A.8.已知某几何体的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图是边长为 1 的正方形，俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是( )A.2 B.1 C. D.12 136答案 C解析 根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1，所以该三棱柱的体积为 V Sh 111 ，故选12 12C.9.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图
7、是正三角形，则该几何体的体积为_.答案 2 3解析 由题可知，该几何体是由如图所示的三棱柱 ABC A1B1C1截去四棱锥 A BEDC 得到的，故其体积 V 22 3 2 2 .12 32 13 1 22 3 310.(2017山东)由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积14为_.7答案 2 2解析 该几何体由一个长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体和两个半径为 1，高为 1 的 圆14柱体构成， V2112 1 212 .14 2考点三 多面体与球要点重组 (1)设球的半径为 R，球的截面圆半径为 r，球心到球的截面的距离为 d，则有r .R2 d2(2)当球
8、内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的对角线长等于球的直径.11.(2017全国)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A. B. C. D.34 2 4答案 B解析 设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R1，由圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r， R 及圆柱的高的一半构成直角三角形. r .12 (12)2 32圆柱的体积为 V r2h 1 .34 34故选 B.12.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时
9、测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm35003 8663 1 3723 2 0483答案 A8解析 过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点 O，球半径为 R cm，正方体上底面中心为点 A，上底面一边的中点为点 B，在 Rt OAB 中， OA( R2)cm， AB4 cm， OB R cm，由 R2( R2) 24 2，得 R5， V 球 R3 (cm 3).43 5003故选 A.13.(2016全国)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球，若AB BC， AB6， BC8， AA13，则
10、V 的最大值是( )A.4 B. C.6 D.92 323答案 B解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3，所以球的最大直径为3， V 的最大值为 .9214.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )A. B.16 C.9 D.814 274答案 A解析 由图知， R2(4 R)22， R2168 R R22， R .94 S 表 4 R24 ，故选 A.8116 814915.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为_.答案 932解析 设等边三角形的边长
11、为 2a，球 O 的半径为 R，则 V 圆锥 a2 a a3.13 3 33又 R2 a2( a R)2，所以 R a，3233故 V 球 3 a3，43 (233a) 32327故其体积比值为 .9321.如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 P BCD 的正(主)视图与侧(左)视图的面积之比为( )A.11 B.21 C.23 D.32答案 A解析 由题意可得正(主)视图的面积等于矩形 ADD1A1面积的 ，侧(左)视图的面积等于矩形12CDD1C1面积的 .又底面 ABCD 是正方形，所以矩形 ADD1A1与矩形 CDD1C1的
12、面积相等，即正(主)视12图与侧(左)视图的面积之比是 11.2.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正(主)视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 1620，则 r 等于( )10A.1 B.2 C.4 D.8答案 B解析 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S 4 r2 r24 r2 r2r(54) r2.又12S1620，(54) r21620， r24， r2，故选 B.3.已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点.若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A.36 B.64 C.144 D.256答案 C解析 易知 AOB 的面积确定，若三棱锥 O ABC 的底面 OAB 的高最大，则其体积才最大.因为高最大为半径 R，所以 VO ABC R2R36，解得 R6.故 S 球 4 R2144.13 12解题秘籍 (1)三视图都是几何体的投影，要抓住这个根本点确定几何体的特征.(2)多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合.1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
