1、第 1 页 共 45 页AABBCC23第 2 章 函数概念与基本初等函数1. 设函数 的定义域为 ，则集合 与)(xfyA),(),(AxfyxP相等吗？请说明理由。,Q2. 已知一个函数的解析式为 ，它的值域为 ，这样的函数有多少个？试写出其中两个函2xy4,1数。3. 对于任意的 ,若函数 ，试比较 与 的大小关系。Rx21, xf)(2)(1xff)2(1xf4. 已知定义在实数集上的函数 满足条件：对于任意的 ，fyRy,，求证：)()(fxyf1) ；02) 是奇函数。 )(xf你能举出几个满足上述条件的函数吗？（必修 2）立体几何初步变式题1、 （必修 2 P.60 习题 1.3
2、 第 9 题）变题 如图是一个几何体的三视图（单位：cm）（）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ；（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线 与 所成的角为 ，求 ABCcos俯视图A正视图 侧视图ABBABCACA12313解：（）这个几何体的直观图如图所示（）这个几何体是直三棱柱由于底面 的高为 1，所以 ABC2AB故所求全面积 2ABCSS第 2 页 共 45 页1ABCEDPQ11232862(cm)这个几何体的体积 13ABCVS 3（）因为 ，所以 与 所成的角是 / BC在 中， ，Rt 2221故 3cos1BC2、 （必修 2 P.18 习题 1.1 第 7 题）
3、变题 如图，已知几何体的三视图（单位：cm） （）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ；（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线 、 所成角为 ，求 1AQDcos解：（）这个几何体的直观图如图所示 俯视图正视图 侧视图PPPAA1A1 11B1B1C1D1DQQ222（）这个几何体可看成是由正方体 及直三棱柱 的组合体1C11D由 ， ，12PAD12AD可得 1故所求几何体的全面积 2254S2(cm)所求几何体的体积 23110V3(cm)第 3 页 共 45 页1DABC1FE（）由 ，且 ，可知 ，/PQCD/PDQC故 为异面直线 、 所成的角（或其补角） 1A1A由题设
4、知 ， ，2226B132A取 中点 ，则 ，且 ，CEQC3E222310由余弦定理，得22111cosAQC60523、 （必修 2 P.48 习题 1.2(3) 第 8 题）变题 如图，已知 、 分别是正方体 的棱 和棱 的中点EF1ABCD1A1C（）试判断四边形 的形状；1B（）求证：平面 平面 D1解（）如图，取 的中点 ，连结 、 1MAF 、 分别是 和 的中点，MFBC ，1/在正方体 中，有1AD， ，11/BC1/FA四边形 是平行四边形，M 1/AD又 、 分别是 、 的中点，E1B ，1/四边形 为平行四边形，AMD A1BC1FE第 4 页 共 45 页A1B1BC
5、DFE 1/EBAM故 DF四边形 是平行四边形1又 ，RtEABtC ，故四边形 为菱形1FD（）连结 、 、 四边形 为菱形，1A1EBFD 1EB在正方体 中，有1CD，11AB 平面 1D1C又 平面 ，EFA 1B又 ，D 平面 EF1又 平面 ，B故平面 平面1D14、 （必修 2 P.38 习题 1.2(2) 第 6 题）变题 如图，已知正四棱柱 中，底面边长 ，侧棱 的长为 4，过点 作1ACDB2AB1的的垂线交侧棱 于点 ，交 于点 1BC1EF（）求证： 平面 ；1（）求 与平面 所成的角的正弦值ABD解：（）如图 42，以 为原点， 、 、 所在直线ADC1 分别为 、
6、 、xy第 5 页 共 45 页A1B1BCDxyzFEACDPBABCDPQ轴建立空间直角坐标系 zDxyz 1111(0,)(2,0)(,)(0,2)(,4)(2,)(0,4)(,)DABCABCD设 ，则 ,Et 1,t ， 1BC14Et ， ， t(0,2)(2,0)B又 ，1AD 且 4CE140AC 且 1B1 且 平面 AD1BDE（）由（）知 是平面 的一个法向量，又 ，1(2,4)C 1(0,24)AB 11 30cos, 6|AB 与平面 所成角的正弦值为 1ADE5、 （必修 2 P.47 练习 第 4 题）变题 1 如图，已知平面 ，,且 是垂足,ABCD（）求证：
7、平面 ；P（）若 ，试判断平面 与平面 的位置关系，并1,2证明你的结论解（）因为 ，所以 同理 ,CABCABPDB又 ，故 平面 PDPD（）设 与平面 的交点为 ，连结 、 H因为 平面 ，所以 ，AB,所以 是二面角 的平面角CHAB又 ，所以 ，即 1,2PD22CDP09PD第 6 页 共 45 页ABCDPQE在平面四边形 中， ，PCHD09PDHC所以 09故平面 平面 变题 2 如图，已知直二面角 ， 与平面 、 所成的角都为 ，AB,PQ034PQ为垂足， 为垂足,CAB,QD（）求直线 与 所成角的大小；C（）求四面体 的体积P解：（）如图，在平面 内，作 ，连结 、
8、则四边形 为平行四边形，所/EDQP以 ，即 为直线 与 所成的角（或其补角） /EQCDC因为 ,ABP所以 同理 P又 与平面 、 所成角为 ，所以 ， ，所以Q0303PQC03PD， 0cos342C01sin42D在 中， ，从而 RtD12CE因为 ，且 为平行四边形，QABE所以 E又 ，所以 ,PCQPC故 平面 ，从而 QE在 中， RtE2cos4P所以 ，045P第 7 页 共 45 页即直线 与 所成角的大小为 PQCD045（）在 中， ，所以 Rt0,3PQC2P三角形 的面积 ，12CDS故四面体 的体积Q14333CDVP6、 （必修 2 P.53 练习 第 4
9、 题）变题 如图，在矩形 中， 是 的中点，以 为折痕将 向上折起，AB2,1,ADECAED使 为 ，且平面 平面 E（）求证： ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值CABCDABCE解（）在 中， ，RtCE2CE在 中， ，tADAD ，22B 平面 平面 ，且交线为 ，EBE 平面 平面 ，A D（）设 与 相交于点 ，由（）CF 知， ，E 平面 ，B 平面 ，A平面 平面 ，且交线为 ，BD如图，作 ，垂足为 ，则 平面 ，FGDFGA连结 ，则 是直线 与平面 所成的角AC由平面几何的知识可知 ， 12E23EBCEFG第 8 页 共 45 页在 中， ，RtAEF22593AE
10、F在 中， ，可求得 tBDGB 6G 26309sin15FA直线 与平面 所成的角的正弦值为 CBD 30157、 （必修 2 P.38 习题 1.2（2） 第 5 题）变题 如图，在棱长为 1 的正方体 中， 是侧棱 上的一点， 。1ABCDP1CPm（） 、试确定 ，使直线 与平面 所成角的正切值为 ；m132（） 、在线段 上是否存在一个定点 ，使得对任意的 ， 在平面 上的射影垂直于1ACQm1Q1AD，并证明你的结论。P解：（） ,BDO连 设 1.AG与 面 交 于 点 ， 连 1/, ,PCAPCG因 为 面 面 面故 。所以 。O2m又 .11,ADBOBD所 以 面 故
11、GP即 为 与 面 所 成 的 角 。在 ，即 .Rt2tan3AOm中 ， 13故当 时，直线 。13mP1与 平 面 BD所 成 的 角 的 正 切 值 为 2（）依题意，要在 上找一点 ，使得 .1CQ1AP第 9 页 共 45 页可推测 的中点 即为所求的 点。1AC1OQ因为 ，所以.D1A11.DAC面又 ,故 。1P面 P从而 1O在 平 面 上 的 射 影 与 垂 直 。8、 （必修 2 P.47 习题 1.2（3） 第 7 题）变题 在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面 BB1C1C底面 ABC.(1)若 D 是 BC 的中点，求证：AD
12、CC 1；(2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证：截面 MBC1侧面BB1C1C；(3)AM=MA1 是截面 MBC1平面 BB1C1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由.(1)证明：AB=AC ，D 是 BC 的中点，ADBC底面 ABC平面 BB1C1C， AD 侧面 BB1C1C ADCC 1.(2)证明：延长 B1A1 与 BM 交于 N，连结 C1NAM=MA 1， NA1=A1B1A 1B1=A1C1，A 1C1=A1N=A1B1 C 1NC 1B1底面 NB1C1侧面 BB1C1C，C 1N侧面 BB1C1C截面 C1NB侧面 BB
13、1C1C截面 MBC1侧面 BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过 M 作 MEBC 1 于 E，截面 MBC1侧面 BB1C1CME侧面 BB1C1C，又AD侧面 BB1C1C.MEAD ，M、E、D、A 共面AM侧面 BB1C1C，AMDECC 1AM，DECC 1D 是 BC 的中点，E 是 BC1 的中点AM=DE = AA1， AM =MA1.29、 （必修 2 P.38 习题 1.2（2） 第 11 题）变题 如图, 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC3，BC4，AA 14， 第 10 页 共 45 页点 D 是 AB 的中点， （I）
14、求证：ACBC 1；（II）求证：AC 1/平面 CDB1；（III）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值（I）证明：直三棱柱 ABCA 1B1C1，底面三边长 AC=3，BC =4AB=5， ACBC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC， AC BC1；（II）证明：设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE， D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点， DE/AC1， DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1， AC 1/平面 CDB1；（III）解： DE/AC1， CED 为 AC1 与 B1C 所成的角，在CED 中，ED= AC 21= ，CD
15、= AB= ，CE= CB1=2 ，2552 ，8cos2CED 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 .2510、 （必修 2 P.65 复习题 第 14 题）变题 如图，O，P 分别是正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1底面中心，E 是 AB 的中点，AB=kAA 1，()求证：A 1E平面 PBC；（）当 k 时，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值；() 当 k 取何值时， O 在平面 PBC 内的射影恰好为PBC 的重心？() 过 P 作 MNB 1C1，分别交 A1B1、D 1C1 于 M、N，则 M、N A1B1、D 1C1 的中点，连 MB，NC 由四边形 BCNM 是平行四边形， E、M 分别为 AB、A 1B1 中点，A 1EMB 又 MB 平面 PBC，A 1E平面 PBC。 () 过 A 作 AFMB ，垂足为 F，连 PF，BC平面 ABB1A1，AF 平面 ABB1A1，AFBC， BCMB =B， AF平面 PBC，AOD CBEPA1D1 C1B1D1POC1B1A1O CBA E
