1、课题：2.3 幂函数精讲部分学 习 目 标 展 示（1）了解幂函数的概念（2）结合函数 的图像，了解它们的变化情况。衔 接 性 知 识1. 请 画 出 、 、 的 图 象yx21yx2. 请 画 出 的 图 象3. 比 较 函 数 与 在 解 析 式 形 式 上 的 不 同 ， 并 说 明 哪 个 是 指 数 函 数()2xf2()g基 础 知 识 工 具 箱要 点 定 义 符 号幂 函 数 一般地，函数 的函数叫幂yx函数，其中 是自变量， 是常数是 常数()fx)注 ： 幂函数的特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数 取值的不同而不同1010幂函数yx(,)01在第一象限的图
2、象几 个 常 用 幂 函 数的 图 象幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且函数在区间 上是增函 ),0数；（3） 时，幂函数的图象不过原点，幂函数在区间 上是减函数.0 ),(当 时， 轴与 轴是幂图象的渐近线；xy（4）当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；110（5）幂函数在第四象限无图象.典 例 精 讲 剖 析例 1. 比较下面大小：（1） 、 与 （2） 、 与 2.43.13.64()53.83.8()4【解析】 （1） 在 上是增函数，且 ，2.4yx0,.12.42.431又 在 上
3、是增函数，且 ，3.(,)2.从 而 2.42.42.1（ 2） 由 指 数 函 数 的 性 质 ， 得 ， ，2.6040()153.802()13.80()14又 在 上减函数，且 ，.yx(,)343.83.8()4从 而 有 3.83.82.624)(5例 2. 幂函数 的图像不经过原点，求实数 的值。21()mfxx m【解析】 因为函数是幂函数，所以 ， ，2312301m或当 时， ，数的 图像都不经过原点；当 时， ，数的图像都1()fx()fx经过原点，所以例 3. 已知幂函数 的图象过 点，()fx1(8,)4试求：（1） 的定义域（2） 的奇偶性（3） 的单调区间ff()
4、fx解析设 ，则() 的图象过 点， ，()fx1(8,)4即 ， ， ，即 .23 223fx321()fx(1)欲使 有意义，须 ， ， 的定义域为 ()fx320f|0xR(2)对任意 且 ，有 ， 为偶函数R3231()()fxfxf(3) ， 在 上是减函数，又 为偶函数， 在 上为0()fx0， f()fx0) ，增函数，故单调增区间为 ，单调减区间为 ) ， (0)， 例 4. 已知函数 ，当 取什么值时， （1） 是正比例函数；22()mxf )(f（2） 是反比例函数；（3） 在第一象限它的图像是上升的曲线。)(xf )(f【解析】 （1）由题意，得 ， ，20103且 或
5、m（2）由题意，得 ， ，2m21m且 或 12或（3）由题意，得 ， ，2003或 或13m或精 练 部 分A类试题（普通班用）1.设 、 满足 ，则下列不等式中正确的是( )ab01abA B C Dabba答案 C解析 单调减， ， ，排除 A.xyab 单调减， ， ，排除 B.xbabab 与 在(0,1)上都是增函数， ， ， ，C 对 D错x abb2.在同一坐标系内，函数 和 的图 象应是( )(0)ay1yx答案 B解析 首先若 ， ，应为增函数，只能是 A或 C，应有纵截距 因而0a1yxa 10a排除 A、C；故 ，幂函数的图象应不过原点，排除 D，故选 B 3. 函数
6、的定义域为_， 单调增区间是_，单调减区间为23()fx_答案 ； ；|R且 ()3， ()， +解析 ， ，即 ，定义域为221(3)fxx 0 3x，|且的单调增区间为 ，单调减区间为 ， 是21yx()， (,)23()fx由 向左平移 3 个单位得到的 的单调增区间为 ，单调减区间为 2()f ()3， (3,)4比较下列各组中两个数的大小（1） 与 （2） 与53.7. 32).1(32)5.(【解析】 （1） 在 单调递增，且23yx(0,1735.17（2） ，233231(.).(.) 2 23 3322(.) .5(.). 又 在 单调递减，且 ，2yx0,1.523.1.5
7、从而有2)33(1.(.5)5已知函数 ， 为何值时， 是(1)正比例函数；(2)反比例21mfx fx函数；(3)二次函数；(4)幂函数解析 (1)若 为正比例函数，则 ；fx210m(2)若 为反比例函数，则 ；f2m(3)若 为二次函数，则 ；fx210m132(4)若 为幂函数，则 ， .f2B类试题（3+3+4） （尖子班用）1.设 、 满足 ，则下列不等式中正确的是( )ab01abA B C Dabba答案 C解析 单调减， ， ，排除 A.xyab 单调减， ， ，排除 B.xbabab 与 在(0,1)上都是增函数， ， ， ，C 对 D错x abb2. 幂函数 的图象分布在
8、第一、二象限，则实数 的值为( )2312(5)my mA2 或3 B2 C 3 D0答案 B解析 由 得 或 ，251函数图象分布在一、二象限，函数为偶函数， .2m3. 在同一坐标系内，函数 和 的 图象应是( )(0)ayx1yax答案 B解析 首先若 ， ，应为增函数，只能是 A或 C，应有纵截距 因而0a1yxa 10a排除 A、C；故 ，幂函数的图象应不过原点，排除 D，故选 B.4. 已知幂函数 的图象经过点 ，那么 这 个幂函数的解析式为_f(2,)答案 12yx解析 设 ，则 ， ，()f2112yx5若 ，则实数 的取值范围是_ 11332aa答案 (3,)解析 在 R 上
9、为增函数， . ，1yx1133()(2)a2a3a6函数 的定 义域为_， 单调增区 间是_，单调减区间为2()f_答案 ； ；|3x且 ()， ()3， +解析 ， ，即 ，定义域为221()fx 0 3x，|xR且的单调增区间为 ，单调减区间为 ， 是21yx()， (,)23()fx由 向左平移 3 个单位得到的 的单调增区间为 ，单调减区间为 2()f ()3， (3,)7. 比较下列各组中两个数的大小（1） 与 （2） 与53.7. 32).1(32)5.(【解析】 （1） 在 单调递增，且23yx(0,1735.17（2） ，233231(.).(.) 2 23 3322(.)
10、.5(.). 又 在 单调递减，且 ，2yx0,1.523.1.5从而有2)33(1.(.5)8. 已知函数 ， 为何值时， 是(1)正比例函数；(2)反比例21mfx fx函数；(3)二次函数；(4)幂函数解析 (1)若 为正比例函数，则 ；fx201m(2)若 为反比例函数，则 ；f21m(3)若 为二次函数，则 ；fx20132(4)若 为幂函数，则 ， .f21m9. 运用学过 的幂函数或指数函数知识，求使不等式 成立的 的取值122()()xxx范围解析 解法一：在同一坐标 系中作出函数 与 的图象，12y2观察图象可见，当 时， 01x12x ， .2解法二：由于底数相同，可看作指数函数运用单调性 且 ，又 当 时为增函数，当 时为减函数，210x1xxya101a， .2()()0210. （1）作出函数 的大致图象，并指出单调区间，1xf（2）求当 时，函数 的值域,)(2x()fx解析 （1） ，先作 的图象，再把图象先向右211xf2yx平移 1个单位，再向上平移 1个单位，可得 的图象如下()fx由此可知， 的单调减区间为 和()fx(,1)(,)（2） 在 上是减函数，当 时，1,x(1)0fx又 在 上是减函数，当 时，()fx1,2(1,2x()23fx所以，当 时，函数 的值域为)(,)f,0,)
