1、第 2 课时 指数函数及其性质的应用学习目标 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题知识链接1函数 y ax(a0，且 a1)恒过点(0,1)，当 a1 时，单调递增，当 0 a1 时，单调递减2复合函数 y f(g(x)的单调性：当 y f(x)与 u g(x)有相同的单调性时，函数 y f(g(x)单调递增，当 y f(x)与 u g(x)的单调性相反时， y f(g(x)单调递减，简称为同增异减预习导引1函数 y ax与 y a x(a0，且 a1)的图象关于 y 轴对称2形如 y af(x)(a0，且 a1)函数的性质(1)函数 y af(x)与函
2、数 y f(x)有相同的定义域(2)当 a1 时，函数 y af(x)与 y f(x)具有相同的单调性；当 0 a1 时，函数 y af(x)与函数 y f(x)的单调性相反3形如 y kax(kR，且 k0， a0，且 a1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型4设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y N(1 p)x(xN)要点一 利用指数函数的单调性比较大小例 1 比较下列各组数的大小：(1)1.9 与 1.93 ；(2)0.7 2 与 0.70.3；3(3)0.60.4与 0.40.6.解 (1)由于指数函数 y1.9 x在 R 上单调
3、递增，而3，所以 1.9 1.9 3 .(2)因为函数 y0.7 x在 R 上单调递减，而 2 0.267 90.3，所以 0.72 0.7 0.3.3 3(3)因为 y0.6 x在 R 上单调递减，所以 0.60.40.6 0.6；又在 y 轴右侧，函数 y0.6 x的图象在y0.4 x的图象的上方，所以 0.60.60.4 0.6，所以 0.60.40.4 0.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断2对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如 0 或 1 等
4、)分别与之比较，借助中间值比较跟踪演练 1 已知 a0.8 0.7， b0.8 0.9， c1.2 0.8，则 a， b， c 的大小关系是( )A a b c B b a cC c b a D c a b答案 D解析 先由函数 y0.8 x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较 1.20.8与其他两个数的大小要点二 指数型函数的单调性例 2 判断 f(x) x22 x 的单调性，并求其值域(13)解 令 u x22 x，则原函数变为 y u.(13) u x22 x( x1) 21 在(，1上递减，在1，)上递增，又 y u在(13)(，)上递减， y 在(，1上递增，在1，)上递减(
5、13) x2 u x22 x( x1) 211， y u， u1，)，(13)0 u 1 3，(13) (13)原函数的值域为(0,3规律方法 1.关于指数型函数 y af(x)(a0，且 a1)的单调性由两点决定，一是底数 a1 还是 0 a1；二是 f(x)的单调性，它由两个函数 y au， u f(x)复合而成2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 y f(u)， u (x)，通过考查 f(u)和 (x)的单调性，求出 y f (x)的单调性跟踪演练 2 求函数 y2 的单调区间x-解 函数 y2 的定义域是 R.令 u x22 x，则 y2 u.当 x(，1时，
6、函数x-u x22 x 为增函数，函数 y2 u是增函数，所以函数 y2 x22 x 在(，1上是增函数当 x1，)时，函数 u x22 x 为减函数，函数 y2 u是增函数，所以函数 y2在1，)上是减函数2-综上，函数 y2 的单调减区间是1，)，单调增区间是(，1x-要点三 指数函数的综合应用例 3 已知函数 f(x) .3x 13x 1(1)证明 f(x)为奇函数(2)判断 f(x)的单调性，并用定义加以证明(3)求 f(x)的值域(1)证明 由题知 f(x)的定义域为 R，f( x) 3 x 13 x 1 3 x 1 3x 3 x 1 3x f(x)，1 3x1 3x所以 f(x)为
7、奇函数(2)解 f(x)在定义域上是增函数证明如下：任取 x1， x2R，且 x1 x2， f(x2) f(x1) 3 13 1 3 13 1(1 )(1 )23 1 23 1 .2 3 3 3 1 3 1 x1 x2，3 3 0,3 10,3 10，2xx2x f(x2) f(x1)， f(x)为 R 上的增函数(3)解 f(x) 1 ，3x 13x 1 23x 13 x0 3x11 0 22 0，23x 1 23x 111 1，23x 1即 f(x)的值域为(1,1)规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、
8、解决问题即可跟踪演练 3 设 a0， f(x) 是 R 上的偶函数exa aex(1)求 a 的值；(2)求证 f(x)在(0，)上是增函数(1)解 依题意，对一切 xR，有 f(x) f( x)，即 aex，exa aex 1aex 0 对一切 xR 成立(a1a)(ex 1ex)由此得到 a 0，1a即 a21.又 a0， a1.(2)证明 设 0 x1 x2，则 f(x1) f(x2) ( ) ( ) .1e21 1 2ex1(1 1) 2ex110 x1 x2， ， 0.x2x1又 1 0， 0， f(x1) f(x2)0，21 f(x1)f(x)2.即 f(x)在(0，)上是增函数.
9、1函数 y 1 x的单调递增区间为( )(12)A(，) B(0，)C(1，) D(0,1)答案 A解析 定义域为 R.设 u1 x， y u.(12) u1 x 在 R 上为减函数又 y u在(，)为减函数，(12) y 1 x在(，)是增函数，(12)选 A.2若 2a1 32 a，则实数 a 的取值范围是( )(12) (12)A(1，) B. (12， )C(，1) D. ( ，12)答案 B解析 原式等价于 2a132 a，解得 a .123设 y14 0.9， y28 0.48， y3 1.5 ，则( )(12)A y3 y1 y2 B y2 y1 y3C y1 y2 y3 D y
10、1 y3 y2答案 D解析 4 0.92 1.8,80.482 1.44，( )1.5 2 1.5，12根据 y2 x在 R 上是增函数，所以 21.82 1.52 1.44，即 y1 y3 y2，故选 D.4某种细菌在培养过程中，每 20 min 分裂一次，即由 1 个细菌分裂成 2 个细菌，经过 3 h，这种细菌由 1 个可繁殖成_个答案 512解析 3 h920 min，即经过 9 次分裂，可分裂为 29512 个5已知函数 f(x) a ，若 f(x)为奇函数，则 a_.12x 1答案 12解析 函数 f(x)为奇函数， f(0) a 0.12 a .121.比较两个指数式值大小的主要
11、方法(1)比较形如 am与 an的大小，可运用指数函数 y ax的单调性(2)比较形如 am与 bn的大小，一般找一个“中间值 c”，若 am c 且 c bn，则 am bn；若am c 且 c bn，则 am bn.2指数函数单调性的应用(1)形如 y af(x)的函数的单调性：令 u f(x)， x m， n，如果两个函数 y au与 u f(x)的单调性相同，则函数 y af(x)在 m， n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数 y af(x)在 m， n上是减函数(2)形如 ax ay的不等式，当 a1 时， ax ayx y；当 0 a1 时， ax ayx y.
12、一、基础达标1下列判断正确的是( )A2.5 2.52.5 3 B0.8 20.8 3C 2 D0.9 0.30.9 0.52答案 D解析 y0.9 x是减函数，且 0.50.3，0.9 0.30.9 0.5.2若函数 f(x)3 x3 x与 g(x)3 x3 x的定义域为 R，则( )A f(x)与 g(x)均为偶函数B f(x)为偶函数， g(x)为奇函数C. f(x)与 g(x)均为奇函数D f(x)为奇函数， g(x)为偶函数答案 B解析 f( x)3 x3 x f(x)， f(x)为偶函数， g( x)3 x3 x g(x)， g(x)为奇函数3已知 f(x) a x(a0，且 a1
13、)，且 f(2) f(3)，则 a 的取值范围是( )A a0 B a1 C a1 D0 a1答案 D解析 23， f(2) f(3)，又 f(x) a x x，(1a) 2 3 ，(1a) (1a) 1，0 a1.1a4若定义运算 f(a*b)Error!则函数 f(3x*3 x)的值域是( )A(0,1 B1，)C(0，) D(，)答案 A解析 由定义可知该函数是求 a， b 中较小的那一个，所以分别画出 y3 x与 y3 x x的图(13)象，由图象很容易看出函数 f(3x*3 x)的值域是(0,15若函数 f(x)Error!则不等式 f(x) 的解集为_13答案 x|0 x1解析 (
14、1)当 x0 时，由 f(x) 得( )x ，13 13 130 x1.(2)当 x0 时，不等式 明显不成立，1x 13综上可知不等式 f(x) 的解集是 x|0 x1136用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，要使存留污垢不超过原来的 1%，则至少要漂洗34_次答案 4解析 设原来污垢数为 1 个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的 ；经过第二次漂洗，存14留量为第一次漂洗后的 ，也就是原来的 2，经过第三次漂洗，存留量为原来的 3，14 (14) (14)经过第 x 次漂洗，存留量为原来的 x，故解析式为 y x.由题意，(14) (14)x ，4 x100,2 x10， x4，即至少
15、漂洗 4 次(14) 11007已知函数 f(x)1 .22x 1(1)求函数 f(x)的定义域；(2)证明函数 f(x)在(，0)上为减函数(1)解 f(x)1 ，2 x10， x0.22x 1 函数 f(x)的定义域为 x|xR，且 x0(2)证明 任意设 x1， x2(，0)且 x1 x2.f(x1) f(x2) .22x1 1 22x2 1 2 2x2 2x1 2x1 1 2x2 1 x1， x2(，0)且 x1 x2，2 x22 x1且 2x11,2 x21. f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)函数 f(x)在(，0)上为减函数二、能力提升8若函数 f(x)Erro
16、r!是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为( )A(1，) B(1,8) C(4,8) D4,8)答案 D解析 由题可知， f(x)在 R 上是增函数，所以Error!解得 4 a8，故选 D.9已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)12 x，则不等式 f(x) 的12解集是_答案 (，1)解析 当 x0 时， x0， f( x)12 x f(x)，则 f(x)2 x1.当 x0 时， f(0)0，由 f(x) ，解得 x1.1210若函数 f(x) 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_2 1答案 1,0解析 依题意，2 10 对 xR 恒成立，a-x
17、2即 x22 ax a0 恒成立， 4 a24 a0，1 a0.11一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 50%的速度减少为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过 0.08 mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到 1小时)解 1 小时后驾驶员血液中的酒精含量为 0.3(150%) mg/mL， x 小时后其酒精含量为0.3(150%) xmg/mL，由题意知 0.3(150%) x0.08， x .(12) 415采用估算法， x1 时， 1 .(12) 12 415x2 时
18、， 2 .由于 x是减函数，所以满足要求的 x 的最小整数为 2.故至少要过(12) 14 416 415 (12)2 小时驾驶员才能驾驶三、探究与创新12已知函数 f(x) .(13) 342xa(1)若 a1 时，求函数 f(x)的单调增区间；(2)如果函数 f(x)有最大值 3，求实数 a 的值解 (1)当 a1 时， f(x) ，(13) 34-2x令 g(x) x24 x3( x2) 27，由于 g(x)在(2，)上递减，y x在 R 上是减函数，(13) f(x)在(2，)上是增函数，即 f(x)的单调增区间是(2，)(2)令 h(x) ax24 x3， f(x) h(x)，(13
19、)由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1；因此必有Error!解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时， a 的值为 1.13已知函数 f(x) .2x 12x 1(1)求 ff(0)4的值；(2)求证： f(x)在 R 上是增函数；(3)解不等式 0 f(x2) .1517(1)解 f(0) 0，20 120 1 ff(0)4 f(04) f(4) .24 124 1 1517(2)证明 设 x1， x2R 且 x1 x2，则 2x22 x10,2 x22 x10， f(x2) f(x1) 2x2 12x2 1 2x1 12x1 1 0，2 2x2 2x1 2x2 1 2x1 1即 f(x1) f(x2)，所以 f(x)在 R 上是增函数(3)解 由 0 f(x2) 得 f(0) f(x2) f(4)，1517又 f(x)在 R 上是增函数，0 x24，即 2 x6，所以不等式的解集是 x|2 x6
