1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.1.1 第 2 课时 类比推理练习 新人教 A 版选修 2-2一、选择题1下面几种推理是合情推理的是( )由圆的性质类比出球的有关性质由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得出凸 n 边形的内角和是( n2)180( nN *，且 n3)A BC D答案 C解析 是类比推理；是归纳推理，都是合情推理2平面几何中，有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
2、a，类比上32述命题，棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A. a B. a 43 63C. a D. a54 64答案 B解析 将正三角形一边上的高 a 类比到正四面体一个面上的高 a，由正三角形32 63“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积” ，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明3类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结
3、论是( )A BC D答案 B解析 根据立体几何中线面之间的位置关系知，是正确的结论4(2015海南文昌中学高二期中)设 ABC 的三边长分别为 a、 b、 c， ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r ；类比这个结论可知：四面体 P ABC 的四个面的面2Sa b c积分别为 S1、 S2、 S3、 S4，内切球的半径为 r，四面体 P ABC 的体积为 V，则 r( )A. BVS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D3VS1 S2 S3 S4 4VS1 S2 S3 S4答案 C解析 将 ABC 的三条边长 a、 b、 c 类比到四面体 P ABC 的四个面面积S
4、1、 S2、 S3、 S4，将三角形面积公式中系数 ，类比到三棱锥体积公式中系数 ，从而可知选12 13C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为V， V S1r S2r S3r S4r， r .13 13 13 13 3VS1 S2 S3 S45给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：“若 a， bR，则 a b0ab”类比推出“若 a， bC，则 a b0ab”；“若 a， b， c， dR，则复数 a bi c dia c， b d”类比推出“若a， b， c， dQ，则 a b c d a c， b d”；2 2若“ a，
5、 bR，则 a b0 a b”类比推出“若 a， bC，则 a b0 a b”其中类比结论正确的个数是( )A0 B1C2 D3答案 C解析 在实数集中， aba b0，但在复数集中，不全为实数的两个数不能比较大小，如 a2i， b1i，有 a b10，但 ab 不成立； a、 b、 c、 dQ， a c， b dQ， a b c d ，( a c)( b d)2 2 0， Error!，Error! ，故正确；由复数相等的定义知，若 a x1 y1i(x1、 y1R)，2b x2 y2i(x2、 y2R)，则由 a b( x1 x2)( y1 y2)i0Error!，Error!， a b，
6、故正确6由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：“ mn nm”类比得到“ ab ba”；“( m n)t mt nt”类比得到“( a b)c ac bc”；“( mn)t m(nt)”类比得到“( ab)c a(bc)”；“ t0， mt xtm x”类比得到“ p0， ap xpa x”；“| mn| m|n|”类比得到“| ab| a|b|”；“ ”类比得到“ ”acbc ab acbc ab其中类比结论正确的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 由向量的有关运算法则知正确，都不正确，故应选 B.二、填空题7可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直
7、线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为 k，那么甲的面积是乙的面积的 k 倍你可以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的两个曲线的方程分别是 x2a21( ab0)与 x2 y2 a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为_y2b2答案 ab解析 由于椭圆与圆截 y 轴所得线段之比为 ，即 k ，椭圆面积ba baS a2 ab.ba8在等差数列 an中，若 a100，则有等式a1 a2 an a1 a2 a19 n(n19 n 时的情形由此可知：等差数列 an之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an1 a19 n2 a100，类似地，在等比数列 bn中，也有性
8、质： bn1 b17 n b 1，因而29得到答案： b1b2bn b1b2b17 n(n a b.(2)已知 a、 b、 c 均为实数，且| a| a b c.解析 (1) ab1( a b)( a1)( b1)0.(2)| a| ab c， abc2( ab)c11( ab c)1( ab1) ca b c.点评 (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：( ab)c1 ab c 是关键用归纳推理可推出更一般的结论： ai为实数，| ai|1， i1、2、 n，则有：a1a2an( n1) a1 a2 an.一、选择题11下列类比推理恰
9、当的是( )A把 a(b c)与 loga(x y)类比，则有 loga(x y)log axlog ayB把 a(b c)与 sin(x y)类比，则有 sin(x y)sin xsin yC把( ab)n与( a b)n类比，则有( a b)n an bnD把 a(b c)与 a(b c)类比，则有 a(b c) ab ac答案 D解析 选项 A，B，C 没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误12如图所示，椭圆中心在坐标原点， F 为左焦点，当 时，FB AB 其离心率为 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆” 类比“黄金椭圆” ，可5 12推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于( )A.
10、B5 12 5 12C. 1 D 15 5答案 A解析 如图所示，设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2则 F( c,0)， B(0， b)， A(a,0)， ( c， b)， ( a， b)，FB AB 又 ， b2 ac0，FB AB FB AB c2 a2 ac0，e 2e10，e 或 e (舍去)，1 52 1 52故应选 A.13(2013辽师大附中期中)类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面
11、面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( )A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不对答案 C解析 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确二、填空题14(2014阜阳一中模拟)若等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则 S2n1 (2 n1) an.由类比推理可得：在等比数列 bn中，若其前 n 项的积为 Pn，则 P2n1 _.答案 b2n 1n解析 将等差数列前 n 项和类比到等比数列前 n 项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”
12、 因为等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则 S2n1 (2 n1) an.所以类比可得：在等比数列 bn中，若其前 n 项的积为 Pn，则 P2n1 b .2n 1n15在以原点为圆心，半径为 r 的圆上有一点 P(x0， y0)，则圆的面积 S 圆 r2，过点 P 的圆的切线方程为 x0x y0y r2.在椭圆 1( ab0)中，当离心率 e 趋近于 0 时，x2a2 y2b2短半轴 b 就趋近于长半轴 a，此时椭圆就趋近于圆类比圆的面积公式得椭圆面积 S 椭圆_.类比过圆上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程，则过椭圆 1( ab0)上一点 P(x1， y1)的椭圆的切线方程为_x2
13、a2 y2b2答案 ab x y1x1a2 y1b2解析 当椭圆的离心率 e 趋近于 0 时，椭圆趋近于圆，此时 a， b 都趋近于圆的半径r，故由圆的面积 S r2 rr，猜想椭圆面积 S 椭 ab，其严格证明可用定积分处理而由切线方程 x0x y0y r2变形得 x y1，则过椭圆上一点x0r2 y0r2P(x1， y1)的椭圆的切线方程为 x y1，其严格证明可用导数求切线处理x1a2 y1b2三、解答题16我们知道：121，22(11) 21 2211，32(21) 22 2221，42(31) 23 2231，n2( n1) 22( n1)1，左右两边分别相加，得n22123( n1
14、) n123 n .n n 12类比上述推理方法写出求 122 23 2 n2的表达式的过程解析 我们记 S1(n)123 n，S2(n)1 22 23 2 n2， Sk(n)1 k2 k3 k nk (kN *)已知131，23(11) 31 331 2311，33(21) 32 332 2321，43(31) 33 333 2331，n3( n1) 33( n1) 23( n1)1.将左右两边分别相加，得S3(n) S3(n) n33 S2(n) n23 S1(n) n n.由此知 S2(n) .n3 3n2 2n 3S1 n3 2n3 3n2 n6 n n 1 2n 1617(2015隆
15、化县高二期中)在 Rt ABC 中， AB AC， AD BC 于 D，求证： ，那么在四面体 A BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明1AD2 1AB2 1AC2理由分析 利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，得到类比性质通过作辅助线将空间的证明问题转化为三角形中的性质解析 如图(1)所示，由射影定理 AD2 BDDC， AB2 BDBC， AC2 BCDC， .1AD2 1BDDC BC2BDBCDCBC BC2AB2AC2又 BC2 AB2 AC2， .1AD2 AB2 AC2AB2AC2 1AB2 1AC2 .1AD2 1AB2 1AC2类比 AB AC， AD BC 猜想：四面体 ABCD 中， AB、 AC、 AD 两两垂直，AE平面 BCD.则 .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2如图(2)，连接 BE 延长交 CD 于 F，连接 AF. AB AC， AB AD， AB平面 ACD.而 AF平面 ACD， AB AF.在 Rt ABF 中， AE BF， .1AE2 1AB2 1AF2在 Rt ACD 中， AF CD， 1AF2 1AC2 1AD2 ，故猜想正确1AE2 1AB2 1AC2 1AD2
