1、平行四边形平行四边形这是一个漂亮和有用的图形，它使我们记起重量单位，事实上与重量单位一点关系没有作两对平行直线，如图 1考虑这样形成的四边形 ABCD它的边成对平行：ABCD，BC AD这种四边形称作平行四边形在图 2 上画着各种不同的平行四边形是的，不要奇怪，连菱形、矩形和正方形都是平行四边形它们是带有某些补充性质的平行四边形菱形这是一个所有边都相等的平行四边形矩形这是一个所有角都是直角的平行四边形那么事实上矩形是不是平行四边形呢？ABCD 和 BCAD 对不对（图 3）？我们回忆一下三条垂直的直线的性质它说，在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线彼此平行在矩形 ABCD 中，ABAD，CD
2、AD，这就是说，ABCD而角 A 与 B 也都是直角，也即 BCAB，ADAB，于是就有 BCAD 由此得到，矩形的边成对平行因此，矩形是平行四边形正方形是非常有趣的四边形，能够给它几个定义1正方形像菱形一样，所有边都相等，只是还要所有角都是直角这就是说，正方形是具有直角的菱形2正方形像矩形一样，所有角都是直角只是还要所有边都相等，这就是说，正方形是所有边都相等的矩形3正方形像平行四边形一样，边成对平行的只是还要所有边都相等和所有角都是直角这就是说，正方形是所有角都是直角和所有边都相等的平行四边形正方形还有一整套有趣的性质例如，如果要用给定长度的篱笆围住一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区
3、域选成正方形形状用纸张的实验能帮助我们更好地学习平行线、垂线和平行四边形在纸上标明两点 A 和 B，随后把纸对折，使得 A 与 B 重合直线 AB 与折线相对位置是怎样的？通过折一张纸，去得到一对平行直线和一对垂直直线从一张任意形状的纸折叠并且随后剪出一个矩形，指明在这矩形中哪些边彼此平行或垂直剪切一个矩形，使其得到一个正方形，剪下这一正方形并研究它通过正方形两个相对顶点的折叠线称为正方形的对角钱用折叠的方法可得到两条对角线只用折叠纸的方法你们还能发现哪些性质？记录下这些性质如果寻找这些性质有困难，下面的研究计划可能有帮助：1按长度比较两条对角线2两条对角线之间相对位置怎样？3交点把对角线分成
4、什么比例？4每一条对角线把正方形分成什么样的图形？5这些图形是哪种类型？6对它们彼此之间进行比较把正方形这样对折，使它的两条对边重合折叠线经过哪些点？折叠线相对正方形各边的位置怎样？它把正方形分成什么样的图形？教师给孩子们一个任务，从一张彩色纸中剪出一个正方形瓦夏剪出了一个正方形时，这样检验它：他比较了边的长度全部 4 条边发现是相等的，瓦夏就判定完成了这个任务这种检验可信赖吗？阿廖沙用另一种方法检验了工作：他量的不是边，而是对角线对角线是相等的，阿廖沙就认为正确地剪出了正方形这对吗？莱娜剪了正方形后，比较了由对角线相互分成的所有 4 个线段发现它们都是相等的按照莱娜的意见，这证明了，剪出的四
5、边形是正方形你们的意见怎样？从一张纸剪出一个边长为 10cm 和 16cm 的矩形从这矩形剪出一个边长为10cm 的正方形余下一个边长为 6cm 和 10cm 的矩形，也就是一条边同样是另一条边的大约 1.6 倍随后再从这矩形剪去一个边长为 6cm 的正方形余下的矩形，它的一条边同样是另一条边的大约 1.6 倍这一过程可以继续下去，对边之间的比近似 1.6l 的矩形，很早以前就有人注意到了看一看雅典帕德嫩神庙的造型（图 4） ，甚至现在这还是世界最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形（图 5） ，那么发现，
6、它的长是宽的大约 1.6 倍，这种矩形称为黄金矩形据说，它的边组成黄金分割数学家给出了黄金分割的精确定义图 4图 5黄金分割它将一个整体分割成两个不相等的部分，使得大的部分对整体的比等于小的部分对大的部分的比数 1.6 只是近似地（精确到 0.1）表示黄金分割的值假如线段分成两部分，小的部分长度为 x，而大的部分长度为 y（图 6），那么在黄金分割情况下 有趣的是，yx y xy在正五角星里，组成这一图形的 5 条线中，每一条都把另外一条分成黄金分割的比（图 7）图 8 中画着一个贝壳：点 C 分线段 AB 近似于黄金分割图 7图 8你看到过任何有黄金矩形形状的物体吗？按照图 9 中给出的指示，用圆规直尺作一个黄金矩形延长底边到与弧相交，在直角下作一侧边，这样我们就完成黄金矩形的作图
