1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学（文史类）一、选择题：本大题 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1函数 的定义域为 （ )1lg(xy）A B C D0|1|x10|x10|或x2设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ，且 sin +cos =0，则 a,b 满足 （ ）A B C D1ba1ba0ba0ba3设 是函数 f(x)= 的反函数，则下列不等式中恒成立的是 （ )(xfx）A B12)(1f 12)(1xfC Dx4如果双曲线 上一点 P 到右焦点的距离为 , 那么点 P 到右准线的距离是（ 32y3
2、）A B13 C5 D51 1355把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当 A、B C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为 （ ）A90 B60 C45 D306 某 公 司 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 地 区 分 别 有 150 个 、 120 个 、 180 个 、 150 个 销 售 点 .公 司 为 了 调查 产 品 的 情 况 ， 需 从 这 600 个 销 售 点 中 抽 取 一 个 容 量 为 100 的 样 本 ， 记 这 项 调 查 为 ； 在丙 地 区 中 有 20 个 特 大 型 销 售 点 ， 要 从 中 抽 取
3、 7 个 调 查 其 收 入 和 售 后 服 务 等 情 况 ， 记 这 项调 查 为 .则 完 成 这 两 项 调 查 宜 采 用 的 抽 样 方 法 依 次 为 （ ）A分层抽样法，系统抽样法 B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法 D简单随机抽样法，分层抽样法7若 f(x)=-x2+2ax 与 在区间1,2上都是减函数，则 a 的值范围是 （ 1)(xag） A B C （0，1） D)1,0(,()0,1,0(8已知向量 ,向量 则 的最大值，最小值分别是（ sincoa)3b|2|ba）A B C16，0 D4，00,2424,9若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象
4、的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ）10从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为 （ ）A56 B52 C48 D4011农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元), 预计该地区自 2004 年起的 5 年内，农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其它收入每年增加 160 元。根据以上数据，2008 年该地区农民人均收入介于 （ ）A4200 元4400 元 B4400 元4600 元 C4600 元4800 元 D4800 元5000 元12
5、设集合 U=(x,y)|xR,yR, A=(x,y)|2x-y+m0, B=(x,y)|x+y-n0,那么点P（2，3）的充要条件是 （ )(BAU）A B5,1nm5,1nmC D 二、填空题：本大题 共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.13过点 P（1，2）且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M（1，1）处的切线平行的直线方程是_.14 的展开式中的常数项为_(用数字作答)92)(xxyoAxyoDxyoCxyoB15F 1，F 2是椭圆 C： 的焦点，在 C 上满足 PF1PF 2的点 P 的个数为1482x_.16若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1
6、|(a0,且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_.三、解答题：本大题 共 6 小题，共 74 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤.17 （本小题满分 12 分） .cossin21,)4tan( 2的 值求已 知 18 （本小题满分 12 分）如图，在底面 是菱形的四棱锥 PABC中，ABC=60 0，PA=AC= a,PB=PD= ,点 E2是 PD 的中点.（I）证明 PA平面 ABCD，PB平面 EAC；（II）求以 AC 为棱，EAC 与 DAC 为面的二面角 的正切值.19 （本小题满分 12 分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加
7、工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零41件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 .12 92（）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.20 （本小题满分 12 分）DEPBACOtxyDBAC1C2已知数列 an是首项为 a 且公比 q 不等于 1 的等比数列，S n是其前 n 项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.（I）证明 12S 3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和 Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2
8、.21 （本小题满分 12 分）如图，已知曲线 C1：y= x3(x0)与曲线 C2:y=2 x3+3x(x0)交于 O，A,直线x=t(00)作直线与抛物线交于 A,B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点。（I）设点 P 分有向线段 所成的比为 ，证明:AB)(QBA（II）设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0，过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程.2004 年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（文史类 湖南卷）1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.A 10.C 11.B 12.A132 xy+4=0 1
9、484 152 16 )21,0(17 （本小题满分 12 分）解：由 .3tan,tan1)4tan( 得于是 .321)(t2cossi2cosi22 18 （）证法一 因为底面 ABCD 是菱形，ABC=60，所以 AB=AD=AC=a， 在PAB 中，由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PAAB.同理，PAAD，所以 PA平面 ABCD.因为 DACEBDCPB.)()(AE所以 、 、 共面.又 PB 平面 EAC，所以 PB/平面 EAC.证法二 同证法一得 PA平面 ABCD.连结 BD，设 BD AC=O，则 O 为 BD 的中点.连结 OE，因为 E 是 PD 的中点，所
10、以 PB/OE.又 PB 平面 EAC，OE 平面 EAC，故 PB/平面 EAC.（）解 作 EG/PA 交 AD 于 G，由 PA平面 ABCD.知 EG平面 ABCD.作 GHAC 于 H，连结 EH，则 EHAC，EHG 即为二面角 的平面角.又 E 是 PD 的中点，从而 G 是 AD 的中点， .4360sin,21, aAaAG所以 .3tn19 （本小题满分 12 分）解：（）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题设条件有 .92)(,14)()(.92)(,14)( CPABAP即由、得 代入得 27P(C) 251P(C)+22=0.(8
11、B解得 （舍去）.13)(或C将 分别代入 、 可得 2P .41)(,3)(BPA即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 2,（）记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 .65314)(1)()(1)(1)( CP故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为20 （）证明 由 成等差数列， 得 ，4713,2a41734a即 变形得 .46qa,0)(3q所以 （舍去）.1433q或由 .6121)(233636qaS .161)(661162612 qqaS得 所以 12S3，S 6，S 12S 6成等比数列623（）解
12、： .32)1(36741 nnn aqaqaT 即 .)41()()(2an 得： )4( nnn )4()(311 .4)5()4()1( anann所以 .526aTnn21 （本小题满分 12 分）解：（）由 得交点 O、A 的坐标分别是（0，0） ， （1，1）.,3xy ),3(21|1|2)( tBDStfOBDA 即 ).0().(3tt（） 令 解得 .9)2tf f .3t当 从而 在区间 上是增函数；,0)(,30tf时 )(t),0(当 从而 在区间 上是减函数.,1t时 f1,3所以当 时， 有最大值为 3)(tf .)(f22解：（）依题意，可设直线 AB 的方程为
13、 代入抛物线方程 得 ,mkxyyx42.042mkx设 A、B 两点的坐标分别是 、 、 x2是方程的两根.),(1x12),(则所以 .21由点 P（0，m）分有向线段 所成的比为 ，AB得 .,1212xx即又点 Q 是点 P 关于原点的对称点，故点 Q 的坐标是（0，m） ，从而 .)2,0(mQP).1(,(),( 212121 myxyyBA 21212121 4)()(4xx.0)(221mm所以 .(QBAP（）由 得点 A、B 的坐标分别是（6，9） 、 （4，4）.,4,02yx由 得 2 ,21x所以抛物线 在点 A 处切线的斜率为2 36xy设圆 C 的方程是 ,)()(2rbyax则 .)4()()9()6(,312222ba解之得 .15, bar所以圆 C 的方程是 ,2)3()2(yx即 .0732yx
