1、完美正方形完美正方形是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形最早由莫伦提出数学家们一度花了很大精力都无任何结果，以至于 1930 年苏联著名数学家鲁金猜想，不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形莫伦对此猜想提出了挑战，并提供了一个解决思路：如果同一个矩形有两个不同的正方形剖分，且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形，那么，这两个剖分再添上两个正方形（它异于两个剖分中的任何一个正方形），便可构造出一个完美正方形，而在此之前，完美矩形已经有了比较丰富的成果1939 年，斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个 55 阶的完美正方形，其边长为 4205几个月后，阶数更小（2
2、8 阶）、边长更短（1015）的完美正方形由剑桥大学三一学院的四位大学生构造出来1948 年，威尔科克斯构造出 24 阶完美正方形，但其中含有一个完美矩形（此类正方形称为混完美正方形，完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正方形），一直到 1978 年，这个纪录才被打破 1967 年，威尔森构造成功 25 阶、26 阶完美正方形1962 年，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明：不存在 20 阶以下的完美正方形1978 年，杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出一个 21 阶的完美正方形，它是唯一的，且它不仅阶数最低，同时数字也更简单，此外构造上它也有许多优美的特点，比如 2 的某些次幂恰好位于一条对角线上，等等杜伊维斯廷同时还证明了：低于 21 阶的完美正方形不存在1982 年，杜伊维斯廷又证明了：不存在低于 24 阶的混完美正方形1992 年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了 2125 阶全部 207 个纯完美正方形：阶数 21 22 23 24 25个数 1 8 12 26 160至此，完美正方形的讨论暂时画上一个句号但数学家的研究并没有停止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱茵瓶上，也取得了许多有趣的成果 但是立方体填充被证明是没有的
