1、山东省新人教 B 版 2012 届高三单元测试 5必修 2 第二章平面解析几何初步(本卷共 150 分，考试时间 120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线 3ax y10 与直线( a )x y10 垂直，则 a 的值是( )23A1 或 B1 或13 13C 或1 D 或 113 13解析：选 D.由 3a(a )(1)10，得 a 或 a1.23 132直线 l1： ax y b0， l2： bx y a0( a0， b0， a b)在同一坐标系中的图形大致是图中的( )解析：选 C.直线 l1： ax y b0，斜率为 a
2、，在 y 轴上的截距为 b，设 k1 a， m1 b.直线 l2： bx y a0，斜率为 b，在 y 轴上的截距为 a，设 k2 b， m2 a.由 A 知：因为 l1 l2， k1 k20， m1m20，即 a b0， ba0，矛盾由 B 知： k1m20，即 aa0，矛盾由 C 知： k1k20， m2m10，即 ab0，可以成立由 D 知： k1k20， m20m1，即 ab0， a0b，矛盾3已知点 A(1,1)和圆 C：( x5) 2( y7) 24，一束光线从 A 经 x 轴反射到圆 C上的最短路程是( )A6 2 B82C4 D106解析：选 B.点 A 关于 x 轴对称点 A
3、(1，1)， A与圆心(5,7)的距离为10. 所求最短路程为 1028. 5 1 2 7 1 24圆 x2 y21 与圆 x2 y24 的位置关系是( )A相离 B相切C相交 D内含解析：选 D.圆 x2 y21 的圆心为(0,0)，半径为 1，圆 x2 y24 的圆心为( 0,0)，半径为 2，则圆心距 00)及直线 l： x y30，当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 时， a 的值等于( )3A. B. 12 2C2 D. 12 2解析：选 B.圆心( a,2)到直线 l： x y30 的距离 d ，依题意|a 2 3|2 |a 1|22 24，解得 a 1.(|a 1|2 ) (
4、232) 26与直线 2x3 y60 关于点(1，1)对称的直线是( )A3 x2 y60B2 x3 y70C3 x2 y120D2 x3 y80来源:学科网 ZXXK解析：选 D.所求直线平行于直线 2x3 y60，设所求直线方程为 2x3 y c0，由 ，|2 3 c|22 32 |2 3 6|22 32 c8，或 c6(舍去)，所求直线方程为 2x3 y80.7若直线 y2 k(x1)与圆 x2 y21 相切，则切线方程为( )A y2 (1 x)34B y2 (x1)34C x1 或 y2 (1 x)34D x1 或 y2 (x1)34解析：选 B.数形结合答案容易错选 D，但要注意直
5、线的表达式 是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分8圆 x2 y22 x3 与直线 y ax1 的公共点有( )A0 个 B1 个C2 个 D随 a 值变化而变化解析：选 C.直线 y ax1 过定点(0,1)，而该点一定在圆内部来源:Zxxk.Com9过 P(5,4)作圆 C： x2 y22 x2 y30 的切线，切点分别为 A、 B，四边形 PACB的面积是( )A5 B10C15 D20解析：选 B.圆 C 的圆心为(1,1)，半径为 .5| PC| 5， 5 1 2 4 1 2| PA| PB| 2 ，52 5 2 5 S 2 210.12 5 510若直线 m
6、x2 ny40( m、 nR， n m)始终平分圆 x2 y24 x2 y40 的周长，则 mn 的取值范围是( )A(0,1) B(0，1)C(，1) D(，1)解析：选 C.圆 x2 y24 x2 y40 可化为( x2) 2( y1) 29，直线mx2 ny40 始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以 2m2 n40，即m n2， mn m(2 m) m22 m( m1) 211，当 m1 时等号成立，此时 n1，与“ m n”矛盾，所以 mn1.11已知直线 l： y x m 与曲线 y 有两个公共点，则实数 m 的取值范围是( )1 x2A(2,2 ) B(1,1)C1， ) D
7、( ， )2 2 2解析：选 C. 曲线 y 表示单位圆的上半部分，画出直线 l 与曲线在同一坐标系1 x2中的图象，可观察出仅当直线 l 在过点(1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线 l 与曲线有两个交点当直线 l 过点(1,0)时， m1；来源:Zxxk.Com当直线 l 为圆的上切线时， m (注： m ，直线 l 为下切线)2 212过点 P(2,4)作圆 O：( x2) 2( y1) 225 的切线 l，直线 m： ax3 y0 与直线 l 平行，则直线 l 与 m 的距离为( )A4 B2C. D.85 125解析：选 A.点 P 在圆上，切线 l 的斜率 k .1
8、kOP 11 42 2 43直线 l 的方程为 y4 (x2)，43即 4x3 y200.又直线 m 与 l 平行，直线 m 的方程为 4x3 y0.故两平行直线的距离为 d 4.|0 20|42 3 2二、填空题(本大题共 4 小题，请把答案填在题中横线上)13过点 A(1，1)， B(1,1)且圆心在直线 x y20 上的圆的方程是_解析：易求得 AB 的中点为(0,0)，斜率为1，从而其垂直平分线为直线 y x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线 x y20 联立得到圆心 O(1,1)，半径 r| OA|2.答案：( x1) 2( y1) 2414过点 P(2,0)作直线
9、l 交圆 x2 y21 于 A、 B 两点，则| PA|PB|_.解析：过 P 作圆的切线 PC，切点为 C，在 Rt POC 中，易求| PC| ，由切割线定理，3|PA|PB| PC|23.答案：315若 垂直于直线 2x y0，且与圆 x2 y25 相切的切线方程为 ax2 y c0，则ac 的值为_解析：已知 直线斜率 k12，直线 ax2 y c0 的斜率为 .两直线垂直，a2(2)( )1，得 a1.圆心到切线的距离为 ，即 ， c5，故a2 5 |c|5 5ac5.答案：516若直线 3x4 y m0 与圆 x2 y22 x4 y40 没有公共点，则实数 m 的取值范围是_解析：
10、将圆 x2 y22 x4 y40 化为标准方程，得( x1) 2( y2) 21，圆心为(1，2)，半径为 1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即 d 1，|31 4 2 m|32 42 |m 5|5 m0 或 m10.答案：(，0)(10，)三、解答题(本大题共 6 小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17三角形 ABC 的边 AC， AB 的高所在直线方程分别为 2x3 y10， x y0，顶点A(1,2)，求 BC 边所在的直线方程解： AC 边上的高线 2x3 y10，所以 kAC .32所以 AC 的方程为 y2 (x1)，32即 3x2 y70，同
11、理可求直线 AB 的方程为 x y10.来源:学科网 ZXXK下面求直线 BC 的方程，由Error! 得顶点 C(7，7)，由Error! 得顶点 B(2，1)所以 kBC ，直线 BC： y1 (x2)，23 23即 2x3 y70.18一束光线 l 自 A(3,3)发出，射到 x 轴上，被 x 轴反射后与圆C： x2 y24 x4 y70 有公共点(1)求反射光线通过圆心 C 时，光线 l 所在直线的方程；(2)求在 x 轴上，反射点 M 的横坐标的取值范围解：圆 C 的方程可化为( x2) 2( y2) 21.(1)圆心 C 关于 x 轴的对称点为 C(2，2)，过点 A， C的直线的
12、方程 x y0 即为光线 l 所在直线的方程(2)A 关于 x 轴的对称点为 A(3，3)，设过点 A的直线为 y3 k(x3)当该直线与圆 C 相切时，有 1，解得 k 或 k ，|2k 2 3k 3|1 k2 43 34所以过点 A的圆 C 的两条切线分别为 y3 (x3)， y3 (x3)43 34令 y0，得 x1 ， x21，34所以在 x 轴上反射点 M 的横坐标的取值范围是 ，13419已知圆 x2 y22 x4 y m0.(1)此方程表示圆，求 m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线 x2 y40 相交于 M、 N 两点，且 OM ON(O 为坐标原点)，求m 的值；(3)
13、在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程解：(1)方程 x2 y22 x4 y m0，可化为(x1) 2( y2) 25 m，此方程表示圆，5 m0，即 m5.(2)Error!消去 x 得(42 y)2 y22(42 y)4 y m0，化简得 5y216 y m80.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则Error!由 OM ON 得 y1y2 x1x20即 y1y2(42 y1)(42 y2)0，168( y1 y2)5 y1y20.将两式代入上式得168 5 0，165 m 85解之得 m .85(3)由 m ，代入 5y216 y m80，85化简整理得 25y280
14、y480，解得 y1 ， y2 .125 45 x142 y1 ， x242 y2 .45 125 M ， N ，(45， 125) (125， 45) MN 的中点 C 的坐标为 .(45， 85)又| MN| ，(125 45)2 (45 125)2 855所求圆的半径为 .455所求圆的方程为 2 2 .(x45) (y 85) 16520. 已知圆 O： x2 y21 和定点 A(2,1)，由圆 O 外一点 P(a， b)向圆 O 引切线 PQ，切点为 Q，| PQ| PA|成立，如图(1)求 a、 b 间关系；(2)求| PQ|的最小值；(3)以 P 为圆心作圆，使它与圆 O 有公共
15、点，试在其中求出半径最小的圆的方程解：(1)连接 OQ、 OP，则 OQP 为直角三角形，又| PQ| PA|，所以| OP|2| OQ|2| PQ|21| PA|2，所以 a2 b21( a2) 2( b1) 2，故 2a b30.(2)由(1) 知， P 在直线 l：2 x y30 上，所以| PQ|min| PA|min，为 A 到直线 l 的距离，所以| PQ|min .|22 1 3|22 12 255(或由| PQ|2| OP|21 a2 b21 a2912 a4 a215 a212 a85( a1.2)20.8，得| PQ|min .)255(3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公
16、共点，半径最小时为与圆 O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径，圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l与 l的交点 P0，所以 r 1 1，322 12 355又 l： x2 y0，联立 l：2 x y30 得 P0( ， )65 35所以所求圆的方程为( x )2( y )2( 1) 2.65 35 35521有一圆与直线 l：4 x3 y60 相切于点 A(3,6)，且经过点 B(5,2)，求此圆的方程解：法一：由题意可设所求的方程为( x3) 2( y6) 2 (4x3 y6)0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得 1，
17、所以所求圆的方程为x2 y210 x9 y390.法二：设圆的方程为( x a)2( y b)2 r2，则圆心为 C(a， b)，由| CA| CB|， CA l，得Error!解得 Error!所以所求 圆的方程为( x5) 2( y )2 .92 254法三：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，由 CA l， A(3,6)， B(5,2)在圆上，得Error!解得 Error!所以所求圆的方程为 x2 y210 x9 y390.法四：设圆心为 C，则 CA l，又设 AC 与圆的另一交点为 P，则 CA 的方程为 y6(x3)，34即 3x4 y330.又因为 kAB 2，6 23
18、 5所以 kBP ，所以直线 BP 的方程为 x2 y10.12解方程组Error!得Error! 所以 P(7,3)所以圆心为 AP 的中点(5， )，半径为| AC| .来源:Z,xx,k.Com92 52所以所求圆的方程为( x5) 2( y )2 .92 25422如图在 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：( x3) 2( y1) 24 和圆 C2：( x4)2( y5) 24.(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1截得的弦长为 2 ，求直线 l 的方程；3(2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2，它们分别与圆 C1和
19、C2相交，且直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被 C2截得的弦长相等试求所有满足条件的点 P 的坐标解：(1)由于直线 x4 与圆 C1不相交，所以直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为y k(x4)，圆 C1的圆心到直线 l 的距离为 d，因为圆 C1被直线 l 截得的弦长为 2 ，所3以 d 1.22 3 2由点到直线的距离公式得 d ，|1 k 3 4 |1 k2从而 k(24k7)0，即 k0 或 k ，724所以直线 l 的方程为 y0 或 7x24 y280.(2)设点 P(a， b)满足条件，不妨设直线 l1的方程为 y b k(x a)， k0，则直线 l2的方程为
20、y b (x a)因为圆 C1和 C2的半径相等，且圆 C1被直线 l1截得的弦长与1k圆 C2被直线 l2截得的弦长相等， 所以圆 C1的圆心到直线 l1的距离和圆 C2的圆心到直线l2的距离相等，即 ，|1 k 3 a b|1 k2|5 1k 4 a b|1 1k2整理得|13 k ak b|5 k4 a bk|，从而 13 k ak b5 k4 a bk 或13 k ak b5 k4 a bk，即( a b2) k b a3 或( a b8) k a b5，因为k 的取值有无穷多个，所以Error!或 Error!解得Error! 或Error!这样点 P 只可能是点 P1 或点 P2 .(52， 12) ( 32， 132)经检验点 P1和 P2满足题目条件
