1、 计算机控制技术课程设计实验：直线一级倒立摆系统的建模及仿真一、已知条件：图 1 倒立摆简化模型摆杆角度为输出，小车的位移为输入。导轨中点为坐标轴的中心即零点，右向为坐标值增加的方向，杆偏移其瞬时平衡位置右侧的角度为正值。二、任务要求：总体任务通过调节 PID 参数，设计 PID 控制器实现摆杆在受到干扰的情况下，依然能恢复平衡。具体包括以下几部分：1. 理论推导包括倒立摆系统的动力学模型，传递函数，离散传递函数，状态空间或差分方程，稳定性分析，PID 控制器设计2. 程序实现实现内容：倒立摆系统模型，控制器以及仿真结果的显示。开发语言和工具：Matlab m 文件或 C/C+ (工具： VC
2、+或其它)3. PID 控制参数设定及仿真结果。分别列出不同杆长的仿真结果（例如：L=0.25 和 L=0.5）。4. 将理论推导、程序实现、仿真结果写成实验报告。具体求解过程如下：一，倒立摆系统动力学模型的建立图 1 摆杆的受力分析图以摆杆为研究对象，对其进行受力分析，如图 1 所示。根据质点系的达朗贝尔原理得（1）式中， 为杆的惯性力，表达式为 ，为杆的质量， 为重力加速度， 为杆的惯性力偶。惯性力及惯性力偶的大小分别为（2）式中， 为杆的角加速度， 为小车的加速度， 为杆的长度， 为杆偏离中心位置的角度， 偏离轨道中心的位移。对（2）式代入（1）式，并整理可得（3）当摆动较小时，可以进行
3、近似处理 。故（3）式可化为（4）对（4）式进行拉普拉斯变换得（5）则系统的开环传递函数为（6）式中，二，离散传递函数，差分方程、状态空间及稳定性分析1，离散传递函数将连续系统离散化，根据连续传递函数 可求得相应的脉冲传递函数为（7）式中， 。将参数 代入（7）式得该参数下的脉冲传递函数为（8）2，根据离散传递函数求系统差分方程由可得（9）进行反变换即可得到对应的差分方程（10）将参数 代入（10）式得该参数下的差分方程为（11）3，根据离散传递函数求系统状态空间表达式根据设（12） 则（13）选取状态变量（14）将 代入 ，取 反变换，可得状态方程（15）将参数 代入（15）式得该参数下的状
4、态方程为（16）4，稳定性分析对于开环系统，由传递函数可得系统的特征方程为（17）特征方程的根为 。由于特征根中有一个大于 1，位于单位圆外，故系统是不稳定的。四，PID 控制器设计由以上分析可知，系统是不稳定的，为使倒立摆在受到干扰时能保持稳定，必须对系统进行 PID 控制器的设计。倒立摆计算机控制系统的框图如下模拟 PID 控制器的基本算式为（18）根据式（16）和（18）可求得在不同 下的摆角值。具体的仿真过程如下：1，取 固定不变， 分别取 0.5,1.0,1.5,2.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a1)(b1)(c1)(d1)由图(a1)、(b1)、(c1)、(d1)可知，当 时，
5、倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大 到 1.0，系统的调节时间变短；当 时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当 时，倒立摆已无法恢复稳定。2，取 固定不变， 分别取-0.5,-1.5,-2.5,-3.5，倒立摆的输出变化曲线如下：(a2)(b2)(c2)(d2)由图(a2)、(b2)、(c2)、(d2)可知，当 时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长后无法达到稳定；继续减小 到-1.5，系统可以达到稳定；当 时，系统的调节时间变短；当 减小到-3.5 时，倒立摆已无法恢复稳定。3，取 固定不变， 分别取-0.1,-0.3,-0.5,-0.7，倒立摆的输出变化,曲线如下：
6、(a3)(b3)(c3)(d3)由图(a3)、(b3)、(c3)、(d3)可知，当 从-0.1 减小到-0.7 时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.7 时系统已无法恢复稳定。五，改变杆长后的仿真结果将杆长由 改为 ，系统的仿真结果如下：1，取 固定不变， 分别取 0.2,0.4,0.8,1.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a11)(b11)(c11)(d11)由图(a11)、(b11)、(c11)、 (d11)可知，当 时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大 到 0.4，系统的调节时间变短；当 时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当 时，倒立摆已无法恢复稳定
7、。2，取 固定不变， 分别取-1.0,-1.3,-1.6,-1.9，倒立摆的输出变化曲线如下：(a12)(b12)(c12)(d12)由图(a12)、(b12)、(c12)、 (d12)可知，当 时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长时会失去稳定；继续减小 到-1.3，系统可以达到稳定；当时系统可以稳定但调节时间变长；当 减小到-1.9 时，倒立摆已无法恢复稳定。3，取 固定不变， 分别取-0.01,-0.1,-0.2,-0.24，倒立摆的输出变化,曲线如下：(a13)(b13)(c13)(d13)由图(a13)、(b13)、(c13)、 (d13)可知，当 从-0.01 减小到
8、-0.24 时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.24 时系统已无法恢复稳定。附录：1，PID 设计过程的 Matlab 程序如下l=1;g0=10;%重力加速度tt=0.01;%采样周期a=3/(4*l);%代数 anumGs=-a 0 0;%连续传递函数的分子denGs=1 0 -a*g0;%连续传递函数的分母sysGs=tf(numGs,denGs);%系统连续传递函数F,G,C,D=ssdata(c2d(sysGs,tt,zoh);%求得 ZOH 下 以 tt 为采样周期的状态空间（离散）t(1)=0;x=zeros(1,1000);%一行 1000 列 0 矩
9、阵theta(1)=0;e=zeros(1,1000); %一行 1000 列 0 矩阵s=0;KP=0.5;KI=-2.0;KD=-0.3;% 设置 PID 参数y=0;0;for k=2:1000;t(k)=t(k-1)+tt;if k=20delta=0.1;elsedelta=0;endtheta(k-1)=theta(k-1)+delta; e(k)=-theta(k-1);%PID 公式的第一项s=s+e(k);%PID 公式的第二项x(k)=KP*e(k)+KI*s+KD*(e(k)-e(k-1);%PID 公式theta(k)=C*y+D*x(k);%初始输出 y 为零y=F*
10、y+G*x(k);endfigure(1)plot(t,theta),gridtitle(KP=0.5,KI=-2.0,KD=-0.3)xlabel(t/s),ylabel(theta)2，为便于改变参数，可利用 Matlab 的 GUI 界面来方便的进行 PID 参数的设计，所设计的界面如下图所示：此时需将程序命令添加到 Plot 按钮下，即function plot_push_Callback(hObject, eventdata, handles)l=str2double(get(handles.L_edit,String);tt=str2double(get(handles.T_edi
11、t,String);g0=str2double(get(handles.G_edit,String);KP=str2double(get(handles.KP_edit,String);KI=str2double(get(handles.KI_edit,String);KD=str2double(get(handles.KD_edit,String);a=3/(4*l);numGs=-a 0 0;denGs=1 0 -a*g0;sysGs=tf(numGs,denGs);F,G,C,D=ssdata(c2d(sysGs,tt,zoh);t(1)=0;x=zeros(1,1000);theta(
12、1)=0;e=zeros(1,1000);s=0;y=0;0;for k=2:1000;t(k)=t(k-1)+tt;if k=20delta=0.1;elsedelta=0;endtheta(k-1)=theta(k-1)+delta; e(k)=-theta(k-1);s=s+e(k);x(k)=KP*e(k)+KI*s+KD*(e(k)-e(k-1);theta(k)=C*y+D*x(k);y=F*y+G*x(k);endplot(t,theta),gridxlabel(t/s),ylabel(theta) 如输入杆长 为 1.0，采样时间 为 0.01，重力加速度 为 10.0，比例环节 为 1.0，积分环节 为-2.0，微分环节 为-0.3，点击 Plot，可观察此时的图形界面如下图所示：
