1、第17章 网络图论基础,17.1 网络的图,17.2 回路 树 割集,17.3 图的矩阵表示和KCL,KVL方程的矩阵形式,17.4 节点电压法,17.5 含VCCS电路的节点分析,17.6 割集法,17.7 回路法,17.9 表格法,17.8 改进节点法,本章重点, 本章重点,返回目录,网络图论是数学的一个分支,是应用图论研究网络的几 何结构及其基本性质的理论。,研究对象,实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的“图(graph)”。,电路中的应用,应用图论的基本概念建立便于计算机识别的列写电路 方程的系统方法。,17.1 网络的图,一、网络图论,网络拓扑(topological graph):
2、 泛指线段和点之 间的连接性质。,二、网络的图,电路图,抽象图,名词,(2)子图(sub graph),(3) 路径:从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动 到达另一节点所经过的支路构成路经。,(4)连通图(connected graph):图G的任意两节点间至 少有一条路经时称图G为连通图。,有向图中的方向表示原电路中 支路电压和电流关联参考方向。,(5)有向图(directed graph),返回目录,17.2 回路 树 割集,一、回路(loop),(1)连通; (2)每个节点关联支路数恰好为2。,回路L是连通图G的一个子图。,具有下述性质,树支(tree branch):属于树的支路。
3、,连支(link): 属于G而不属于T的支路。,二、树 (tree),树T是连通图G的一个子图,具有下述性质:,(1) 连通; (2) 包含G的所有节点; (3) 不包含回路。,树T1,树T2,树支数 bt= n-1,连支数 bl = b-(n-1),单连支回路(基本回路(fundamental loop):每个回路中只包含一个连支,其余均为树支。,树支数 4,连支数 3,以2,3,6,7为树支, 分别加入1,4,5形成 三个单连支回路,三、割集(cut set),(1)把Q 中全部支路移去,将图分成两个分离部分;,(2)保留Q 中的一条支路,其余都移去, G还是连通的。,割集Q是连通图G中一
4、个支路的集合,具有下述性质:,例,闭合面与支路 2,5,4,6相交,Q4: 1 , 2 , 5 ,Q3: 1, 4, 5,Q2: 2, 3 , 6 ,例,Q4: 1 , 5,3,6 ,单树支割集(基本割集(fundamental cut set ) 每个割集中只包含一个树支, 其余均为连支。,Q3: 1 , 3 ,5 , 6 ,Q2: 3 , 4 , 5,Q1: 2 , 3 , 6 ,选1,2,4为树支的基本割集, 1,2,3,4 是否组成割集?,三个分离部分,保留4支路,图不连通的。,基本回路,基本割集,1,2,3,4,1,4,5,1,2,6,3,4,5,2,3,6,1,5,3,6,基本回路
5、和基本割集关系,对同一个树,(1)由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支,每个 这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt 。,例 由树支4确定的基本割集包含连支3、5 ,则连支3、5 构成的单连支回路中一定包含树支4 。,(2) 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支,每个这种树支所构成的基本割集中含有bl 。,例 由连支6确定的单连支回路包含树支1,2 ,则由树支1,2所构成的基本割集中一定含有连支6。,返回目录,17.3 图的矩阵表示和KCL,KVL方程的矩阵形式,一、节点关联矩阵(node incidence matrix)A,用矩阵形式描述节点和支路的关联性质,1 有向支路
6、j 背离 i 节点,-1 有向支路 j 指向 i 节点,0 i节点与 j 支路无关,关联矩阵,Aa=aijn b,1 0 0 - 1 0 1,- 1 - 1 0 0 1 0,0 1 1 0 0 - 1,0 0 - 1 1 -1 0,1 -100,0 -110,001 -1,-1001,010 -1,10 -10,设为参考节点,划去第4行,称A为降阶关联矩阵(reduced incidence matrix) (n-1)b , 表征独立节点与支路的关联性质,按列列写,按行列写,各行不独立,支路电压,节点电压,矩阵形式的KCL,矩阵形式的KCL,Ai =,Ai = 0,矩阵形式的KVL,二、基本回
7、路矩阵(fundamental loop matrix)B,(2)支路排列顺序为先树(连)支后连(树)支。,1 支路j与回路i关联,方向一致,-1 支路j 与回路i关联,方向相反,0 支路j 不在回路 i 中,约定: (1) 回路电流的参考方向取连支电流方向。,用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质,B = b i j l b,选 4、5、6为树支,连支为1、2、3。,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,= Bt 1 ,设,矩阵形式的KVL,0 1 -1 0 0 1,Bu = 0,Bu = 0 可写成另一种形式,Bt ut + ul = 0,ul = - Btut,用树支电压表
8、示连支电压。,连支电压,树支电压,B= Bt 1 ,用连支电流表示树支电流。,BT il = i,矩阵形式的KCL,KCL的另一种形式,三、基本割集矩阵(fundamental cut set matrix)Q,约定: (1) 割集方向与树支方向相同。(2) 支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。,1 j支路与割集 i 方向一致,-1 j支路与割集 i 方向相反,0 j 支路不在割集 i 中,用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质,Q = q i j n-1 b,Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6,设,矩阵形式的KCL,Qi =0,选 4、5、6为树支,连支为1、2、
9、3。,用回路矩阵表示时,用连支电流表示树支电流,矩阵形式的KCL的另一种形式,Qi =0 可写成,可见,回路矩阵和割集矩阵有 的关系。,矩阵形式的KVL,用树支电压表示连支电压。,QTut=u,KVL的另一种写法,Q,Qi = 0,QTut= u,小结:,ul = - Btut,A,B,Ai = 0,BTil = i,ATun= u,Bu=0,矩阵形式的KCL,KVL,返回目录,17.4 节点电压法,KCL A i =0,KVL u=Atun,元件特性方程,规定每个支路必须有一个阻抗,Yk:导纳,k支路电压、电流关系:,设,Z=diagZ1 Z2 Zb ,Y=diagY1 Y2 Yb ,Z=Y
10、-1,支路电流的矩阵方程 为,b条支路电压与电流关系的矩阵形式为,由KCL A i =0,由KVL u=Atun,节点导纳阵(node admittance matrix),得节点电压方程,由此求得支路电压和电流,可得,(1)画有向图。,(2),例1 列写图示电路的节点电压方程。,解,(4),(5),(6),得,(3),Y=Z -1,其中,节点电压方程,(矩阵相乘由程序完成),返回目录,17.5 含VCCS电路的节点分析,第一步:先不考虑受控源,b 条支路电压、电流关系的矩阵形式为,设电路中只存在由阻抗元件电压控制的电流源。,第二步:考虑受控源,只需在导纳矩阵的 k行(受控支路)和 j列(控制
11、支路)处添上控制系数 gkj(参照标准支路定正、负)。, gkj,得,将上式改写为:,例 列写图示电路的节点电压方程。,其中,-g,节点方程,在Y阵的第3行第4列处添上 g,得到Ym,返回目录,17.6 割集法,取割集(树支)电压为未知变量。,割集方程矩阵形式,元件特性,割集法和节点法很相似。在割集法中VCCS最易处理,处理 方法与节点法完全相似。,返回目录,17.7 回路法,取回路电流(连支电流)为未知变量。,回路方程矩阵形式,支路电压与支路电流的关系,代入上面方程,整理后得,回路法中独立变量是电流,最易处理CCVS,处理含有互感的电路时比节点法和割集法方便 。,返回目录,17.8 改进节点
12、法,处理对象:电路中含有纯电压源或纯压控电压源支路。,思路:先用直观法列节点方程,进而给出改进节点 法一般形式。,补充方程:纯电压源或纯压控电压源支路电压和节点 电压的关系式。,控制量与节点电压的关系式,将以上各式写成矩阵形式,改进节点法的一般形式为,其中,H12 :纯电压源(纯压控电压源)支路与节点相关联 的子矩阵。,Yn :将电路中的纯电压源或纯压控电压源支路断开后 电路的节点导纳子矩阵。,:为节点电压列向量 。,:为纯电压源或纯压控电压源支路的电流列向量 。,:注入各节点的等效电流源列向量 。,:纯电压源支路的电压源向量。,H21:用节点电压表示纯电压源(纯压控电压源)支路 电压子矩阵。,返回目录,17.9 表格法,表格法是以电路中全部支路电压、支路电流和独立 节点电压为待求量求解电路的方法。,举例说明,支路数 b = 6,独立节点数 n = 2,待求变量共2b+n=14个。,设,支路电压向量,独立节点电压向量,支路电流向量,关联矩阵,KCL,KVL,支路约束关系,写成矩阵形式,其中,将下面三式合成矩阵形式的方程即为表格法方程。,在表格法中建立系数矩阵的规则很简单,相当于填写 一张表格,易于用计算机来完成,且通用性强。,返回目录,