1、公 开 密 钥 密 码 算 法 及 其 快 速 实 现! “ # $ % 2 1 2 0 公 钥 密 码 和 椭 圆 曲 线（ # “ % “ $ ? 8 8 2 3 ;,5 A = 素 性 检 测 $ /# “% “% ? 2 = 6 ? A B C .* D 6 ? A B 算 法 / “ # “ 2 , 3 3 * 4 5 6 ! 因 子 分 解 算 法 / $“ # “ # 2 ,E 3 .C 6 F A 3 3 = * D 算 法 / 0“ # “ $ .D 5 A G 6 + * 3 + H 3 H ? 算 法 0 7“ $ ;3 (1格 基 约 简 算 法 # % )“ ( “
2、% 子 集 和 问 题 的 解 # % + % % + 5 2 ( : 5 3 0 3 4 + 5 ?! “ 6 “ ! 2 ( : 5 3 4 5 C + % 2 / H 4 3 , ) * + ( , ! 8! “ ? “ ! I / C + ( 4 3 * % 0 5 . 7 ( + + % 2 / H 4 3 , + A I / C + ( 4 3 * % ! ?! “ ? “ 8 ) * ; + % 2 / H 4 3 , + A 7 ( + 0 . / K I B 5 = ( , 2 3 4 + 5 I / C + ( 4 3 * % ! J6 “ 6 K I K 4 C 5 0
3、3 $ ( I / C + ( 4 3 * % 6 L6 “ 8 K = $ ( 4 3 , + A K I 7 $ ( , 2 3 + : , : 3 % 0 5 . K + % I 3 3 0 = O : I C 0 4 5 : 3 K I 7 $ ( , 2 3 + : , : 3 % 6 !6 “ 8 “ ! K = $ ( 4 3 , + A K I 7 $ ( , 2 3 + : , : 3 % 6 !6 “ 8 “ 6 K + % ) , 2 4 = 0 / - 3 * + . : I 3 3 0 = O 4 5 C K I 7 $ ( , 2 3 + : , : 3 % 6 6
4、6 “ ? 7 ( 4 % 0 / 4 3 , ) : 3 : 6 P6 “ ? “ ! 0 , 1 2 ( ! D E 5 #! “ # “ F G ( B % 8 1 $ = 2 3 .- + 5 F! “ # “ H 0 , 1 2 ( 7 $ L 0 = 8 7 $ L 0 = 8 . , . / B . - ( / N ! “ # $ % O 3 - ! “ ? / 7 / - / * / ( 3 * 4 0 5 / ( 8 ! “ # $ % / . / * 5 3 5 ) * 7 D ; ; ) = 5 ) % 1 - C / , 1 2 ; ) G / H% - H = 5 (
5、 H ( 5 / . $ M 9A “ ! “ $ % + - ) 5 ; ) = 5 ) % 1 - C / $ M 8A “ A ? / 7 / - / * / ( 3 * 4 0 5 / ( $ $ ! “ # $ % ! “! “ # “ $ % # 1 4 6 1 = 4 + 8 $ 9 ?!“ A ) B B ) + + * 0 6 ) ( E 1 B . = ) 2 0 = 4 ) * D + E J 2 * 6 E I ( ) 1 2 3 4 5 1 6 ) ( 7 8 $ # ! “ ! “ 9 H 8 I 4 + 8 + 2 ( ( ) 1 2 1 B . = ) 2 0
6、= 4 ) * D + E J 2 * 6 E I ( ) 1 23 4 5 1 6 ) ( 7 8 $ # :! “ : G * J 4 ) + * + 0 = 4 ) * D + E J 2 * 6 E I ( ) 1 2 3 4 5 1 6 ) ( 7 8 $ # :!“ K % L M 0 = 4 ) * D + E 3 4 5 1 6 ) ( 7 8 $ # N! “ N . + B + 6 + 2 * + - 2 / O 1 ( + - $ # ?! “ # “ $ “ % ()?在 参 考 文 献 “ 中 描 述 了 这 个 算 法 及 一 些 现 代 的 改 进 。算 法 !“
7、# 计 算 最 大 公 因 子 的 ; 7 = 6 8 ,0 (算 法 。 输 入 ： 整 数 !， 。输 出 ： *7 8（ !， ） 。（ # ） 如 果 !# :， 则 ! !。（ !） 如 果 # :， 则 ! 。0（ !） !“。（ “） 当 #“#， 执 行 ：! !# ；“ # !“ $ % & # ；# “ !。（ ） 返 回 !。上 述 方 法 可 推 广 到 求 $ 个 数 的 最 大 公 因 子 。( ) * 域 表 示本节 将 给 出 有 限 域 %& 的 元 素 表 示 。 在 本 节 及 本 章 以 下 的 叙 述 中 ， & + ， 是 素 数 ， 或 &+*$
8、， $ “(。! “ # “ ! 有 限 域 ! “有 限 域 % 由 整 数 集 合 #， (， *， ， ,( 组 成 ， 每 个 这 样 的 整 数 可 以 用 一 个 长 度 恰 为 (+ -%.*（ 其 中 # 表 示 不 小 于 # 的 最 小 整 数） 的 二 进 制 表 示 ， 该 表 示 由 整 数 的 二 进 制 表 示 及 在 其 左 边 添加 适 当 个 数 的 #组 成 。 % 中 元 素 具 有 以 下 算 术 运 算 。， 则 ) /* + + ) / * 加 法 如 果 )， *# % 得 的 剩 余 ， # $ + $ ,(。乘 法 如 果 )， *# % 则
9、 ) * + , ， 其 中 是, ) *被 除所，的 剩 余 ， # $ ,$ ,(。， 其 中 是 被 除 所 得令 % 表 示 % 中 所 有 非 零 元 素 ， 可 证 明 在 % 中 至 少 存 在 一 个 元 素 !， 使 得 % 中 任 意 非 零 元 素 可 以 表 示 成 ! 的 方 幂 ， 这 样 的 元 素 ! 称 为 % 的 生 成 元 （ 或 本 原 元 ） ， 即 - ! # $ . $ / *% % .：) + ! .# % % 的 乘 法 逆 是 ( , .（ ,.） $ % & （ ,(） 。 ) + ! + !例 !“ ! 有 限 域 % * ， ，*的 加
10、 法 和 乘 法 运 算 表 见表 ()(。， % + # ( % *$ %!% !% %!% %! !% !“$!） 通 常 用 长 度 为%$#-表 !“! !# 的 加 法 和 乘 法 运 算 表! &! % !， ! ( % !# # # ! # 中 的 算 术 运 算的 生 成 元 ， 的 幂 是是 ! # $ # % ( # ( ) ， * & ) ( + # ( ， ,是 ! # , % ( ! , ! ( , , # ( # , ( !% , - ( - , , ( # %, . ( * , + ( ! + , * ( ! . , ) ( ! ! , ! % ( ) , ! !
11、( # #, ! # ( ! * , ! ( # ! , ! - ( ! , ! , ( ! ) , ! . ( , ! + ( ! , ! * ( . , ! ) ( + , # % ( ! # , # ! ( ! - , # # ( ! “ # “ # 有 限 域 ! #有 很 多 构 造 元 素 个 数 为 素 数 方 幂 的 有 限 域 的 方 法 ， 我 们 这 里 利 用 多 项 式 的 加 、 乘 、 除 和 剩 余 来 构 造 有 限 域 。 （ ，%令 “（ # ） (# $ $ “$ / !#$ / !$ $ “# # $ “!# $ “ % “ % “ ! # % # $
12、 /!） 是 !# 上 次 数 为 $ 的 不 可 约 多 项 式 ， 即 “（ #） 不 能 分 解 为 !# 上 两 个 次 数 小 于 $ 的 多 项 式 的 积 。 有 限 域 !# 由 !# 上所 有 次 数 小 于 $ 的 多 项 式 组 成 ， 即$ & $ ( !# $ ( !) $ ( # # $ ( # ) ) !# ) % 0 % “ % ， ! 域 元 素 （ $ /!# $ /!$ $ /# # $ /# $ $ !# $ %$ 的 二 进 制 串 （ $/! ! ） 表 示 ， 使 得$ ） 0 “ % ， ! ! # & （ $ ( !$ ( # ! % %因 此
13、 ， !# 中 的 元 素 可 以 用 所 有 长 度 为 $ 的 二 进 制 串 的 集 合 来 表示。域 元 素 的 加 、 乘 运 算 如 下 。）$ （ * * * ） (（ + + + ） ， 其域 加 法 （ $ /! ! % $ / ! ! % $ / ! ! %中 +%(%$*%123#， 即 域 加 法 是 按 分 量 方 式 进 行 的 。） （ * * * ） (（ , , , ） ， 其域 乘 法 （ $ /! ! % $ / ! ! % $ / ! ! %“&+!“-中 多 项 式 （ ! “ ! “ # “ ! “ # ! “ ! $ # “ ! $ # # ! “
14、 # # ! ） 是 多 项 式 # “ !“# $ # “ !$ # # $ # # $ ） （ % # “ !“# %（ $ “ !“ “ ! $ “ % “ ! “ “ ! $） 在 上 被 （ ） 除 所 得 的 剩 余 。# “ ! $ # # % “# # % % & $ #这 种 表 示 &$ 的 方 法 称 为 多 项 式 基 表 示 。 注 意 到 &$ 恰 好 包 含 $“ 个 元 素 。 令 &! 表 示 & 中 所 有 非 零“ “ “$ $元 素 的 集 合 ， 则 可 证 明 至 少 存 在 一 个 元 素 (“&$ ， 使 得 &$ 中 任“ “意 非 零 元 素
15、 可 以 表 示 成 ( 的 一 个 方 幂 。 这 样 的 一 个 元 素 ( 称 为“ 的 生 成 元 （ 或 本 原 元 ） 。 即$ $ ) ( & % # * # $ + $& ! “ *$ ( * “ & ! “ 的 乘 法 逆 是 “ “! * ($ $ ( （ !*） ()*（ $ !“） 。例 !“# 用 多 项 式 基 表 示 有 限 域 &$ 。在 & $ 上 取 多 项 式 （ #） # +#“， 可 以 验 证 （ #） 是 & $上 的 不 可 约 多 项 式 ， 则 &$ 中 的 元 素 为（ % % % % ） （ % % % “） （ % % “% ） （ %
16、 % “） （ % “% % ） （ % “% “） （ % “% ） （ % “）（ “% % % ） （ “% % “） （ “% “% ） （ “% “） （ “% % ） （ “% “） （ “% ） （ “） 作 为 域 算 术 的 例 子 ， 有 （ “% “） #（ “% % “） （ % % “% ） 及（ “ “ % “） （ “ % % “） )（ # ,# $ ,“） （ # ,“） ) # -,# .,# $ ,“ )（ # + ,# ,“） （ # $ ,# ） ,（ # ,# $ ,# ,“） )（ # ,# $ ,# ,“） ()* （ # ） )（ “ “ “
17、“） 即 （ # ,# # $# “） （ # ,# “） 被 （ #） 除 所 得 的 剩 余 是 （ # ,# # $# # # “） 。乘 法 单 位 元 是 （ %“） 。+可 以 由 一 个 元 素 生 成 ， 的 幂 为& $ ! # ! % （ % % % “） ! “ （ % % “% ） ! $ （ % “% % ） ! , （ “% % % ）! + （ % % “） ! . （ % “% ） ! - （ “% % ） ! / （ “% “）! 0 （ % “% “） ! 1 （ “% “% ） ! “ % （ % “ “ “） ! “ “（ “ “ “ % ）! “ $
18、（ “ “ “ “ ） ! “ ,（ “ “ % “ ） ! “ + （ “ % % “） ! “ . ! % （ % % % “）更 一 般 地 ， 域 &$ 可 以 表 示 成 &$ 上 一 个 维 数 为 “ 的 向 量 空“#!“!“#$ $ $“*“ ， ! ， ， ! 组 成 的 集 合 ，间 ， 也 即 ! ! 中 存 在 一 个 由 “ 个 元 素 !“ # “ $ #使 得 每 个 ! 可 惟 一 写 成 如 下 形 式 ， 即! # $ “! “% $ # ! # % % $ “ & # ! “ & #， $ ， ， $ ，其 中 $ ! “， # 。 可 以 将 ! 表
19、示 成 “， # 向 量 （ $ “ # “ $ !$“$ ） 。 域 元 素 的 加 法 由 元 素 的 向 量 表 示 按 位 异 或 来 进 行 。一 般 地 ， ! 在 ! 上 有 很 多 不 同 的 基 。 ! 在 基 域 ! 上 的“ “一 组 正 规 基 是 形 如 “， “ ， “ ， ， “ “ $ # 的 一 组 基 ， 其 中 “ ! ! ! 。! ! ! “理 论 上 已 证 明 这 样 的 基 总 存 在 。 给 定 任 意 元 素 ! ， 可 以 记“ & # ! “ 中! # “ $ “# “， 其 中 $ ! “， # ， “# # “$ # 。 由 于 平 方
20、 在 !是 一 个 线 性 运 算 ， 有“ & # % # “ ! !， $ ， $ ， ， $ ）! ! # “ $ “# “# “ $ & # “# # （ $ “ & # “ # “ & !指 标 用 模 “ 约 简 。 因 此 ， ! 用 正 规 基 表 示 时 ， 平 方 一 个 元 素 可以通 过 向 量 表 示 的 一 个 简 单 循 环 移 位 来 完 成 ， 这 是 在 硬 件 中 非 常 容 易 实 现 的 运 算 。“ 中 的 元 素 还 可 以 用 一 种 特 殊 的 正 规 基 最 优 正 规 基!（ % & ） 来 表 示 。 % & 只 对 某 些 “ 值 ，
21、在 ! ! 中 存 在。 有 两 种% &， 称 为 !型 % & 和 “型 % &。 这 两 种 % &的 差 别 在 于 定 义 中 所 采 用 的 数 学 公 式 不 同 。当 采 用 %&表 示 时 ， ! 中 元 素 的 乘 积 可 以 很 容 易 用 硬 件 实现。! “ # “ $ 用 % &表 示 的 ! “ 中 元 素 的 乘 积 以 下 将 多 项 式 (（ )） ($ “ $ # ) “ $ # )$ “ $ !) “ $ !) ) $ # ) )（ 其 中“ $ ! “， # ） ， 用 长 度 为 “ 的 二 进 制 串 $ “ $ #表 示 ，# “二 进 制 串
22、可 以 等 价 地 看 做 长 度 为 “ 的 二 进 制 向 量 。! “ # “ $ “ ! % & 的 建 立（ #） 如 果 ! ! 只 有 !型 % & ， 则 令 (（ )） ()“ ) ) “ $ # ) )#）#0!“!“#。 否 则 ， 如 果 “! 有 !型 $% &， 则 用 下 列 递 归 公 式 计 算$ （ !） $ （ !） 。 （ !） （ !）$ ( % # $ # % !& #（ !） % !$ （ !） & $ （ !） ， !#$ & # ( #$（ !） 是 系 数 在 “! 中 的 次 数 为 # 的 多 项 式 ， 多 项 式 集 合 !， !，!
23、 # ) #! ! ， ， ! ! 形 成 “ ! 在 “ ! 上 的 一 组 基 ， 称 为 正 规 基 。（ !） 构 造 # * # 矩 阵 !， ! 的 第 行 （ (“# )#） 是 对 应 于多 项 式 ! +,-$（ !） 的 二 进 制 向 量 。 ! 的 行 和 列 用 从 (到 # ) # 的 整 数 标 识 ， ! 的 表 值 是 “! 中 的 元 素 。（ .） 确 定 ! 的 逆 矩 阵 !)#。（ /） 构 造 # * # 矩 阵 “， “ 的 第 行 （ ( “ “ # )#） 可 按 如 下方 法 得 到 ： 首 先 计 算 多 项 式 ! +,-$（ !） ，
24、 然 后 将 对 应 的 二 进 制 向 量 表 示 成 ! ， 则 “ 的 第 行 是 二 进 制 向 量 ! !)#。（ ， ） 的 值 。 这（ 0 ） 用 ! ， )* （ ) ) ， ） 确 定 ! ， ) ( “ ) “ # ) #里 ， *（ ， )） 表 示 矩 阵 “ 的 （ ， )） +表 值 ， 下 标 用 模 # 约 简 。 每 个是 中 的 一 个 元 素 ， 且 满 足 ： 对 所 有 （ ） ， 恰 好 只! ， ) “ ! ) ( “ ) “ # ) #有 一 个 )， 使 得 !(， )#； 对 每 一 个 （ (“# )#） ， 恰 好 有 两 个不 同 的
25、 )（ (“)“# )#） ， 使 得 !， )#。 因 此 矩 阵 “ 的 # ! 个 表 值 中 恰 好 有 （ !#)#） 个 为 #， 其 余 为 (。 正 是 由 于 这 个 原 因 ， 以 上 正 规 基 被 称 为 $%&。! “ # “ $ “ # 乘 法令 , （ , (, # , # ) !, # ) #( # # ) ! # ) # !） ， - （ - - - - ） 是 “ # 中的 两 个 元 素 ， 则 , 和 - 的 乘 积 是 域 元 素 .（ .(.# . # ) !. # ) # ， 其中 系 数 ./ 用 公 式# ( # # ( # ， ( “ / “
26、 # ( #. / % # # , & /- & /! ， )% ( ) % (计 算 ， 式 中 所 有 下 标 用 模 # 约 简 。从 以 上 描 述 可 以 看 出 ， 如 果 “! 中 的 两 个 元 素 用 $%& 表 示 ， 则 域 算 术 能 够 有 效 地 进 行 硬 件 实 现 。 如 果 选 用 了 “! 的 其 他 表%$+示 ， 例 如 多 项 式 基 表 示 ， 则 利 用 适 当 的 基 矩 阵 变 换 ， 可 以 很 容 易 在 两 种 表 示 之 间 进 行 转 换 。例 !“# 用 !“#表 示 有 限 域 ! $ 。同 例 &(一 样 ， !$ 可 以 表
27、 示 成 所 有 长 度 为 %的 二 进 制 向 量 的集 合 ， 即（ )） （ )& ） （ )& )） （ )& & ） （ )& )） （ )& )& ） （ )& & )） （ )& & & ）（ & )） （ & )&） （ & )& )） （ & )& &） （ & & )） （ & & )&） （ & & & )） （ & & & &） 域 元 素 按 下 列 公 式 进 行 加 和 乘 。） *（ # # # # ） + （ $ $ $ $ ） ， 其 中 $ +域 加 法 （ “ )“ & “ $ “ ( ) & $ ( ) & $ ( %“%*#%! ， 换 言 之 ，
28、 域 加 法 是 通 过 向 量 表 示 的 简 单 异 或 得 到 的 。域 乘 法 乘 积 可 做 如 下 设 定 ：（ & ） & （ ） + % * (* $ * * & ；“ ) ) & ) $（ $） 矩 阵 ! 计 算 为 !+ ) & ) ) ；& & & &# & ) ) )%“ ) ) ) & $（ (） ! 的 逆 是 !,& + ) & ) ) ；& ) ) )# & & & & % “ ) & ) ) $（ % ） 矩 阵 “ 计 算 为 “+ ) ) ) & ；& & & &# ) ) & )%项 是 !)， $ &$ & ( $ ) $& ( & (（ -） 等
29、于 & 的 !% ， ( ， ! ， ， ! ， ， ! ， ， ! ， ， ! ， 和 ! ， ，因 此 ， 乘 积 为 （ “)“& “$“( （ # )# & # $# ( （ ） ， 其 中） ） + $ )$ & $ $ $ (（ # * # ） *“（ # * # ） *“（ # * # ）$ ) ) “ ) # $ * “ & $ ( $ ) & ( & (（ # * # ） *“（ # * # ） *“（ # * # ）$ & ) “ & # ( * “ $ ( ) ( & $ ) $ )& （ # * # ） *“（ # * # ） *“（ # * # ）$ ) “ $ #
30、) * “ ( ) & ) $ ( & ( &( （ # * # ） *“（ # * # ） *“（ # * # ）$ ( ) “ ( # & * “ ) & $ & ( ) $ ) $（ & & ）#%在 这 个 表 示 中 ， $ 可 以 由 !(（ !&） 的 幂 生 成 ， 即( !“个 长 度 为 #的 二 进 制 向 量 在 上 述 加 法 和 乘 法 的 定 义 下 构 成 域 。注 !乘 法 单 位 元 是 （ !） ， 在 例 !$%中 是 （ &!） 。“ 注 意 到 （ ! & ! ! ! % ） （ ! & ! ! ! % ） (（ ! & ! ! ! % ） (（ !
31、%!&! ） ， 因 此 ， 域 元 素 的 平 方 是 其 向 量 表 示 的 一 个 简 单 右 循 环 移 位 。#乘 法 中 “! 的 公 式 可 以 由 “& 的 公 式 中 每 个 下 标 加 ! 得 到（ 其 中 下 标 模 #约 简 ） ， “ 的 公 式 由 “ 的 公 式 中 每 个 下 标 加 得 到 &（ 其 中 下 标 模 #约 简 ） ， “% 的 公 式 可 类 似 得 到 。 ） 和 （ # ） 计 算$从 前 面 的 叙 述 可 以 看 出 ， 从 （ !&!% & ! %， 方 法 是 将 （ ! ） 和 （ # # # # ） 应“& 的 线 路 可 以
32、用 来 计 算 “! ! % & & ! %用 其 中 。 类 似 地 ， “ 和 “ 可 以 通 过 左 移 输 入 向 量 来 计 算 。 %下 面 用 一 个 例 子 来 说 明 怎 样 在 $ 的 这 种 表 示 中 计 算 ， 有（ !& & !） （ !& !） (（ “ & “ !“ “ ） ， 其 中 “& % （ !（ & ） & （ & （ & & !） & （ & （ !& !） & （ !（ !& !） % & “! % （ & （ !） & （ & （ !& !） & （ !（ !& & ） & （ !（ & & !） % & “ % （ & （ !） & （ !（
33、!& !） & （ !（ & & !） & （ & （ !& !） % ! “% % （ !（ !） & （ !（ !& & ） & （ & （ !& !） & （ & （ !& & ） % &即（ !& & !） （ !& !） (（ & & !& ）又有（ !& !& ） !& (（ !& !& ） （ !& !& ） )(（ & !& !） （ & !& !） (（ !& !& ）（ !& !） *(（ !& !） （ !& !） )(（ !& !） （ !& !） (（ & & & !）!#! & (（ !） ! ! (（ !& & ） ! (（ & !& ） ! % (（ & !&
34、& ）! # (（ & & !） ! + (（ !& !& ） ! “ (（ & & !& ） ! , (（ & !）! ) (（ !& & !） ! * (（ !& & & ） ! !& (（ & !& !） ! !(（ !& ）! !(（ & & & !） ! !% (（ !& !） ! !# (（ !& !） ! ! + ( ! & (（ !）“&(&；* *当 有 限 域 ! 中 的 元 素 用 “#$表 示 时 ， 其 中 的 算 术 运 算 用 硬 件 和 软 件 都 能 有 效 地 实 现 。 关 于 “#$更 详 细 的 内 容 ， 可 参 阅 参 考 文 献 % 。&( 不
35、可 约 多 项 式 和 本 原 多 项 式 的 判 定如 果 一 个 次 数 “ !& 的 多 项 式 #（ $） “% & 不 能 写 成 $ % & $ 上 两 个 次 数 小 于 “ 的 多 项 式 的 乘 积 ， 称 #（ $） 是 %& 上 的 不 可约 多 项 式 。 有 限 域 !& 可 用 这 样 的 多 项 式 #（ $） 表 示 ， !& &“ “ ) % $ （ #（ $） ） ， 即 % $ 中 所 有 次 数 小 于 “ 的 多 项 式 ， 其 中 多 项 式 的 加 法 和 乘 法 的 执 行 要 模 #（ $） 。性 质 !“! 令 & 是 一 个 素 数 ， 是
36、 一 个 正 整 数 ， 则 ： 中 所 有 次 数 整 除 的 首 一 不 可 约 多 项 式 的 乘 积 等 于!% & $ $ & *$ ；“令 #（ $） 是 %& 中 次 数 为 的 多 项 式 ， 当 且 仅 当 对 每 个 $ “(（ & # (# “ ） ， +,-（ #（ $） ， $& *$） )&， 则 #（ $） 是 % & 上 不 可 约!的 。性 质 &可 用 来 检 验 一 个 多 项 式 是 否 不 可 约 。 算 法 !“# 生 成 %& 上 一 个 随 机 不 可 约 多 项 式 。 输 入 ： 一 个 素 数 & 和 一 个 正 整 数 “。输 出 ： %
37、 $ 中 一 个 次 数 为 “ 的 首 一 不 可 约 多 项 式 #（ $） 。（ &） 重 复 执 行 ：!随 机 选 取 .和 & *& 之 间 的 整 数 ). & ! ， ) “ * & 其 中，) ， ) ， ，) .$ .， 令 # （ $ ） 是 多 项 式 # （ $ ） )$ “ / ) “ * & $ “ * & / / ) !$ ! /) & $ / ) .“利 用 下 面 的 算 法 &(&检 验 #（ $） 是 否 在 % & 上 不 可 约 ， 直 到 #（ $） 是 不 可 约 的 。（ !） 返 回 #（ $） 。$!，（ ） !，!$- ,算 法 !“#“
38、! 检 验 一 个 多 项 式 的 不 可 约 性 。输 入 ： 一 个 素 数 ! 和 “ # 上 一 个 次 数 为 $ 的 首 一 多 项 式%（ #） 。输 出 ： %（ #） 是 否 在 “! 上 不 可 约 ？（ !） 令 & （ #） !#。（ “） 对 从 !到 ， 执 行 ：“!计 算 & （ #） !& （ #） !# $ % % （ #） ； “计 算 (（ #） & (% （ % （ #） ， & （ #） )#） ；#如 果 (（ #） “!， 则 返 回 “可 约 ”。（ *） 返 回 “不 可 约 ”。本 原 多 项 式 是 “! 中 次 数 为 的 不 可 约
39、多 项 式 ， 其 中 # $ #$ & “ # % # ) $是 有 限 域 )! （ （! ） ） 的 乘 法 群 的 一 个 生 成 元 。!性 质 !“$ 令 ! 是 一 个 素 数 且 令 !$ )!的 不 同 素 因 子 为 & !， ， ， 则 一 个 不 可 约 多 项 式 （ #） $“ 是 本 原 的 ， 当 且 仅& “ & * % ! #当 对 每 个 （ !% % *） ， 有! + ! & （ ）#“ !# $ % % #也 即 ， # 是 域 “ # （ %（ #） ） 中 一 个 次 数 为 !$ )!的 元 素 。 性 质 !+“可 用 来 产 生 一 个 检
40、 验 %（ #） 是 否 为 本 原 多 项 式 的 一个 有 效 算 法 。算 法 !“% 生 成 “! 上 一 个 随 机 的 首 一 本 原 多 项 式 。 输 入 ： 一 个 素 数 !， 整 数 $ & !及 !$ )!的 不 同 素 因 子 为 & !， ， 。& “ & *输 出 ： “ # 上 一 个 次 数 为 $ 的 首 一 本 原 多 项 式 %（ #） 。（ !） 重 复 执 行 ：!利 用 算 法 !+ * + !生 成 “! # $不 可 约 多 项 式 %（ #） ； 上 一 个 次 数 为 的 随 机 首 一“利 用 下 面 算 法 !+,+!检 验 %（ #） 是 否 本 原 ， 直 到 %（ #） 是 本 原 的 。
