1、数学建模大作业姓名 1：魏家蓉 学号：201100414姓名 2：何嘉琪 学号：201100415姓名 3：向歆 学号：201100418姓名 4：牟宇宇 学号：201100420姓名 4：曾朝忠 学号：201100431专业：交通工程 班级：交工 1101指导老师：张仲荣2014 年 5 月 22 日直升机运输公司问题问题提出一家运输公司正考虑用直升机从某城市的一摩天大楼运送人员。你被聘为顾问，现在要确定需要多少架飞机。按照建模过程仔细分析，建模。为了简化问题，可以考虑升机运输公司问题。基本假设如下：假设运载的直升机为统一型号;假设每架飞机每次载人数相同；假设飞机运送的人员时互不影响；假定人
2、员上了飞机就安全，因此最后一次运输时，只考虑上飞机所花时间。1、 按照数学建模的全过程对本题建立模型，并选用合理的数据进行计算（模型求解）;2、 本问题是否可以抽象为优化模型;除了考虑建立优化模型之外，是否可以采用更简单的方法建立模型。注意考虑假设条件。甚至基于不同的假设建立多个模型。模型假设：（H1）所有飞机的飞行高度度均为 10 000m，飞行速度均为 800km/h。(H2)飞机飞行方向角调整幅度不超过 ，调整可以立即实现；6(H3)飞机不碰撞的标准是任意两架飞机之间的距离大于 8km;(H4)刚到达边界的飞机与其他飞机的距离均大于 60km;(H5)最多考虑 N 架飞机;(H6)不必考
3、虑飞机离开本区域以后的状况.符号说明:D 为飞行管理区域的边长;S 为飞行管理区域取直角坐标系使其为0,D0，D;v 为飞机飞行速度，v=800km/h;（ ， ）第 i 架飞机的初始位置;x0iyi（ ）为第 i 架飞机在 t 时刻的位置;)(,tyxii为第 i 架飞机的原飞行方向角，即飞行方向与 x 轴夹角，0i0 2;第 i 架飞机的方向角调整，- ;6i6 为第 i 架飞机调整后的飞行方向角;ii0i模型建立一、两架飞机不碰撞的条件1、 两架飞机距离大于 8km 的条件设第 i 架和第 j 架飞机的初始位置为（ ） ， （ ）,飞行方向0iiyx， 0jj，角分别为 和 ,他们的位置
4、为(t)=vtcos + 0(t)=vtsin + 0和(t)=vtcos + 0jx(t)=vtsin + jy若记时刻 t 他们距离为 (t),则他们之间距离的平方为（t）=（x i（t）-x j(t)） 2+（y i(t)-yj（t） ） 22ijr经简单计算可得（t）=v 2 (cos -cos )2+(sin -sin )2 t2 +2v( - )(cos -2ijrijij 0ixjicos )+( - )(sin -sin )t+( - )2+( - )2 j0iyjij0ijiyj引入= v2 (cos -cos )2+(sin -sin )2 ijaijij=2v( - )(
5、cos -cos )+( - )(sin -sin )ijb0ixjij0iyjij那么（t）= t2+ t+ （0）2ijrijaijb2ijr由此可见，两架飞机不碰撞的条件为（t）= t2+ t+ （0） 642ijrijaijb2ijr2、由假设（6） ，我们不必理会飞机飞离区域 的状况，因此，在考虑两架飞机是否在区域内发生碰撞时，只需考察两架飞机有一架到达边界之前（7-7）式是否成立就可以了。记第 i 架飞机到达边界的时间为 titij=min（t i,tj）表示第 i 架飞机和第 j 架飞机中至少有一架到达边界的时间，从而在区域 内不发生碰撞的条件就成为要求（7-7）式在 t 时成立
6、。现在我们要计算第 i 架飞机到达边界的时间 ti方向角 的分析，不难得到 ti的计算公式如下：，若 ，tan 或 ，-tan ，ivxDcos02i i0IixDy23i 0iixDy，若 ，tan 或 ，-tan ,ivysn0i 0iixyi20iixy，若 ，-tan 或 ，tan ，ixco0i20ii3i 0ii,若 ，tan 或 ，- tanivysn03i 0iixy23i 0iixDy二、非线性规划模型设有一架飞机到达区域 的边界时，连通区域内的飞机有 N 架。设它们的位置为（ ， ） ，飞行方向角为 0（i=1,2，N） 。为了避免在区域 内x0iyi i发生碰撞，对各架飞
7、机进行 的飞行角调整，又设调整后的飞行角为i= ， i=1,2，Nii0调整的目的是避免在区域 内发生碰撞，但显然调整量越小越好。引入目标函数F（ ）=N,.21ii1在我们讨论的飞行管理问题中它是有待于极小化的。目标函数亦可取为。由前面的分析，第 i 架与第 j 架飞机在 中不相撞的条件为Ni12i (t)64，t2ijrij其中 rij(t)和 分别由前面可知。而 N 架飞机在区域内两两不相撞的条件可表ijt述为(t)64, t ，i，j=1,2，N，i j2ijrj这是极小化中必须满足的约束条件。由假设（H2） ，另一个约束条件应为，i=1,2，N 6i飞行管理的数学模型就归结为在以上两
8、约束条件下，求目标函数 F（)= 的极小值。通常表示为N,.21ii1min F（ )= ,N,.21ii1s.t. (t)64 ，t ，i ，j=1,2，.N,ij2ijrj，i=1,2，.N. 6i由于在这个及消化问题中目标函数可约束条件关于变量 均为非N,.21线性的，因此上述方程组是一个有约束的非线性的规划模型。由于约束条件 (t)64, t ，i，j=1,2，N，i j2ijrj有较强的非线性，特别是 的表达式比较复杂，我们可以将问题进一步简化。ij注意到区域 的对角线长度为 D，任一架飞机在 内的飞行距离不会超过2D，从而在区域内停留的时间 不超过2t= D/v2只要在时间 内飞机
9、不发生碰撞就可以保证在 内不会发生碰撞。据此，我们mt 将假设（H6）修改为（H6） 不考虑飞机在时间 = D/v 以后的状况。mt2数学模型可简化为min F（ )= ,N,.21ii1s.t. (t)64 ，t ，i ，j=1,2，.N,ij2ijrj，i=1,2，.N. 6i由于 是一个不依赖 的常数，问题得到了明显简化。mti打车软件问题摘要2013 年，上海出租行业兴起一款“手机打车软件” ，用户在网上下载软件后，输入起点和目的地，自愿选择“是否支付小费” ，出租车司机则可根据线路、是否有小费等选择接受订单。记者调查发现，这种拼小费竞价打车的模式引来了不少质疑声，认为这是变相涨价，并
10、使行业监管出现“灰色地带”。截止到 2013 年 5 月 7 日，安卓平台上 11 家主流应用商店的打车类软件客户端总体下载量已超过百万，用户主要集中在北上广等一线城市。由于出租车司机与打车者之间信息不对称，导致非高峰时段出租车空载、高峰期和恶劣天气下司机拒载等现象频发，而手机打车软件通过加价等手段，提高了打车成功几率，实现了司机和打车者双赢，因而在大城市日益走俏。业内人士表示，手机打车软件由于正处于探索起步阶段，商业模式尚不明确，导致运营成本较高。特别是由于打车市场的不规范，导致加价策略在某种程度上加剧了原有公共交通资源的分配矛盾，打乱了路边打车和应用订车的公平竞争环境，可能会影响此类打车软
11、件的发展前景。关键词：打车软件，加价，发展前景1 问题提出目前的打车软件之间的竞争态势，主要是相关打车软件对司乘双方的非正常补贴的数额，时间以及软件发展态势，主要是软件使用人数的变化情况。分析：a 当一方采取不贴时。另一方因采取的措施b 运用数学模型分析竞争的最终结果。本文将会以稳定性分析模型来对这一问题进行阐述与详解，以此来探索打车软件对人们消费及使用情况的影响。2 问题分析为了使得普通人群对这一软件有所认识，企业会采取补贴策略。但是这一策略仅仅是为了能够让普通人群对这款软件有所认识，所以不会永久补贴。当一方采取停止补贴或下调补贴数额时，另一方也必然会停止补贴或下调补贴数额，打车软件使用情况
12、会从一开始的很少使用，到了解后的大范围使用，在经过补贴停止后优惠的消失，软件使用率又会有所下降直到使用率达到一个平衡状态。从公司规模及资金情况来看，哪一方资金雄厚，补贴时间长，就会得到更多使用者的使用，使用率也会高于其他同类型软件，从而在后期获得较高的市场份额占有率。软件发展的智能化程度也会影响到使用者的使用，其智能化程度越高，越会受到使用者的青睐。3 模型假设3.1 一方的补贴不停止，另一方的补贴也不会停止；3.2 一方的补贴额度增加或降低会影响另一方补贴额度的增加或降低；3.3 由于经济实力的限制，一方的补贴不停止，对自身的投资投资及经济发展的制约越大；3.4 一方的软件技术水平越高，会影
13、响另一方加大对软件的技术投资；3.5 一方软件的使用人数越多，会影响另一方出台策略来增加自身产品的吸引力。4 符号说明t:时间；1:乙对甲的阻滞系数；2:甲对乙的阻滞系数；r 1:甲的业务增长率；r 2:乙的业务增长率；N 1:甲能达到的最大业务量；N 2:乙能达到的最大业务量；X 1(t):甲的目前业务量；X 2(t):乙的目前业务量；5 模型建立及求解有两个公司进行竞争，它们独自发展时业务变化均服从 Logistic 规律;)1()1Nxrtx )1()222Nxrt两公司在一起生存时，乙对甲业务增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。2111 NX)(xrt 21222 N
14、X)(xrt对于消耗甲的资源而言，乙(相对于 N2)是甲(相对于 N1) 的 1 倍。对甲增长的阻滞作用，乙大于甲，乙的竞争力强。1对于二阶非线性微分方程 的平衡点及其稳定性。),()f2121xgtx平衡点 P0(x10, x20) 为代数方 程(1,2)=0(1,2)=0若从 P0某邻域的任一初值出发，都有 称 P0是,)(lim011xt,)(lim22xt微分方程的稳定平衡点。判断 P0 (x10,x20) 稳定性的方法直接法(2121gtf(1)的近似线性方程为 )2()(,)(,)( 02010102121 2xxgxgtxffx 021PxxAAqfpPxdet021p0 且 q
15、0,平衡点 稳定；p 1 时， P3才有意义平衡稳定性分析212221 21121),(Nxxrgf 212212 12121 NxrNxrNxgfAxx 4,321det,)(21 iAqgfppipx平衡点 Pi 稳定条件： p 0 且 q 0。商业竞争平衡点及其稳定性平衡点 p q 稳定条件)0,(1Np)1(2r)1(2r21， 11， 2 1，对于 P1(N1,0)有 p 0,q 0。0,:S， t x1, x2 21x， t x1 , x22， t x1, x20,:213S从任意点出发( t=0)的相轨线都趋向 P1(N1,0) (t)P1(N1,0)是稳定平衡点图 1(2) 1
16、 1, 2 1, 2 0,q 0，故 P3 稳定。X2 1 1, 2 1，可知在 P3点，q 1;21N2/1 P3=0 0 N1/2 N1 X1图 46 合理的方面本文通过对稳定性模型的了解，加之对生物竞争模型的参考，建立了这一模型，此模型能较好的分析出两家公司的业务量发展及竞争状况，也能较好的描述未来状况下各公司开发的软件如何到达一个平衡点。7 结果解释根据 1，2 的含义，说明 P1，P2，P3 点的稳定在竞争上的意义。（1） 1 1。 1 1 意味着对于乙的潜在客户的竞争中乙弱于甲，于是乙集团将宣告破产，甲集团业务量趋向最大业务量，即 X 1(t)、X 2(t)趋向平衡点 P1(N1,
17、0)（2） 1 1, 2 1, 2 1。因为在竞争甲的潜在客户时乙较强，在竞争乙的潜在客户时甲较强。随着时间的推移，有可能甲占优势，乙倒闭；但也有可能乙占优势，甲倒闭。究竟哪方能占据市场，由两家公司的资本有关。8 模型推广以上是两家公司进行竞争时的情况，而在实际中，可能会有更多的公司投入商业竞争，比如电信，移动与联通三家通信集团在应对当前 4G 手机市场的博弈，就可以增加一组参数来模拟三家竞争的状况。9 模型优缺点优点：此模型以生物种群相互竞争为蓝本进行拓展，能够较好的模拟出商业竞争的态势及发展结果。P1缺点：在建立模型的过程中，由于市场的特殊性，有时可能会受到政府等机构的宏观调控，政府的引导会对结果产生较大影响，而本模型智能对自由竞争进行模拟，无法对政策性的突变进行模拟。参考文献单锋，朱丽梅，田贺民。数学模型，北京，国防工业出版社，2012熊辉。数学建模，北京，中国人民大学出版社，2011周宏仁，敬忠良，王培德，机动目标追踪，北京，国防工业出版社，2001
