1、1可计算性概念：可枚举与不可枚举。能行可计算的：按照一组给定指令能够原则上确定从 Z 到 Z 的函数 f 在任意自变量 n 处的值 f(n)，则 f 是能行可计算的。不可计算性。对角线函数 d 和停机函数 h 都是不可计算的。递归算盘可计算 图灵可计算 递归图灵论题：能行可计算的函数都是图灵可计算的。丘奇论题：能行可计算的函数都是递归的。原始递归：由基本函数（零函数，后继函数，恒同函数）出发通过复合和递归能够得到的函数为原始递归函数。递归函数：由基本函数（z,s,id）出发经过 Cn,Pr,Mn 能得到的函数称为递归函数。递归集合/递归关系：它的特征函数是（原始）递归的，则它是（原始）递归的。
2、（原始）递归关系的封闭性：代入，图关系，否定，合取，析取，有界全称量化，有界存在量化，有界极小化，有界极大化通用函数/通用关系/通用图灵机。存在 k 元递归函数的通用函数，其图是半递归的。半递归关系等价于能行半可判定关系。n 元能行半可判定关系为从 n+1 元能行可判定关系通过（无界）存在量化得到的关系。半递归关系的封闭性：递归都是半递归的；代入；合取，析取；有界全称量化，存在量化半递归集与递归可枚举集(r.e.)是等价的。逻辑概念：（开/闭）项， （开/闭）公式，语句，自由/约束变元，解释，蕴涵 /推论，有效，可满足/不可满足的，等价，逻辑等价模型，同构，等价，型构语法概念 语义概念推演 d
3、eduction 推论 consequence反驳 refutation 不可满足 unsatisfiability证明 demonstration 有效性 validity可推导的 derivable 安全的 secure=：可靠性定理：基于复杂度归纳。基础步：当 P 规模为 1 时，显然有相同型构。归纳步：假设 P 的规模为 n 时， P，Q 有相同型构。考虑 P 的规模为 n+1 时。分情况讨论，当新加进的元素属于已存在的某一类时；当它不属于任何一类即自成一类时。问题五：语句/公式的蕴涵/等价关系，有效，可满足/不可满足等概念证明思想：A 蕴涵 B 是指没有解释使 A 都真 B 却假；A
4、 等价 B 是指对任意解释 AB 有相同的真值（或任意解释使 A 真当且仅当该解释使 B 真） ；A 是有效的指没有解释使 A 假；满足性类似。例子：作业三 Ex10.14 证明两语句 A，B 间等价性。只要抓住证明对任意解释 M 使 A 真当且仅当 M 使 B 真即可。问题六：紧致性定理的应用思想：语句集的每个有限子集都有模型，则该语句集有模型（可数模型） 。例子：作业三 Ex12.9 语句集 D=真算术 TA+c,c!=0,c!=1,，证明 D 的任意模型都与 N*不同构。首先由紧致性定理，D 存在模型。假设 M 为 D 的任意一个模型，且有影射函数 f 使 M 与 N*同构。考虑 f(c
5、M)：一方面，cM 属于|M| ，而 M 与 N*在 f 下同构，故 f(cM)属于|N*|另一方面，M|=c!=0,M|=c!=1由同构引理 N*|=c!=0,N*|=c!=1，即 cN*!=0,cN*!=1由同构条件 2,f(cM)=cN*不属于|N*|。矛盾。去年复习课的练习题：TA+A(c),c!=0,c!=1, 是可满足的。该语句集是可满足的，等价于存在一个解释是它的模型。该语句集是无限的，根据紧致性定理，若它的每个有限子集都有模型，则它有模型。考虑它的任意有限子集，解释 M 是对标准解释 N*的一个扩充，即在 N*基础上指称5cM=n， n 为该子集中 c!=0,c!=1,等语句中
6、最大的那个常量的后继。可以知道，解释 M 满足TA 的任意子集并且满足A(c),c!=0,c!=1, 的任意子集，所以 M 是它的模型。由紧致性定理得证。问题七：矢列演算思想：应用 R0-R9b 等规则；启发式规则：由结论往前推；当左存在与右存在并存时使用左存在规则。例子：作业四 Ex14.7 Ex14.9 附加题。 （略）问题八：语句和推演等语法概念证明题（可能与递归/半递归结合）思想：主要应用以下命题/定理/ 概念：所有公式集合，所有语句集合都是递归的（哥德尔编码到自然数，N 是递归的）关系“S 是语句 D 从语句集 T 的推演”是递归的。 （由丘奇论题，总能能行判定 S 是不是合法推演，
7、这正是该关系的特征函数）由递归语句集可推演的语句集是半递归的。 （由半递归定义，对二元递归关系的存在量化）抽象形式哥德尔完备性定理：所有有效语句的集合是半递归的。 （空集推演出的语句集是有效集，根据上面的推论，自然得到）可公理化理论 T，若 T 是完全的，则 T 是可判定的。 （T 和 T 的补都是半递归的，由克林定理得证 T 是递归的）例子：作业四 Ex15.5 证明 T 不是可有限公理化的。 T 是由A1,A2,可证的所有语句集合且没有一个 An 可由A1,A2An-1证明假设 T 是可公理化的，即存在有限的公理集B1,B2Bm，由它可证明 T 的所有语句。由于该公理集有限，故在 T 中可
8、找到一个有限子集包含它，比如A1,A2,Ak。考虑语句 Ak+1，一方面 Ak+1 可由公理集B1,B2Bm证明，自然可由A1,A2,Ak 证明，另一方面由题设Ak+1 不可由A1,A2,Ak证明。矛盾。问题九： 函数的应用。思想：利用 函数为一有限序列编码，编码为一自然数对(c,d)， 函数引理告诉我们这样的 c,d 是肯定存在的，且可用如下方式解码 =(,(+1)+1)例子：作业五 Q1：写出关系 的公式。(,)=为了应用 函数，要先将 x 变为序列，方法是把 x 写成 y 进制形式得到序列 。Z 为序 0列中第一个不为 0 的 ai 的下标 i。问题十：极小算术 Q （个人觉得由于需要记忆，考的可能性不大）思想：主要是用 Q1-Q9 的规则进行一些论证，可能需要使用数学归纳法。例子：作业五 Ex16.11 加法规则的递归等式的证明（略）作业五 Ex16.15 构造解释使之满足 Q1-Q9 中部分，不满足另外一些规则（略） （应该不会考）其他问题：能蒙则蒙，蒙不了果断放弃，17，18 章主要靠意识，即由 Q 扩充得到的理论6（包括 P，TA 等）的局限性。
