1、实验一 简单应用和操作一、实验目的 本实验的目的是熟悉 MATLAB 软件在矩阵运算方面的命令函数：求逆阵的函数inv；方阵 A 的行列式的函数 det(A)；求矩阵 A 秩的函数 rank(A)；矩阵 A 的行阶梯形矩阵函数 rref(A) 。 二、实验内容 借助计算机完成矩阵的初等运算、逆矩阵、矩阵方程 、矩阵秩 的计算。 三、实验仪器和设备 1. 计算机若干台（装有 matlab6.5 及以上版本软件） 2. 打印机 四、实验要求 1. 独立完成各个实验任务； 2. 实验的过程保存成 .m 文件，以备检查； 3. 实验结果保存成 .mat 文件 五、实验原理 在 MATLAB 中，矩阵用
2、中括号括起来，同一行的数据用空格或逗号隔开，不同行用分号隔开。矩阵是 MATLAB 的基本数据形式，数和向量可视作它的特殊形式，不必对矩阵的行、列数作专门的说明。 （一）矩阵的直接输入 矩阵有多种输入方式，这里介绍一种逐一输入矩阵元素的方法。具体做法是，在方括号内逐行键入矩阵各元素，同一行各元素之间用逗号或空格分隔，两行元素之间用分号分隔。 例 1. 在 MATLAB 的提示符下输入：A1,2,3；4,5,6；7,8,9得到一个 3 行 3 列的矩阵，屏幕上显示为 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （二）. 矩阵元素 矩阵元素用矩阵名及其下标表示。在作了例 1 的输入后，若键入： A(2
3、,3) 屏幕显示 ans 6 即矩阵 A 第 2 行第 3 列的元素为 6。 也可通过改变矩阵的元素来改变矩阵。在例 1 输入矩阵 A 后键入： A(3，3)10 即得一新的矩阵，屏幕会显示 A 1 2 34 5 67 8 10甚至可以通过给定一个元素的值，得到一个扩大的新矩阵。 如再键入： A（5，3）2 * 0.15 屏幕显示 A= 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 10.0000 0 0 0 0 0 0.3000 （三）.矩阵的运算矩阵运算的运算符为，*，和。其中，*是通常矩阵加法、减法和乘法的运算符。 例 2
4、. 在 MATLAB 的提示符下分别输入矩阵 M，N 和 V： M=1, 0.5,2；2,3,3；4.5,1,6M= 1.0000 0.5000 2.0000 2.0000 3.0000 3.0000 4.5000 1.0000 6.0000 N=2,2,3；3,1,4；1,1,2 N= 2 2 3 3 1 4 1 1 2V=1,2；2,1；3,1V= 1 2 2 1 3 1 键入： R1=M+N R1= 1.0000 2.5000 5.0000 5.0000 4.0000 7.0000 5.5000 2.0000 8.0000键入： R2=M-N R2=-1.0000 -1.5000 -1.
5、0000 -1.0000 2.0000 -1.0000 3.5000 0.0000 4.0000 键入： R3=M*N R3= 5.5000 4.5000 9.0000 16.0000 10.0000 24.0000 18.0000 16.0000 29.5000键入： R4=M*V R4= 8.0000 4.5000 17.0000 10.0000 24.5000 16.0000 “”是矩阵转置运算符，如键入： R5=V 得： R5= 1 2 3 2 1 1 （四）.逆矩阵的求法 定义 对于 n 阶方阵 A，如果存在 n 阶方阵 B，使得 ABBAE，则称 n 阶方阵A 是可逆的，而 B 称
6、为 A 的逆矩阵，记为 A-1。 在 MATLAB 中求逆阵的函数为inv( )。 例 3. 在 MATLAB 的提示符下键入： A1,0,1；2,1,0；-3,2,-5 A 1 0 1 2 1 0 3 2 5键入： Xinv(A) X 2.5000 1 -0.5000 5 -1 1 3.5000 -1 0.5000（五）. 方阵行列式 定义：如果 A 是一个已知方阵，以 A 的元素按原次序所构成的行列式，叫做 A的行列式。 在 MATLAB 中求方阵 A 的行列式的函数为 det(A). 例 4. 在 MATLAB 的提示符下键入： A1,1,1；1,2,3；1,3,6； D=det(A)
7、得 D= 1A1,0,1；2,1,0；-3,2,-5； 在 MATLAB 的提示符下键入： D=det(A)得 D= 2 （六）.矩阵方程 运算符和 分别称为左除和右除。 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵,XA/B 得到一个矩阵 X，它满足 XBA。 若 A 和 B 是同阶且 B 是可逆的，则 XAB-1。若 A，B 行数相同 XAB 得到的矩阵 X 满足 AXB，若 A,B 为同阶方阵且 A 为可逆的，则 XA-1B。 例 5. 在 MATLAB 的提示符下 键入： A=2,1； 1,2； B=1,2； -1,4； X=A/B 得 X= 1.5 -0.5 1 0键入： Y=AB 得 Y=
8、 1 0 1 2 例 6. 设 A= 4，3，21，1，0； -1，2，3； AB=A+2B，求 B。 解：把上矩阵式变形为(A-2E)B=A，则求 B 即解此矩阵方程。 在 MATLAB 的提示符下输入： A=4，3，2；1，1，0；-1，2，3； E=1，0，0；0，1，0；0，0，1； X=A-2E； B=XA得 B= 1.6667 -0.6667 -1.3333 0.6667 -1.6667 -1.3333 -0.6667 4.6667 4.3333 （七）.矩阵的初等变换 定义. 对矩阵施行以下三种变换： （1）互换变换：矩阵的两行（列）互换位置； （2）倍法变换：用一个不等于零的数
9、乘矩阵某一行（列）的所有元素； （3）消去变换：把矩阵某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）的对应元素上去。 这三种变换为矩阵的初等行（列）变换,简称矩阵的初等变换。利用矩阵的一系列初等变换可以将一个矩阵化为与之等价的行阶梯形矩阵。 在 MATLAB 中，函数 rref(A)将返回 A 的行阶梯形矩阵。 例 6. 在 MATLAB 的提示符下 键入： % 化魔方矩阵 a=magic(6)为行阶梯形矩阵。 a=magic(6)a = 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16
10、 4 36 29 13 18 11 b=rref(a) b = 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 -2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 （八）.矩阵的秩 定义 从矩阵 A 中任选 r 行 r 列,在这 r 行 r 列中的 r2 个 数按原次序作成一个行列式,称为矩阵 A 的一个 r 阶子 行列式(或称 r 阶子式)。若矩阵 A 至少有一个不为零的 r 阶子式，而所有高于r 阶的子式都为零，则称矩阵 A 的秩为 r，记为 r(A)=r. 在 MATLAB 中,求矩阵秩的函数为 rank(A). 例 7. 在 MATLAB
11、 的提示符下 键入： A=2,2,1； -3,12,3；8,-2,1；2,12,4； R_A=rank(A) 得 R_A= 2 例 8. 键入： A=magic(6)； c=rank(A) 得 c = 5六、实验任务 一. 输入 A=1,1,1;1,2,3;1,3,6,B=8,1,6;3,5,7;4,9,2,u=3;1;4, 1.A+B; 2.A-B; 3.A*B; 4.A*u; 5.2A-3B; 6.A2+B2; 7.AB-BA。 二. 求下列矩阵的逆阵并求其行列式 1.A=1,3,3;1,4,3;1,3,4; 2.A=1,2,3;2,2,1;3,4,3; 3.A=1,1,1,1;1,1,-
12、1,-1;1,-1,1,-1;1,-1,-1,1; 4. A=1,1,0,0;1,2,0,0;3,7,2,3;2,5,1,2。 三. 解矩阵方程 1.A=2,5;1,3,B=4,-6;2,1,AX=B; 2.A=2,1,-1;2,1,0;1,-1,1,B=1,-1,3;4,3,2;1,-2,5,XA=B; 3.A=1,4;-1,2,B=2,0;-1,1,C=3,1;0,-1,AXB=C; 4.A=0,1,0;1,0,0;0,0,1,B=1,0,0;0,0,1;0,1,0,C=1,-4,3;2,0,-1;1,-2,0, AXB=C. 四. 将下列矩阵化为阶梯矩阵 1.A=1,-2,0;-1,1,1;1,3,2; 2.A=0,1;1,0;0,-1;3.A=1,2,3,4;0,1,2,3;0,0,1,2;0,0,0,1;4.A=2,1,0,0;3,2,0,0;1,1,3,4;2,-1,2,3. 五.求下列矩阵的秩 1.A=-5,6,-3;3,1,11;4,-2,8; 2.A=1,-2,3,-1;3,-1,5,-3;2,1,2,-2; 3.A=3,1,0,2;1,-1,2,-1;1,3,-4,4; 4.A=1,4,-1,2,2;2,-2,1,1,0;-2,-1,3,2,0.
