1、1讲 授 内 容 备 注第二十九讲第六章 多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续一、多元函数的极限1多元函数极限的计算1) 利用不等式，使用两边夹法则；2) 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限；3) 利用极坐标；4) 利用初等函数的连续性，利用四则运算性质；5) 利用初等变形，特别指数形式常可先求其对数的极限例 1 求下列极限(1) ； (2) ；2,|limxy20,limxyxy(3) 4,lixy解 (1) 222|0yxy2|10 (,)|xxyyy所以 2,|lim0xy(2) 先求取对数之后的极限2220, 0,linlimlnxyxy yxy2220,limlxy22
2、2() 0 (,0)xyxy3 学时2220, 0limlnlimnxy txy0, 1xye(3) 可用(1)的方法极坐标代换： cos,inxryr22444221(i)sixyr2211sin(sin)4 222 00 ()sixyrrr所以 24,lim0xy2证明二元函数极限不存在根据极限与特殊路径极限的关系，以及极限与累次极限的关系，证明二元函数极限不存在通常方法如下：1）证明径向路径的极限与幅角（或斜率）有关；2）证明某个特殊路径的极限不存在；3）证明两个特殊路径的极限存在但不相等；4）证明两个累次极限不相等例 2 证明下列函数在 处的极限不存在(0,)(1) ； (2) ；2(
3、,)xyf23(,)xyf(3) (4) 68245(,)fxy3(,)fxy证 (1)令 , 与斜率有关.k22(1kxf k只能在极限存在的情况下使用3极坐标代换： 与幅角有2cosin1(,)si2rfxy关所以极限不存在(2) 因为分母当 时为零，因此考虑沿与yx在yx点相切的高次曲线的路径的极限可取 ，(0,) 3yx则22233 31()()(,)xxfy231() (0)x所以极限不存在(3) 沿 取极限，其极限值为零0沿 取极限， 2xy12845(,)yfx所以极限不存在(4) 二个累次极限存在，但不相等例 3 函数 在 点的极限4362(,)xyf(0,)存在吗？若存在，则
4、求其值0lim,xyf解 考虑沿路线 的极限（ 取不同的常数）2xmy与 有关48436232(,)(1)fym函数 在 点的极限不存在4362(,)xf0,3极限与特殊路径极限的关系与例 2 的(3)题相同4例 4 证明：(1) 当 沿径向路线趋向 时，(,)fxy, 0(,)xy极限存在，保持相等而 仍可以不存在0,lim()xyf(2) 若沿径向路线极限存在相等，关于幅角 ,2一致，则极限 存在0,li(,)xyf证 (1) 考虑 沿曲线 ，则24,xyfkx234422000limlilimxxxyyk即沿任意径向路线趋向 时， (,)420lixy但沿曲线 时， 2yx2244001
5、lilixxyy故 不存在240limxy(2) 以 为例证明，其他点可做坐标平移0(,)(,得到设沿任意径向路线，有0,li(,)xyfA且 (,)(cosn 0,2fyfrr， ，当 时，对)0,2有 (,)fxyA当 时，有0|, 0|2220rxy从而有 (,)fxy所以 0,limxyA5例 5 设 是在区域 上的有界(,)fxy: |1, |Dxy次齐次函数 问极限 是否k1k0,lim()yxyfxe存在？若存在，试求其值证 为 次齐次函数 (,)fxyk，有 tA(,)(,)kfttfxy(cos,incosinfrr又因为 有界， ，使得)xy0M(, (,f Dcos,in
6、)(cos,in)0 ()kkrrfrr（关于 一致）,2于是 0lim (,)xyf所以 0, 0,li(,)1lim(1)yyxy xyfee例 6 设点 沿任意路线趋向 时,Mx00,)Mx函数 的极限为 试证： (,)fA0,li(,xyfA证 （反证法）若 ， （当 时）(,)f 00,xy则 ，及点列00: , ()nMn使得 0()12fA如此顺序用直线段将 连成折线 ，1 , n L则点 沿 趋向 时， 与已知条件矛盾 L0()fxy4累次极限交换次序例 7 为 中的开集， 为 上的2A0(,)(,)fxy华师大书（第三版） ：累次极98P限与重极限的关系6函数且1) 对每个
7、的 ，存在 ；(,)xyx0lim(,)(yfxg2) 关于 中的 一致0limxfh(,)试证： 0 0(,)li,yyxf证 要证明上式成立，只要证明0 0li(,)lim()xyxfgA存在，且 即可0)hA证明 存在 10li(xg（ 为开集） (,)y，使得 10101(,)|,|xyy由条件 2) ，当 时，10, |x01()|2fxyhy所以当 ， 时，有0|0|x(,)(,)(,)()(,)fxyffyhyfx 01+= |2令 时，由条件 1)知0y()gx据 准则知， 存在 记 ，则Cauchy0limx0lim()xgA0(,)yf证明 020li()yA，由()(),)(,)()hfxyfgxA利用条件 2)及 的结论，当 与 充分接近时，使得0107(),), ()33hyfxgxA将 固定，由条件 1)， ，当 时，x00|y(,)(fx于是有 3hyA
