1、数学文化及其应用北京大学数学科学院教授 张顺燕数学既不严峻，也不遥远，它既和所有的人类活动有关，又对每一个真正感兴趣的人有益。RCBuck数学的传奇就是攀登智慧之山的传奇。JNKapur诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。王国维数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然、改造自然的有力武器。对任何一门科学的理解，单有这门科学的具体知识是不够的，那怕你对这门科学的知识掌握得足
2、够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。我们的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。今从以下几个方面来谈这个问题。一、数学与美中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。 ”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的
3、研究对象不外乎，天大宇宙；地，自然界及其中一切动植物中宇宙；人最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。 ”顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。但长期以来，我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值得注意的是，
4、在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。例如，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后来说：“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。 ”为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、认识美和运用美，这是人类生存的要求。反过来，美又是人类进步的动力。追求美的实质就是追求自然界的数学美。人类一步一步地揭示自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。希腊箴言说，美是真
5、理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道：美就是真，真就是美这就是你所知道的，和你应该知道的。法国数学家阿达玛说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。那么，什么是美呢？美有两条标准：一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根） ，二、 “美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。 ”（海森堡） 。这是科学和艺术共同追求的东西。希尔伯特说：“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。在这个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气，与心领神会的伙伴一起更
6、是如此。但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多意想不到的令人愉快的美景；当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。 ”对美的追求起源于古代。毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的整数比时，击弦发出的声音听起来是和谐的。正是基于这种认识，毕达哥拉斯学派定出了音律。顺便指出，我国在古代也以同样的方式确定了音律。这是人类第一次确立了可理解的东西与美之间的内在联系，是人类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有引力公式，爱因斯坦的质能转换公式，既是美，又是真。数学的美表现在什么地方呢？表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。为什么我们这样重视
7、美？并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？因为人们常常忽视它。人们只重视实用方面、科学方面，而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面，要么不予承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。但事实上，实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。二、数学是什么给数学下定义是一个困难的问题。对任何事物下定义都遇到同样的困难。因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去。考虑全面性与历史发展，我们给数学下两个定义。数学是数和形的学问。数学是一棵参天大树。它的根深深地扎在我们的现实世界。
8、它有两个主干，一曰形几何，一曰数代数。这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史；这棵树是如此之长新，它年年都在发新枝；这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域；这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。如果我们一辈子只停留在一个枝上，或只见一朵花，我们将永远见不到数学的多采和多姿。见不到数学整体的宏伟和谐调。我们先看数学大树的两大主干：几何与代数。几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力；代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。特别要注意到，这两者相辅相
9、成。没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明。借助直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明。庞加莱说：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是直觉。”英国数学家阿蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。”遗憾的是，在通常的数学教学中只讲逻辑而很少讲直觉。如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围。所以只研究数与形是不够的，必须研究大小与形状是如何改变的。这就产生了微积分。它的延伸是，无穷级数，微分方程，微分几何等。那么，什么是数学呢？19
10、 世纪恩格斯给数学下了这样的定义：“数学是关于空间形式和数量关系的科学。 ”恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。但是在 19 世纪末，数理逻辑诞生了。在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。于是人们又考虑数学的新定义数学是关于模式和秩序的科学。我们生活在一个由诸多模式组成的世界中：春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；球形的雨从云中飘落；繁星夜夜周而复始地从天空中划过；世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。通过数学建立模式可以
11、使知识条理化，并揭示自然界的奥秘。模式和秩序的科学都是数学吗？物理学，力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定。物理学的基本元素：基本粒子。生物学的基本元素：细胞。数学呢？数，形，机会，算法与变化。数学的处理对象分成三组：数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明：自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。数学提供了有特色的思考方式：抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究：符号化：把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。这是自然科学公有的思考方式，以数学为最。公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理。归纳与演绎并用。最优化：考察所有的可能性，从
12、中寻求最优解。建立模型：对现实现象进行分析。从中找出数量关系，并化为数学问题。应用这些思考方式的经验构成数学能力。这是当今信息时代越来越重要的一种智力。它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。数学能使我们更好地了解我们生活于其中的充满信息的世界。三、数学的内容大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。线性代数：研究如何解线性方
13、法组及有关的问题。高等代数：研究方程式的求根问题。微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。四、数学的特点数学区分于其它学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理
14、数、无理数、复数、函数、微分、积分、 维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概
15、念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。这点读者从中学数学就已很好的懂得了。当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现”量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与
16、工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。五、关于中等教育为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家，中学数学教育起着关键的作用。以下几点应当受到注意：1将应试教育转为素养教育。要培养学生善于思考，有独创精神，而不只是常于记忆，巧于应考。这对我们民族的长远利益是极关重要的。2中学数学教育的中心应实现三个转变：从具体数学到概念化数学的转变，发展符号意识；从常量数学到变量数学的转变；从直观描述到严格证明的转变，建立严密的逻辑思维意识。3向学生提供数学主流的核心部分，为微积分，统计学和计算机作好准备。4计算
17、机教育应尽早进行。计算机的出现必将改变中等教育的方式与内容。首先，建立在计算机与人脑思维相结合之上的新教学法，将有利于培养学生的洞察力，理解力，以及数学直观。其次，离散数学、图论、进位制系统、算法与函数迭代的部分内容也将进入中学数学。科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也就成为教育议事日程上极其重要的问题。数学是科学和技术的基础。数学在决定国家的各级人才的实力方面起着日益重要的作用。六、数学与人类文明王国维在人间词话中说：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。 ”只知入乎其内，那是见木不见林，
18、常常会迷失方向。所以还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。不站出来，就不知道数学的根在何处，不知道自己研究的最终目的与最终方向是什么。不站出来，就看不到数学与别的学科的密切联系与相互影响。不站出来，就看不到数学对人类文明的巨大贡献。整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前。科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。我们认为，整个人类文明可以分为三个鲜明的层次：（1）以锄头为代表的农耕文明；（2）以大机器流水线作业为代表的工业文明；（3）以计算机为代表的信息文明。数学在这三个文明中都是深层次的动力。其作用一次比一次明显。数学在人类
19、文明中一直是一种主要的文化力量。它不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少。而且，数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构造了诸多宗教教义，为政治学和经济学提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学。数学为我们回答人与宇宙的根本关系的问题提供了最好的答案。作为理性的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并取而代之，成为其思想和行动的指南。这里，还需要指出，数学文化包含两个方面。一是作为人类文化子系统的数学，它自身的发生、发展的规律，以及它自身的结构；一是它与其它文化的关系，与整个人类文明的关系。今天报
20、告希望兼顾两个方面，但重点放在第二个方面。我们必须认识到，数学对人类文化的影响有这样一些特点：由小到大，由弱到强，由少到多，由隐到显，由自然科学到社会科学。简而言之，今天我们要唱一曲数学的赞歌，赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。1古希腊的数学。古希腊人最了不起的贡献是，他们认识到，数学在人类文明中的基础作用。这可以用毕达哥拉斯的一句话来概括：自然数是万物之母。毕达哥拉斯学派研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们对周围世界作了周密的观察，发现了数与几何图形的关系，数与音乐的和谐，他们还发现数与天体的运行都有密
21、切关系。他们把整个学习过程分成四大部分：（1）数的绝对理论算术；（2）静止的量几何；（3）运动的量天文；（4）数的应用音乐。合起来称为四艺。他们得到结论：自然数是万物之母。宇宙中的一切现象都以某种方式依赖于整数。但是当他们利用毕达哥拉斯定理发现 不能表示为两个整数的比，即， 不是有理数时，受到了极大的震动。这就爆发了第一次数学危机。数学基础的第一次危机是数学史上的一个里程碑，它的产生与克服都具有重要的意义。第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：证明进入了数学，数学已由经验科学变为演绎科学。中国，埃及，巴比伦，印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学，即算术的阶
22、段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的”几何原本”与亚里士多得的逻辑体系，而成为现代科学的始祖。2欧几里得的“几何原本” 。欧几里得(Euclid，约公元前 330前 275)的“几何原本”的出现是数学史上的一个伟大的里程碑。从它刚问世起就受到人们的高度重视。在西方世界除了“圣经”以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与“几何原本”相比。自1482 年第一个印刷本出版以后，至今已有一千多种版本。在我国，明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前 6 卷，于 1607 年出版。中译本书名为“几何原本” 。徐光启曾对这部著作给以高度评价。他说：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必
23、试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。 ”“几何原本”的传入对我国数学界影响颇大。欧几里得的“几何原本”称为数学家的圣经，在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位。它在数学上的主要贡献是什么呢？（1）成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。（2）对命题作了公理化演绎。从定义，公理，公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。（3）几个世纪
24、以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。（4）演绎的思考首先出现在几何学中，而不是在代数学中，使几何具有更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。我们还应当注意到，它的影响远远地超出了数学以外，而对整个人类文明都带来了巨大影响。它对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定理，更重要的是它孕育了一种理性精神。人类的任何其它创造都不可能像欧几里德的几百条证明那样，显示出这么多的知识都仅仅是靠几条公理推导出来的。这些大量深奥的演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心。受到这一成就的鼓舞，人们把理性运用于其它领域。神学家、逻辑学家
25、、哲学家、政治家、和所有真理的追求者都纷纷仿效欧几里德的模式，来建立他们自己的理论。此外欧氏几何的重要性还表现在它的美学价值。随着几何学美妙结构和精确推理的发展，数学变成了一门艺术。3希腊文化小结。古希腊的文化大约从公元前 600 年延续到公元前 300 年。古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论。他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象推理，激发人们对理想与美的追求。因此，这个时代产生了后世很难超越的优美文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻。那位断臂美人米洛的维纳斯(公元前 4 世纪)是那个时代最好的代表，是至善至美象征。正是由于数学文化的发展，使得希腊社会
26、具有现代社会的一切胚胎。希腊文化给人类文明留下了什么样的珍贵遗产呢？它留给后人四件宝。第一，它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透的人类知识的一切领域。第三，它给出一个样板欧几里得几何。这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落。第四，它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究奠定了基础。但是，令人痛惜的是，罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人。这就宣布了一个光辉时代的结束。怀特海对此评论道：“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征。务实的罗马人取代了爱好理论
27、的希腊人，领导了欧洲罗马人是一个伟大的民族。但是受到了这样的批评：讲求实效，而无建树。他们没有改进祖先的知识，他们的进步只限于工程上的技术细节。他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然的力量得到新的控制。”此后是千余年的停滞。4欧几里得几何的影响。欧几里得几何是推理的典范，其特点是，以简驭繁，以少胜多。这本书成为后人模仿的样板。我们来举几个典型的例子。阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的重物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律。牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律” 。从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系。他的自然哲学的数学原理具有欧几里
28、得式的结构。在马尔萨斯 1789 年的人口论中，我们可以找到另一个例子。马尔萨斯接受了欧几里得的演绎模型。他把下面两个公设作为他的人口学的出发点：人需要食品；人需要繁衍后代。他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型。这个模型简洁，有说服力，对各国的人口政策有巨大影响。令人惊奇的是，欧几里得的模式还推广到了政治学。美国的独立宣言是一个著名的例子。独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。美国第三任总统杰斐逊(17431826)是这个宣言的主要起草人。他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑。 ”我们认为这些真理是不证自明的”不仅所有的直角都相等，而
29、且”所有的人生来都平等” 。这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么”人民就有权更换或废除它” 。宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。 ”因此，我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由的和独立的国家。 ”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术。相对论的诞生是另一个光辉的例子。相对论的公理只有两条（1）相对性原理，任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；（2）光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播。爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论。关于建立一个理论体系，爱因斯坦认为科学
30、家的工作可以分为两步。第一步是发现公理，第二步是从公理推出结论。哪一步更难呢？他认为，如果研究人员在学校里已经得到很好的基本理论、推理和数学的训练，那么他在第二步时，只要“相当勤奋和聪明，就一定能成功” 。至于第一步，即找出所需要的公理，则具有完全不同的性质，这里没有一般的方法。爱因斯坦说：“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理。 ”5选票分配问题。选票分配问题属于民主政治的范畴。选票分配是否合理是选民最关心的热点问题。这一问题早已引起西方政治家和数学家的关注，并进行了大量深入的研究。那么，选票分配的基本原则是什么呢？首先是公平合理。要做
31、到公平合理，一个简单的办法是，选票按人数比例分配。但是会出现这样的问题：人数的比例常常不是整数。怎么办？一个简单的办法是四舍五入。四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况。因为有这个缺点，美国乔治华盛顿时代的财政部长亚历山大汉密尔顿在 1790 年提出一个解决名额分配的办法，并于 1792 年为美国国会所通过。美国国会的议员是按州分配。假定美国的人口数是 ，各州的人口数分别是。再假定议员的总数是 。记称它为第 i 个州分配的份额。汉密尔顿方法的具体操作如下：(1)取各州份额 的整数部分 ，让第 i 个州先拥有 个议员。(2)然后考虑各个 的小数部分 ，按从大到小的顺序将余下的名额分配
32、给相应的州，直到名额分配完为止。汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少。可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规。1880 年，亚拉巴马州曾面临这种状况。人们把汉密尔顿方法产生的这一矛盾叫作亚拉巴马悖论。汉密尔顿方法侵犯了亚拉巴马州的利益。其后，1890 年，1900 年人口普查后，缅因州和克罗拉多州也极力反对汉密尔顿方法。所以，从 1880 年起，美国国会就针对汉密尔顿方法的公正合理性展开了争论。因此，必须改进汉密尔顿方法，使之更加合理。新的方法不久就提出来了，并消除
33、了亚拉巴马悖论。但是新的方法引出新的问题，新的问题又需要消除。于是更新的方法，当然是更加公正合理的方法又出现了。人们当然会问，有没有一种一劳永逸的解决办法呢？这个问题从诞生之日起，就一直吸引着众多政治家和数学家取研究。这里要特别提出的是，1952 年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统这就是说，只有更合理，没有最合理。原来世上无”公” 。阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑。阿罗不可能定理不仅是一项数学成果，也是十分重要的经济成果。因此，作为一名数学家，于 1972 年获得了诺贝尔经济奖。选举问题吸引经济学家的因素主要有两个方面：策略与
34、公平性。而策略的研究又引出了博奕论。6伽利略的规划。历史上向前一步的进展，往往伴随着向后一步的推本溯源。欧洲在千余年的沉寂后，迎来了伟大的文艺复兴。这是一个需要巨人，而且也产生了巨人的时代。1564 年，伽利略诞生了，不独有偶，同年莎士比亚也诞生了。文艺复兴运动为人们带来了希腊的理性精神。伽利略是第一个举起理性旗帜的科学家。他的工作成了现代科学的新起点。近代科学成功的密诀在何处呢？在于科学活动选择了一个新目标。这个目标是伽利略提出的。希腊科学家曾致力于解释现象发生的原因，例如亚里士多德曾花费大量时间去解释为什么空中的物体会落到地上。伽利略第一个认识到关于事物原因与结果的玄想不能增进科学知识，无
35、助于人们找出揭示和控制自然的办法。伽利略提出了一个科学规划。这个规划包含三个主要内容：第一，找出物理现象的定量描述，即联系它们的数学公式；第二，找出最基本的物理量，这些就是公式中的变量；第三，在此基础上建立演绎科学。规划的核心就是寻求描述自然现象的数学公式。在这个思想的指导下，伽利略找出了自由落体下落的公式，还找出了力学第一定律和第二定律。所有这些成果和其它成果，伽利略都总结在关于两门新科学的方法和数学证明一书中，此书耗费了他 30 多年的心血。在这部著作中，伽利略开创了物理科学数学化的进程，建立了力学科学，设计和树立了近代科学思维模式。 现在方向已经指明，航道已经开通，科学将呈现一种加速发展
36、的趋势。但是，要前进必须有新的数学工具。7解析几何。解析几何的诞生是数学史上的另一个伟大的里程碑。他的创始人是笛卡儿和费马。他们都对欧氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象，过多地依赖于图形。他们对代数也提出了批评，因为代数过于受法则和公式的约束，成为一种阻碍思想的技艺，而不是有益于发展思想的艺术。同时，他们都认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理，而代数学能用来对抽象的未知量进行推理，是一门潜在的方法科学。因此，把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来，可以取长补短。这样一来，一门新的科学诞生了。笛卡儿的理论以两个概念为基础：坐标概念和利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上
37、的一条曲线的概念。因此，解析几何是这样一个数学学科，它在采用坐标法的同时，运用代数方法来研究几何对象。解析几何的伟大意义表现在什么地方呢？（1）数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学。（2）以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础。（3）使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化，是数字化时代的先声。（4）代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚。它带来了认识新空间的需要。帮助人们从现实空间进入虚拟空间：从三维空间进入更高维的空间。解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑也行。考虑方
38、程我们知道，它是一个圆。圆的完美形状，对称性，无终点等都存在在哪里呢？在方程之中！例如， 与 对称，等等。代数取代了几何，思想取代了眼睛！在这个代数方程的性质中，我们能够找出几何中圆的所有性质。这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示，能够探索出更深层次的概念。那就是四维几何。我们为什么不能考虑下述方程呢？以及形如的方程呢？这是一个伟大的进步。仅仅靠类比，就从三维空间进入高维空间，从有形进入无形，从现实世界走向虚拟世界。这是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程：道通天地有形外，思入风云变态中。（5）代数几何的发祥。高次曲线的研究成为可能。8微积分。微积分诞生之前
39、，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数和几何融为一体，并引出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础。恩格斯说：”数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。 ”推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、莱布尼兹、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖。但也必须等待创立一个必不可少的工具微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在 17 世纪的天才们开发的
40、所有知识宝库中，这一领域是最丰富的。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分是人类智力的伟大结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说：”在一切理论成就中，未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里。 ”有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子走到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了。164
41、2 年 1 月 8 日，伽利略在宗教的迫害下，默默辞世。同年 12 月 25 日，一个孱弱的没有了父亲的早产儿诞生了，他就是牛顿。牛顿接过伽利略的事业继续前进。当初伽利略用数学化的语言描述自然界时，总是将运动限制在地球表面或附近。他的同时代人开卜勒得到了关于天体运动的三个数学定律。但是，科学的这两个分支似乎是独立的。找出它们之间的联系是对当时最伟大的科学家的挑战。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。这就是说，伽利略和牛顿建立的这些定律描述了从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含的范围内
42、。这是人类认识史上的一次空前飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。在伽利略规划的指导下，借助微积分的工具在寻求自然规律方面所取得的成功远远超出了天文学的领域。人们把声音当作空气分子的运动而进行研究，获得了著名的数学定律。胡克研究了物体的振动。波意耳、马略特、伽利略托里拆利和帕斯卡测出了液体、气体的压力和密度。范海尔蒙特利用天平测量物质，迈出了近代化学中重要的一步。黑尔斯开始用定量的方法研究生理学。哈维利用定量的方法证明了，流出心脏的血液在回到心脏前将在全身周流。定量研究也推广到了植物学。所有这些仅仅是一场
43、空前巨大的、席卷近代世界的科学运动的开端。到 18 世纪中叶，伽利略和牛顿研究自然的定量方法的无限优越性，已经完全确立了。著名哲学家康德说，自然科学的发展取决于其方法与内容和数学结合的程度，数学成为打开知识大门的金钥匙，成为科学的皇后。数学与自然科学的联盟所显示出的惊人成果，使人们认识到：（1）理性精神是获取真理的最高源泉；（2）数学推理是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效的手段；（3）每一个领域都应该探求相应的自然和数学规律。特别是哲学、宗教、政治经济、伦理和美学中的概念和结论都要重新定义，否则它们将与那个领域里的规律不相符合。9数学与绘画。在整个绘画史上，绘画的体系大致分为两大类：观念体系与
44、光学体系。观念体系就是按照某种观念或原则去画画。例如，埃及的绘画和浮雕作品大都遵从观念体系。人物的大小不是依照写实的原则，而是依据人物的政治地位或宗教地位来决定。法老经常是最重要的人物，他的尺寸最大，他的妻子比他小一些，仆人就小得可怜了。光学透视体系则试图将图形本身在眼睛中的映像表达出来。它是从西方绘画艺术中发展起来的。早在希腊和罗马时期，光学体系已经有了发展。但是到了中世纪，基督教神秘主义的影响使艺术家们回到了观念体系。画家们所画的背景和主题倾向于表现宗教题材，目的在于引导宗教感情，而不是表现现实世界中的真人真事。从中世纪末到文艺复兴时期，绘画艺术发生了质的变化。其典型特征是，艺术家朝写实方
45、向前进。在 13 世纪末，数学也进入了艺术领域。到了 13 世纪的时候，通过翻译阿拉伯和希腊的著作，使亚里士多德的著作广泛为人们所知晓。西方的画家们开始意识到，中世纪的绘画是脱离现实和脱离生活的，这种倾向应当纠正。实际上，从中世纪转向文艺复兴，首先是人性的觉醒。在中世纪，艺术只是为了“训导人”成为一个好的信徒。到了文艺复兴时期，艺术则更多的是为了“丰富人”和“愉悦人” 。在中世纪严格的思想控制下，希腊、罗马艺术中美丽的维纳斯竞被看作是“异教的女妖” ，而遭到毁弃。到了文艺复兴时期，向往古典文化的意大利人却觉得这个从海里生起来的女神是新时代的信使，她把美带到了人间。文艺复兴时期的绘画与中世纪绘画
46、的本质区别在于引入了第三维，也就是在绘画中处理了空间、距离、体积、质量和视觉印象。三维空间的画面只有通过光学透视体系的表达方法才能得到。这方面的成就是在 14 世纪初由杜乔(Duccio，12551319)和乔多(Giotto，12761336)取得的。在他们的作品中出现了几种方法，而这些方法成为一种数学体系发展过程中的一个重要阶段。毫无疑问，达芬奇是 15 至 16 世纪的一位艺术大师和科学巨匠。文艺复兴时期的传记作家瓦萨里曾这样赞美他：“上天有时候将美丽、优雅、才能赋予一人之身，他之所为无不超群绝寰，显示出他的天才来自上苍而非人间之力，达芬奇正是如此。他的优雅与伟美无与伦比，他才智之高超使
47、一切难题无不迎刃而解。 ”他通过广泛而深入地研究解剖学、透视学、几何学、物理学和化学，为从事绘画作好了充分的准备。他对待透视学的态度可以在他的艺术哲学中看出来。他用一句话概括了他的艺术专论的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家” 。达芬奇坚持认为，绘画的目的是再现自然界，而绘画的价值就在于精确地再现。因此，绘画是一门科学，和其它科学一样，其基础是数学。他指出， “任何人类的探究活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明为自己开辟道路。 ”达芬奇创作了许多精美的透视学作品。这位真正富有科学思想和绝伦技术的天才，对每幅作品他都进行过大量的精密研究。他最优秀的杰作都是透视
48、学的最好典范。 “最后的晚餐”描绘出了真情实感，一眼看去，与真实生活一样。观众似乎觉得达芬奇就在画中的房子里。墙、楼板和天花板上后退的光线不仅清晰地衬托出了景深，而且经仔细选择的光线集中在基督头上，从而使人们将注意力集中于基督。12 个门徒分成 3 组，每组 4 人，对称地分布在基督的两边。基督本人被画成一个等边三角形，这样的描绘目的在于，表达基督的情感和思考，并且身体处于一种平衡状态。附图中给出了原画及它的数学结构图。10从艺术中诞生的科学。数学对绘画艺术作出了贡献，绘画艺术也给了数学以丰厚的回报。画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射
49、影几何。在透视学的研究中产生的第一个思想是，人用手摸到的世界和用眼睛看到的世界并不是一回事。因而，相应地应该有两种几何，一种是触觉几何，一种是视觉几何。欧氏几何是触觉几何，它与我们的触觉一致，但与我们的视觉并不总一致。例如，欧几里得的平行线只有用手摸才存在，用眼睛看它并不存在。这样，欧氏几何就为视觉几何留下了广阔的研究领域。现在讨论在透视学的研究中提出的第二个重要思想。画家们搞出来的聚焦透视体系，其基本思想是投影和截面取景原理。人眼被看作一个点，由此出发来观察景物。从景物上的每一点出发通过人眼的光线形成一个投影锥。根据这一体系，画面本身必须含有投射锥的一个截景。从数学上看，这截景就是一张平面与投影锥相截的一部分截面。设人眼在 O 处(图 1)，今从 O 点观察平面上的一个矩形 ABCD。从 O 到矩形的四个边上各点的连线形成一个投射棱锥，其中 OA、OB、OC 及 OD 是四根棱线。现在在人眼和矩形之间插入一平面，并在其上画出截景四边形 。由于截景对人眼产生的视觉印象与原矩形一样，所以人们自然要问：截景与原矩形有什么共同的性质？要知道截景与原矩形既不重合，也不相似，它们也没有相同的面积，甚至截景连矩形也不是。把问题提得更一般一些：设有两个不同平面以任意角
