1、2-3、差分格式稳定性分析法、一、离散扰动的稳定性分析理论基础；误差传播特性；归纳法例； 2xutFTCS 格式 njjnjnjj uxt 1121 jjjnj ssu1设初始扰动（误差）为： mjj0则 1nt时 sm1s21sm1为了使 则要求 及axi 0再计算 2j2sm214sm 264smaj11320s当 ，误差分布可能出现的情况如下；tn（1） （2）（3）以此误差分布，从 n 时间步计算到 时间步，并要求在 时间层上：1n1n1maxnj.04121ss这个最后条件 ，如第一步计算中，附加误差修正不过冲的条件2so即 。但“不过冲”与误差传播振幅不扩大的含义并不1一致。m-1
2、 m m1 m-1 m m1 m-1 m m1 二、矩阵法（谱分析法）一个更严格的关于初值问题差分格式稳定性分析的方法是矩阵法。解是一个解向量，经过 后解的改变由 A 是一个变换矩阵，分析变换矩tnjnU1阵的性质，讨论解的性质变化。 （仍讨论上述的例子）但 nJn1210,0nJnni s2jjnjjs11nJJJs2nA1 )1(21212 JssssA为了满足 的最大值，经矩阵相乘后，其幅度不增大，从线性代数的分析可知，其1n必要条件是：矩阵 的谱半经不大于 1；（谱半径的定义是，矩阵的所有特征值中的绝A对值的最大值。 ） 0121 nnn Ao一致有界的充要条件是 A 的谱半经nA设：
3、A 的特征值为； 121Jm相应的特征向量； （m=1,2,，J-1）mvAJC10由此 mJmJmJo vCvAv11112112A递推;01)(nAJmnnvC要 求 线性代数中关于求三对角矩阵特征值的定理：设矩阵 A 为 M 阶的三对角矩阵，即： MbacbA则 A 的特征值为 1cossgn2mmb利用该定理，A 的特征值是：JmssJmm2in41)co(s21m1i210s三,Von. Neumann 稳定性分析性 ,基本思想:分析差分数值解的耗散特性, 判断数值解的是否有界的特性；(或曰差分方程对误差的传播性质)初始解(初始误差)利用 Fourier 展开成 Fourier 级数
4、 jikxokojeA线性问题中,通过分析任意一个 Fourier 分量解的性质特性;数值解有界（或初始误差在传播过程中不扩大） ，则要求层间放大因子（放大矩阵）onnG1要求解有界：所以 ，放大矩阵（因子）一致有界性 1G若：G 为复数，则： 1G 为矩阵 )(此处引入的层间放大因子 故可设,n等。ikxikxneAeA1例 1； 0uaLax-Wendroff 格式 njnjnjjnj jjjjjj ucucuxtaxta1121122sio1Gk)1()c(2c由 即： 11)(os2容易解出 是 的必要条件，即 Von-Neumann 分析的稳定性条件是。c例 2、 2xuvatuFT
5、CS 格式； 21111 tuvtt njnjjnjjnj 设:)(111xiknnj ikxnjijj jjeAueAu代入整理，并求 得到nkG1sicos2ncxkx,2xtvs在复平面上 是表示实半轴为 2S，虚半轴为sin1cos21cGC 的椭圆要求 即所有椭圆上的点均应在单位园之内。G显然应：21s1C另对于椭圆： 2byax其顶点的曲率半经分别为； a但在 ，的条件下，FTCS 格式将产生伪振荡。伪振荡并非数R值计算的不稳定！其实质是格式的非单调性所引起的。若 将格式写成：,2ex2s10njxnjnjxccnj ususu 111221 ReRe 当，格式是单调的（见单调格式
6、一样）x而 时，格式是非单调的。可能出现数值解的伪振荡。2e例：定解条件如下：初值： 10,xu边值： ),1(1nt简单地，选用 11 个网格布局，第一个时间步时，仅有第 10 个网格点地值为非零。 xnnnxn sususu Re22Re2910110 因： 则 x例 c=0.4 s=0.1 54e,02x1.10nu继续计算 298.The wiggles will eventually propagate to the other boundary but will remain bounded throughout the iteration to steady state. The
7、 oscillations that occur in this case are similar to the oscillations which appear when a second-order (or higher ) scheme in used to solve the inviscid Burgers equation for a propagating discontinuity.例 3,方程组问题的稳定性分析oxwatub xtbct21Lax-Wendroff 格式：njnjnjjnjj ucwcu 1121112jjjjjjj wuwjj ikxnwjikxnuj e
8、AeA11写成向量 wnwnunu AicAcA ssi2122 nnunwi 2211 innAGA12sin21sinii2112 cciG稳定条件： 即 G求 G 的特征值 0sin21sin2122 cc212,1i21s)si(cc4221in4时 21c若 为稳定性条件ba例 4；非线性问题的局部线化稳定性分析非线性 方程Burge21xuRute差分方程可由守恒或非守恒方程出发写出；等价守恒方程为 221)(xutue预测步 njjnjenjnjnjj uuxRtuxtu 112221* 校正步： *1*122*12*21 jjjejjjnjnj uuxRtuxtuu或直接由非守
9、恒方程出发，采用 MacCormack 格式； njxstep P； njjjenjnjjxtnjj uuRtuuu 1121*21 step C； *2*1*2121 jxejjjjnjnjtt 由于 Von-Neumawm 稳定性分析只能针对线性问题， 上述格式中 或 必须将它当nju21*31j成常数才能进行分析；为此取 等于 中绝对值较大的一个，并保留原符号；cu*21,jn并类似地记： （C 可正可负） ， xtcRexts将非线性问题局部线化（或称时间上冻结非线性项） ，则稳定分性分析的问题成为；（改写成三步形式）step p: njnjjnjjj uuu 111* 2step c
10、: *scstep 3: *21jnnjuustep p 用 Von-Neumann 分析，得xikxikxiknk esecAG21*1icossoxkixssn2step c ecui s121*step 3 无稳定性问题.所以： nnnjn uuG*21*21211212*Gunj故若有 则,1若分别考虑 step 1 和 step 2 的稳定要求:由 ,xkicxkcsGsn1o采用复平面上与单位园的对比条件可知要求(不失一般性，令 c0);实半轴： 2Re0x即虚半轴： 1c端点曲率比较： css22归纳为12cs由 xkcikGsno2 复平面上 的要求是；综合 ，不等式右侧部分
11、较严格的要求是， 1,212xutcsc121s左侧部分较严格的要求是； cuxtc22例 5、关于 MacCormack 格式稳定性条件更精确的讨论在计算条件下满足,为此将 G1G2 的关系代入 G 212Gxksxkic xkscosnco2记： o进一步计算可得 f12其中 scscf 4)84( 2230coxk的充分必要条件是12Gof2ma(1).讨论必要条件；由以上要求 ，of20max则至少必须在 两端点上满足：,of，分别讨论： （符合要求）0,0). s scscfb 42163281632;. 4224 ssc 82424上式方括号中，记 （并求根）则有x2016832
12、sx24sx2上式二次项的系数为正，所以二次抛物线的开口向上， （如图）ssxsxf 281684)( 3422 从图中可看出，要求 则要求 ； 即：,0f 1224scs40X1X2进一步将证明，只要 均满足小于等于零，并且在 的区间内 无极2,0(f 20f大值点，则可以保证 恒有 ，从而条件 是稳定的必o0f 14sc要条件。结论是当 时 在 内无极大值点，scf2,0是稳定的必要条件 14s的 等 价 条 件12G证明； 退化为二次多项式，可求极值的位置在时当 sc1f内无极值21872so,0；可求出时当 sc2224222 81 sccscscf “ 84s由 解出两个根可以写成为
13、：0f*其中 ； 223sc2222344sccssc并且有： 0*“f2csc0“ff即 对应为极小值， 对应于极大值。另外由 表达式可出*即 （即极大值的位置在负半轴）o*所以再0,2 区间 无极大值。证毕。f四）Hirt 的稳定性分析方法基本思想：利用双曲型方程的 CFL 条件(差分格式收敛的必要条件)来推断稳定性条件.例;方程 2xuvatuFTCS 格式; 21111 xuvt njjnjjnjjnj利用 展开,写出修正方程Taylor2222 xouvxouatotut njj 解析延拓; 222,txvtt 双 曲 方 程0122uatxutv特征线斜率为 vd根据 CFL 条件,差分依赖域应包含微分依赖域 .在 FTCS 三点格式中应满足 即vtx2212xtvt 如上节的讨论，我们已知对于 FTCS 格式，只限定 ，对稳定性要求是不21xtvs够的;所以 稳定性分析是不充分的(必要条件),仅当 时其分析结果才与 Von-Hirt 0Neumann 的结论相同。
