1、139第六章 常微分方程1一阶方程1）可分离变量 )(ygxf2）齐次 ， 令 。uxy3）线性 )()(xQyP通解： Cdeexpdxp)()(4）伯努利 ， 令)1()( yy .1uy5）全微分 .0,dxQxPa) 判定: yb) 解法:1) 偏积分 2) 凑微分3) 线积分 yx dxQdPyu00 ),(),(),(2可降阶方程:（数三不要求）1) )(xfy2) 令, dxPy,3) 令),(yf ,3高阶线性方程:1) 变系数: 非齐次)()(xfyqxpy齐次0)(解的结构: a) 齐次通解 ,其中 为齐次两线性无关特解21yc21,yb) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非
2、齐次特解140c) 非齐次特解 I 非齐次特解 II = 齐次特解2)常系数:a) 齐次 021yay特征方程 2设 是特征方程两个根21,1）不等实根： ， ；21xxeCy212）相等实根： ， ；)(213）共轭复根： ， ；i2,1 )sincoxeyxb) 非齐次：)(21xfyayunePxf)(,令 等于 作为特征方程根的重数.xkQy)( uxPexf ml sin)(cos)(,2令 ,a.)( mlWxynxk 3） 欧拉方程 （仅数一要求）)(1)1(1)( xfyaax nnnn 令 ， te ykDxk )1)( 4 差分方程（仅数三要求）1。一阶常系数线性齐次差分方
3、程（1）,01ttay通解为 ,)()tcC2。一阶常系数线性非齐次差分方程（2）),(1tfaytt通解为 .*tcty141其中 是非齐次差分方程（2）的特解。ty1) ),(Ptfm（1）若 令 1a);(tQymt（2）若 令 ,t2） ， )()(tPdtfmt)0d（1）若 令 ,a);(tQymtt（2）若 令 tt例 差分方程 的通解为 .051ytt解： 原方程的一般形式为 ，tytt251其对应的齐次差分方程为 ,0tt其通解为 （ 为任意常数）.tcCty)5(因为 是 的一次多项式，且 ，故设原方程的特解为tf25)(1a，BAyt*代入原方程，得 ,25)()1(tt
4、t即 .6BA比较系数知 ，故 ，从而原差分方程的通解为7,125)61(*tyt.125)()(*Cytyttct例 差分方程 的通解为 .ttt1解： 原方程对应的齐次差分方程为 ,01tty其通解为 （ 为任意常数）.Ctc)1(因为 ，且 ，故设原方程的特解为ttf2)( 02da142),(2*BAtyt代入原方程，得 ttt BA2)(2)1(即 .t比较系数知 ，故 ，从而原差分方程的通解为2,1BA)(*tyt.)(*Ctyttct题型一 微分方程求解例 6.1 求解下列一阶微分方程(1) xyx12(2) (3) 2yx(4) 31(5) )cos(yxy(6) 求方程 满足
5、条件 的特解. xytan1e22 0xy(7) 0t)sin(dyx解（1） )1(2xdy2cx21arctn（2） yy令 ， ， xuuudx2xd)(2143cxy（3）解 令 .bYaX,221yd令 得 01ba.34,ba（4）解 2yxd（线性）22cdyexyd121c（5）解 令 ， uyxdxuydcosx2tancy)(（6）解 令 ，则uta（线性）xdx2121cdeud22)(3x由 知，0xy31c.)(31tan22x（7）解 0tansidyx144yxdycost)in21(si例 6.2 求解下列各题（可降价）1） 求方程 的通解 )1l()1(xyx
6、2） 求方程 的特解. )0(,)(22y1）解法 1 可降阶方程 令 ，则 ，pyy)1ln()(xpx（线性）)( 21)ln(cxcxy解法 2 )(dxyx)l(1n)l(cxx.21)(cy2）解 令 pdy,2dyp1)(22令 ， ，uypydyup1451)(22udyu2显然 ， 均为原方程解，但由 ， 知，1u 1)0(y)(，即1yp， ， dxycxln,xey由 知， ， .1)0(cxey例 6.3 求解下列各题(高阶线性方程)1. 方程 的特解形式可设为 （B）xyA） B） C） D）baex baex bxaebxae2. 方程 的特解形式可设为 (C)23y
7、A) B) cx2 )(2xC) D) )(bacba3方程 的特解形式可设为 （D）xysin12A） B）Acx2 xBcxos2C） D）xbacossi )csin(xAba4设线性无关的函数 都是方程 的解，321,y )()(xfyqxpy为任意常数，则该非齐次方程通解是 21,CA） B）32yy 32121)(yCyCC） D）3211)(C5已知 为某二阶线性常系xxxx eyeyey 232,146数非齐次方程的特解，求此方程. )21(xey解， 为齐次的解.xey13为非齐次解.x2为齐次解.ey21则齐次方程特征方程为 0)2(1即 02则齐次方程为 y设所求的二阶线
8、性非齐次方程为 )(2xfy将 代入该方程得 .xey )21()xexf故所求方程为 y6.若 是方程 的解,求 及该方程通解。xxey)1(2xcebya cba,解法 1 将 代入原方程比较系数xx)(2得 ， ， .3ab1c解法 2 由于 为原方程的解，则 必xxx eey22)( xey21为齐次的解. （由方程非齐次项知非齐次解中只会出现 而不会出现 ）.x与 中， 为齐次的解. （若 是齐次解， 为特征方程二xexey2 xe重根，但 已是一个根）则齐次方程的特征方程为 ，0)2(1即 0232齐次方程为 y于是 ，ab将 代入方程 得xeyxce23147，1c则所求方程的通
9、解为 .xxeey217.若 为 的两个解,求该微分方程.eyxcos,210)()(2yP解法 1 将 和 代入方程xy0)()(2pxy得 .xxsinco)(,sinco21 解法 2 （1）eyx21（2）si（3）xceyxo21（1）式+（3）式得 （4）xecy1（1） （2） 得 xsinxcs )sin(cosino1xeyx从而有 xyxysicn2sico8.求方程 的通解,其中常数a2 0a解 齐次方程特征方程为 2a特征根为 i1）若 ，则非齐次特定特解为 代入原方程得a xBAysinco*，1,02aBA则原方程通解为 .xaxcysi1sino222）若 ，则非
10、齐次方程待定特解为1a )si(*BA代入原方程得 ，210则原方程通解为， xcxycos21sino21148axCxaysincosin1, 212题型二。综合题例 6.4 求连续函数 ，使它满足)(xf10.)(2d)(xftxf解 令 则,utx100)()(ufdtfx2xfxff)()(21)3()2Cxxf由题设知 则,0.3(,xf例 6.5 设 连续,且满足 = ,求 .)(xfxdt0)dttf0)()(xf解 令 ，则utxxufdtf00)()(xd0从而有 x fftf0 )()()(x xu01dff)()(， )(xf xce， ， 10cf)(例 6.6 设
11、= ,其中 为连续函数.求)(xfsinxdt0 )(xf )(xf解 （1）xftf)()(（2） txf0cos149)(sin)(xfxf即 （3）f由（1）式知 ，由（2）式知 .0)( 1)0(f非齐次方程（3）对应的齐次方程特征方程为， 12i设方程（3）的待定特解为 ，代入（3）式得)snco(xbaxf.0,21ba则方程（3）的通解为 xcxf cos21si)(21由 和 可得， ， ，)(ff0则 xxcos2sin10,21),sin(,)( baxbayff xfCxCx cos2sin)(0,c1sic 2121 例 6.7 设 在 上有定义， ，对任意的 ,)(f
12、),)(f yx求 .yexfx(xf解 fx)lim)(0xfefx()(li0)(li0ffex)0)(f2exxf)(例 6.8 设 有连续一阶导数， 求),()()(2yxduyxfdyfx及 ，其中)(xf),yu.1)0(f150解 由题设知 )(xffx即 ff)(xcex1)(由 知， ，0f01)(fdyxydxu),(2.c3)1(例 6.9 设 具有二阶连续导数,而 满足方程)f )sin(yefzx+ 。2xzxey2解 令 ，则yuxsin；yeufyeufzefz xxx sin)(sin)(,i)( 22.ffyufy xxx i)(co)(,cos)( 22 将
13、 和 代入等式 + 得2xz2xzxe2，即 .)(uff 0)(uff这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，特征方程为 ，1,02则.uuecf21)(例 6.10 设函数 内具有二阶导数，且,)(在xy的反函数.)(,0xy是（1）试将 所满足的微分方程 变换为y 0d)sin(d32yxyx满足的微分方程; )(xy151.sinxy（2）求变换后的微分方程满足初始条件 的解.23)0(,)(y解 （1） ，ydxxy)(2321y将以上两式代入原方程得 xysin（2）特征方程为 ， 0121非齐次待定特解为 .xBAysico*代入 得， .xysin 2,则非齐次方程通解为 .xec
14、yxxsin11由 ， 可得 .0)(y23)( ,2则所求特解为： . xeyxsi题型三。应用题例 6.11 设曲线 为连续 与 的弧段且位于弦 的上方(如)(xfy)0,1(A),(BAB右图), 为其上任意一点,弦 BP 与该曲线围成的面积为 ,试求该曲(P 3x线方程.解 xxfdtf03 )(12)(， ，y61 162Cy1652xy例 6.12 设对任意 ，曲线 上点 处的切x)(xf)(,f线在 轴上的截距等于 ，求 .y1xdt0解 曲线 在点 处的切线方程为)(xf)(,.f152)()(xXfxfY令 得 ，0X)(xf于是 xdtf0)(2即 fxf()( )(2)(2xffxf 0)(xfx， ，(f 1cfxcf1)(21ln)xcf例 6.13 设 二阶可导,且 .过 上任意点)0( y 1)0( )(yx)(xy作该曲线的切线及 轴的垂线,上述二直线与 轴所围三角形面积记为),(xPx,区间 上以 为曲边的曲边梯形面积记为 ,且 ,求1S,)(y2S121.)(xy解： 设切线方程为 ,则它与 轴交点为)(xXyY 0 ,yxxdtySxyS021 )( )(2 由 .令xdty02221 )(1)( yP得 2Pdy 21 11 cxecdxycP即由 ，并注意到 ，故 为所求曲线方程.1)0( 0 , )0(21y xy153
