1、微积分教案章节次数 第 1 讲：第一章 函数教学目的要求1. 理解函数的概念。2. 掌握函数的初等函数的性质及其图形。3. 会建立简单应用问题中的函数关系式。主要内容集合、映射、函数函数的几种几何特性反函数、复合函数、初等函数常见的经济函数 重点难点理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：14 页 习题 1-2 2, 4, 5, 620 页 习题 1-3 2, 3, 4, 527 页 习题 1-4 1, 2,34 页 习题 1-6 2，3，4 ，7备注本章内容带有复习性质，凡中学已经学习过的有关函数的知识
2、，只需加以复习提高，不必再作详细讲解。1课程的性质与任务微积分充满了辩证法。 微积分课程是财经类高等院校学生必修的一门重要基础理论课，是培养造就高层次专门人才所需数学素质的基本课程，是经济工作者从事经济数量分析的重要基础和有力工具。它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用，它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。在让学生掌握基本理论与基本运算技能的基础上，要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章 函数教学目的与要求：理解函数的概
3、念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素。1) ,321a2) Px的 性 质元素与集合的关系： ， A一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R， N+元素与集合的关系：A、B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称A 是
4、 B 的子集，记作 B。如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作 若作 且 则称 A 是 B 的真子集。全集 I：A i I（I=1，2，3，） 。空集 ： 。2、 集合的运算并集 B： x|B或交集 A： A且差集 ： |且补集（余集） C：IA集合的并、交、余运算满足下列法则：2交换律： AB AB结合律： )()(C， )()(CB分配律： ， )(A对偶律： ( cc) cc)(笛卡儿积： AB |,(ByAx且3、区间和邻域1）有限区间：开区间 ),(ba，闭区间 ba,，半开半闭区间 ba,。2）无限区间：（ ） ， ， ， ， 。,3）邻域： ),(xU注
5、：a 邻域的中心， 邻域的半径；去心邻域记为 ),(aU。二、映射定义 设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f，使得对 X 中的每一个元素x，按法则 f，在 Y 中有唯一确定的元素 y与之对应，则称 为从 X 到 Y 的映射，记作Yf： 其中 y称为元素 x的像，并记作 )(x，即 )(xf。注意：每个 X 有唯一的像；每个 Y 的原像不唯一。三、函数1、 函数的概念定义 设数集 RD，则称映射 RDf:为定义在 D 上的函数，记为 xfy,)(。注：函数相等：定义域、对应法则相等。2、 函数的几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界） ，有界的充要条件：既有上界又有下界。2
6、）函数的单调性（单增、单减） ，在 x1、x 2 点比较函数值 )(1xf与 )2f的大小（注：与区间有关） 。3）函数的奇偶性(定义域对称、 )(f与 )f关系决定)，图形特点 (关于原点、Y轴对称) 。4)函数的周期性(定义域中成立： (xflf)3、 函数与复合函数31）反函数：函数 )(:Dff是单射，则有逆映射 xyf)(1，称此映射 1f为f函数的反函数。函数与反函数的图像关 xy于对称。2）复合函数：函数 )(gu定义域为 D1，函数 )(xfy在 D 上有定义、且1)(Df。则 ff为复合函数。3）分段函数：分段函数的统一表达式。结论：对于分段函数 f（x）= 12()fxa若
7、初等数函 f1（x ）和 f2（x ）满足 f1（a）= f 2（a） ，则f（x）= f 1 （x+ a- ）+ f 1 （x +a+ ）- f 1（a）2()2()4、初等函数1）幂函数： ay 2)指数函数： x 3)对数函数： )(loga 4)三角函数： )cot(),tan(),cos(,sin xyxyxyxy 5)反三角函数： r， rcs)t()at(以上五种函数为基本初等函数。例 1 已知分段函数2,10,(),.xf1）求其定义域并作图；2）求函数值 1122(),().ff例 2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：y=10u，u=1+x 2, y=arct
8、anu2, u=tanv, v=a2+x2.例 3 求函数的反函数及反函数的定义域：y=x2,（0 x0 为生产一个单位产品所需的可变成本。5. 总收益(总收入)函数总收益 R 是指产品出售后，所得到的全部收入。它是销量 Q 的函数，记为 R(Q)。( 通常假设产销平衡)若产品的单位售价 p 不变， 则 R(Q)=pQ若价格 p 是产量 Q 的单调减少函数 p(Q), 则 R(Q)=p(Q)Q6. 总利润函数5利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即 产销平衡时， L(Q) = R(Q) - C(Q)7. 库存润函数设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求量为 Q ，由于库存费用及资金
9、占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，每次进货批量为 ，进货周期Qqn为 . 假定每件物品的贮存单位时间费用为 ，每次进货费用为 ，每次进货量相tn1C2C同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ，在时间 T 内的总费用 E 为 12QETq为储存费 为进货费用。12CTq一 2Qq一6微积分教案章节次数 第 2、3 讲：第二章 2.1 数列的极限 2.2 函数的极限教学目的要求1. 了解数列与函数极限的概念，性质。2. 会用极限的分析定义证明一些简单的极限。3. 理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。4. 掌握无穷级数的基本
10、性质。主要内容数列、数列极限的定义与几何意义 数列极限唯一性及收敛数列的有界性自变量趋于无穷大及趋于有限数时函数的极限函数极限的几何解释单侧极限 重点难点极限的概念的理解及应用；理解函数左极限与右极限，极限性质。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 第 2 讲：42 页 习题 2-1： 1、(2)(4)(6)，2、3、4、6（1） （2）第 3 讲：68 页 习题 2-2： 1、(1)(3)，3、4、6、7备注 函数极限的基本性质同数列极限的性质。7第二章 极限与连续第一节 数列的极限教学目的与要求：理解极限的概念，性质。教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。一、数列数
11、列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成： nxx321缩写为 n例 1 数列 是这样一个数列 ，其中nnx， 5,4321也可写为： 1可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近 0，记为 。01limn极限的 N定义， ，当 时， 恒成立，则称数列 的极限为 a，记成 0naxn nxlim极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理 1 如果数列 收敛，那么它的极限是唯一。nx定理 2 如果数列 收敛，那么数列 一定有界。nx定理 3 如果 且 a0(a0，当 nN 时，xlim)0(nnx
12、x。例 2 证明数列 的极限是 1。1n例 3 作出数列 图形，讨论其极限值。()n第二节 函数的极限8教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。极限的定义一、在 点的极限0x1） 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及 f 在 有没有定义，以及函数值0x的大小。只要满足：存在某个 0使：)(0f Dxx),(),00。2）如果自变量 趋于 时，相应的函数值 有一个总趋势以某个实数 A为极)(xf限 ，则记为 ： 。Afx)(lim0形式定义为：， ，当 时， 恒成立。0xAxf)(cxffx00lili
13、 0一一 一一左极限与右极限重点强调： Axffxx 一一一00limli结论： Axffxxx 一000 limlim二、 的极限设 ),()(fy，如果当时函数值 有一个总趋势- 该曲线有一条水)(f平渐近线 A-则称函数在无限远点 有极限。记为： 。Axfli在无穷远点 的左右极限：)(lim)(xff， )(lim)(xff关系为： liAx例 1 讨论函数 在 x 的极限。y0例 2 求下面函数极限：， 。 limn21n )13(li1xx三、函数极限的性质定理 1（函数极限的唯一性）9如果 存在，则这个极限唯一。0lim()xf定理 2（函数极限的局部有界性）如果 存在，那么存在
14、常数 和 ，使得当时 时，有0li()xf 0M0|x。|fM定理 3 (函数极限的局部保号性 )则存在常数 ，使得当 时0lim),0(,xfA一 00x。()x一定理 3 ，则 邻 当 时，0lif0x一 0(,)U一0(,)x。()2Afx一推论 当 时，0lim,0,xf一 0(,)xU()0(),fxf一().例 1 证明 。01lisnx一证： ,n一lim0,x;n一1,42n一lim0,nx;n一=0，lislisnnx一 141lislis2nnx二者不相等, 。01lix一微积分教案10章节次数 第 4 讲：第二章 2.3 无穷小量与无穷大量教学目的要求掌握无穷小与无穷大概
15、念。主要内容无穷小、无穷大无穷小与无穷大的关系无穷小的性质 重点难点 理解无穷小与无穷大的关系。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 55 页 习题 2-3： 1、2、4备注第三节 无穷小量与无穷大量教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。11教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。一、无穷小定义定义 对一个数列 ，如果成立如下的命题：nx， ，当 时， 恒成立，则称它为无穷小量，即0Nn 0limnx注：1） 的意义；2） nx可写成 0nx； ),(nx；3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数 ，存在一个号码 N，使在这个号码以后的所有的号码 ，相应的 与极限 0
16、的距离比这个给定的 还小。它是我们在直观上对于n一个数列趋于 0 的认识。定理 1 在自变量的同一变化过程 0x（或 )中，函数 具有极限 A 的充)(xf分必要条件是 ，其中 是无穷小。Axf)(二、无穷小的性质设 nx和 y是无穷小量于是：5） 两个无穷小量的和差也是无穷小量： 0)(lim0li0lim nxnxnx yy2）对于任意常数 C，数列 也是无穷小量：c)(lilinxnx3） 也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。y0)(lim0li0limnxnxnx yy4） 也是无穷小量： lili00nxnx5）无穷小与有界函数的积为无穷小。三、无穷大定义一个数列 ，如果成
17、立：nx， ，当 时， 恒成立，那么称它为无穷大量。记成：0GNGxn。nxlim特别地，如果 ， ，当 时， 恒成立，则称为正无穷大，记成Nxn12。nxlim特别地，如果 ， ，当 时， 恒成立， ，则称为负无穷大，记0GNnGxn成 。nxli注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。四、无穷小和无穷大的关系定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷小；反之，)(xf)(1xf如果 为无穷小，且 则 为无穷大。)(xf 0)(xf)(1f即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当 时：有 0nx；nxnx1lim0li limlinx注意是在自变量的同一个变化过程
18、中。微积分教案章节次数 第 5 讲：第二章 2.4 极限的四则运算 13教学目的要求掌握极限的四则运算法则。主要内容极限的四则运算法则 重点难点会用四则运算法则求极限；教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 83 页 习题 2-4： 1，2，3、 （ 2） （4） （6）(8)(12)，4备注第四节 极限的四则运算教学目的与要求：掌握极限的四则运算法则。14教学重点（难点）：会用四则运算法则求极限。1）若函数 f和 g在点 0x有极限，则 )(lim)(li)(lim000 xgfxx 2）函数 f在点 有极限，则对任何常数 a成立)(li)(li00 faxx3）若函数 f
19、和 g在点 有极限，则)(lim)(li)(lim000 xgfxx 4）函数 f和 在点 有极限，并且 ，则 00x)(li)(li00gfxfxx极限的四则运算成立的条件是若函数 f 和 在点 0x 有极限。定理 3 设函数 )(fy是由函数 )(uy与 )(g复合而成， )(xgf在点0x的某去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 0lim0xgAfli0 0),(u时，有 )(uxg，则例 1 下面函数在 x 趋向什么时是无穷小，又当 x 趋向什么时是无穷大：。2,sin1cox例 2 求下面函数极限：微积分教案章节次数 第 6 讲：第二章 2.5 极限存在性定理 两个重要的极限 连
20、续复利uff)(li)(li0093lim2x453lim21x15教学目的要求1. 知道两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。2. 熟练掌握两个重要极限。3. 了解一些常见的等价无穷小量，并会用等价无穷小量代换定理求解极限。主要内容夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理两个重要极限： exxx)1(lim,sinl0等价无穷小量代换定理 重点难点 极限存在准则，两个重要极限的应用，熟练应用等价无穷小求极限。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 70 页 练习 2-5： 1、2、备注 两个重要极限的证明可根据课时选择课堂讲授或让学生自学。第五节 极限存在准则 两个
21、重要极限 连续复利教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用，熟练应用等价无穷小求极16限。定理 1（夹逼定理） 三数列 、 和 ，如果从某个号码起成立：nxynz1） nnzyx，并且已知 和 收敛， 2） xxalimli，则有结论： anxli定理 2 单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。一、 极限 1sinl0x该极限的证明，关键是证不等式:sinx 1- 1/n=（ 2(1/2)+（n-2） ）/n （1/2） 21n-2=（1/4） 1/n则 4 （n+1 ）/ n= （1
22、+1/n） n即数列A n有上界。O H YTBA C X17于是，极限存在，并记为数 e。例 1 。20coslimx一解： 20inlx一 20sin1lm()x20sin1l()x21.例 2 lim(1).xx一解： 241li()xx一 2.e三、连续复利设一笔贷款 （称为本金） ，年利率为 r，则0A一年后本利和 1()r两年后本利和 220(1)Ark 年后本利和 0()kk计息，年利率为仍为 r，则每期利率为 ， 为n一 rn一10()nA k 年后本利和 0nkkr如果计息期数 即每时每刻计算复利（称为连续复利） ，则 k 年后本利和n一微积分教案0001lim(1)lirk
23、nnk rkknrAAAer18章节次数 第 7 讲：第二章 2.6 无穷小的比较教学目的要求理解无穷小阶的概念。掌握无穷小的比较方法。掌握等价无穷小代换方法。主要内容 无穷小的阶 无穷小的比较 等价无穷小代换 重点难点 无穷小的比较 等价无穷小代换教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 73 页 习题 2-6： 1、2、3、备注第六节 无穷小的比较19教学目的与要求：理解无穷小阶的概念；掌握无穷小的比较方法；掌握等价无穷小代换方法。教学重点（难点）：掌握无穷小的比较方法；掌握等价无穷小代换方法。一、无穷小的比较定义 若 ,为无穷小，且1lim0li0limcK则 与 的关系
24、，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（ ） 例 1 证明下面各无穷小量之间的关系：与 x（x +） tanx-sinx 与 sinx（x ） 。sin00二、等价无穷小量代换1）若 为等价无穷小，则 )(。 ,2）若 、 且 存在，则： =limlilim例 1 求下面函数极限： xtanli0， 20cos1lix， xarcsinl0例 2 证明 有界，并求 的极限。)()1(i例 3 求下面函数极限 xx5sin2talm0， x3sinl0， 1cos)(lim320x。微积分教案20章节次数 第 8 讲： 第二章2.7 函数的连续性教学目的要求1. 了解函数连续性的概念，函数间断的
25、概念。2. 掌握函数间断点的分类。3. 掌握讨论简单分段函数连续性的方法。4. 了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。5. 会利用函数的连续性求函数极限。主要内容函数连续性的概念，间断点的分类连续函数的性质 重点难点 判断函数连续。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 114 页 习题 2-7： 2、3、4、(2)，5、6备注第七节 函数的连续性教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点，理解连续函数的性质和初等函数的连21续性，并会利用函数的连续性求函数极限。教学重点（难点）：判断函数连续。一、函数在一点的连续性函数 f在点 0x连续，当且仅当该点的函
26、数值 )(0xf、左极限 )0(xf与右极限)(0xf三者相等：)()(000fxff或者：当且仅当函数 在点 有极限且此极限等于该点的函数值 。)(lim00fx其形式定义如下： )()(00xf函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间a,b连续时包括端点。注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点) ；2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。二、间断点若： )0()0(0xffxf 中有某一个等式不成立，就间断，分为：1、第一类间断点)()(00ff即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2、第二类间断点 0x左极限 )(f与右极限 )0(f两者之中至
27、少有一个不存在。三、初等函数的连续性1、连续函数的四则运算1） )(lim00xfx且)(li00xgx，)()( 000 xgffx 2） )(li0fx且 )(lim00xx，)(li0 gfgfx 3） )(li0fx且 (00x，)(li00gfx222、反函数连续定理如果函数 fDxfyf)(:是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函数 1f： fx1也是严格单调增加（减少）并且连续。注：1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用 X 表示自变量， Y 表示因变量。反函数也可表成 1)(1fDxfy3、复合函数的连续性定理：设函数 和 满足复合条件 ，若函数 在点 x0 连
28、续； ，又若fggZfg0)(ug函数在点 连续，则复合函数 在点 连续。f0u)(x0注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： lim)(li00ffxx从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。例 1 讨论函数在 x=0 处的连续性： ,0()1.xf例 2 求下面函数的间断点，判断其类型：。1(),xy1cosxy例 3 求下面函数的连续区间：， 。lnsi例 4 求下面函数极限：。)2sin(logarctlmxax微积分教案章节次数 第 9 讲：第二章2.8 闭区间上连续函数的性质 习题课23教学目的要
29、求1. 了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 。2. 会应用零值定理、介值定理证明简单问题。主要内容 闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 重点难点 利用性质解决问题。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 85 页 习题 2-8： 1、2、3备注 基本定理不证明，只作几何说明。第八节 闭区间上连续函数的性质教学目的与要求：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。24教学重点（难点）：利用性质解决问题。一、最大、最小值定理设函数： 在上有界，现在问在值域Dxfy),(xfy
30、),(1中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点 D0的函数值 )(0xfy，则记 叫做函数在 D 上的最大值。)(ma0xfyDx类似地，如果 中有一个最小实数，譬如说它是某个点 的函数值f fx2，则记 称为函数在上的最小值 。)(2f)(a2xfyDx二、有界性定理有界性定理 如果函数 在闭区间 ba,上连续，则它在 ba,上有界。f三、零点、介值定理最大值和最小值定理 如果函数 在闭区间 ,上连续则它在 ,上有最大值和最f小值，也就是说存在两个点 和 ，使得 baxfxf ,)()(。亦即 min,bax)(m,xfbax若 x0 使 )(f，则称 x0 为函数的零点。四、零点定理零点定理 如果函数 在闭区间 ,上连续，且 在区间 ba,的两个端点异号：f f)(*bfa则至少有一个零点 )(ba，使 0)(。五、中值定理中值定理 如果函数 在闭区间 ,上连续，则 在 ba,上能取到它的最大值和最f f小值之间的任何一个中间值。例 1 证明方程 x=asinx+b（a、b 0）至少有一个正根，并且它不超过 a=b。例 2 已知函数 。1,274)(xxf1）求 的单调区间和值域；()f2）设 a 1，函数 ，若对于任意 使得3,0ga10,x成立，求 a 的取值范围。0(gxf
