1、第 1 页 共 6 页陇东学院 20052006学年第二学期数学专业 常微分方程课程试卷（A）命题教师 教研组长审核签字 系 主 任审批签字 考试班级 考试人数 考试日期 需答题纸页数俱鹏岳 04 本科班 1题号 一 二 三 四 五 六 七 总分得分总分教师 复核教师一、填空题（每空 2 分，共 16 分） 。1、方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域dyx是 xoy 平面 2. 方程组 的任何一个解的图象是 n+1 维nxRYFY,),(d空间中的一条积分曲线.3 连续是保证方程 初值唯一的 充分 条件),(yf ),(dyxf4方程组 的奇点 的类型是 中心 xtyd)0,(5方程 的通解
2、是2)(1 21Cxy6变量可分离方程 的积分因子是0dqpdNxMxPyN17二阶线性齐次微分方程的两个解 , 成为其基本解组的充要)(1xy)(2条件是 线性无关 8方程 的基本解组是 40yx2e,得分 评卷教师 第 2 页 共 6 页二、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 。9一阶线性微分方程 的积分因子是（ d()ypxqA ） （A） （B） （C） （D）xpd)(exqd)(expd)(exqd)(10微分方程 是（ B ）0d)ln(lyxy（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）全微分方程 （D）贝努利方程11方程 x(y2 1)dx+y(x2 1)dy=0 的所有
3、常数解是（ C ） (A) (B) 11(C) , (D) , x12 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ） n（A）构成一个线性空间 （B）构成一个 维线性空间1n（C）构成一个 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间1n13方程 （ D ）奇解22xy（A）有一个 （B）有无数个 （C）只有两个 （D）无三、计算题（每小题 8 分，共 48 分） 。14求方程 的通解2dxy解：令 ，则 ，于是，uxyyxdCxuu1,2所以原方程的通解为 xyC,1215求方程 的通解0)ln(3yxxy解：取 NMl, 3则 ，于是原方程为全微分方程xyxxy1得分 评卷教师得分 评卷教师第 3
4、页 共 6 页所以原方程的通解为 yxCd131即 Cyx4ln16求方程 的通解22)(x解:令 ，得到 （*） ，两端同时关于求导，py2py整理得 ，则012dx取 ,得 ,代入（*） 得解 0p2p42xy取 ,得 ,代入（*）得原方程得通解为 1dxCx22y17求方程 的通解53xe解 对应的齐次方程的特征方程为 ，032特征根为 ，012故齐次方程的通解为 xCy321e因为 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为5xA51)(代入原方程，得xx55ee2即 ， 10A故原方程的通解为 xxCy5321e018求方程 的通解2(cos7in)xye第 4 页 共 6 页解：先求解
5、对应的其次方程： ，则有，02yxxeC21212 ;,0因为数 不是特征根，故原方程具有形如ii的特解。xBAeyxsinco1将上式代入原方程，由于 xeysic1Axeyxs1 Bin2co故 y2xexsxABxesincosAxi7ic或 xBxsinosn3cos3比较上述等式两端的 的系数，可得 i, 73,1BA因此， 故.1,2Axeyxsi1c2所求通解为 x eCe2sinco19求方程组 的实基本解组35dY解：方程组的特征多项式为 ，其特征根是 ，那么 35i532,1属于 的特征向量 ，11i属于 的特征向量 。2i2第 5 页 共 6 页则方程的基本解组为 ，xi
6、xiex53531其实基本解组为 。01而 ii1201因此所求实基本解组为 x1 xexeiiei ttxixi 5cossinic12 335353四、应用题（每小题 11 分，共 11 分） 。20 （1）求函数 的拉普拉斯变换()atfe（2）求初值问题 的解32(0),()0tx解：（1） aseasdtete tsasastat ,1010（2）设 ， 是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普sXtxtx拉斯变换，可分别得到 ;21 2323233 22 s sXsX33ett故有 321ssX使用部分分式法，可得 3121sX得分 评卷教师第 6 页 共 6 页由（1）可知， 31;21;132sesesettt 故所求的初值解为 。tttx五、证明题（每小题 10 分，共 10 分） 。21 证明：对任意 及满足条件 的 ，方程0x01y0的满足条件 的解 在 上存在。2d(1)yxy0()yx()y,)证： 由于 21),(xf22)1(1()(), yxyyfy 在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件又显然 是方程的两个特解现任取 ，1,0y ),(0x，记 为过 的解，那么这个解可以唯一地向平面的边)1,(0y)(x),0y界无限延展，又上不能穿越 ，下不能穿越 ，因此它的存在区间必为 ),(得分 评卷教师
