数形结合思想探讨.doc

1、1第 8 讲：数学思想方法之数形结合思想探讨一 、 数 形 结 合 思 想 在 集合问题中的应用： 在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例 1. （2012 年全国大纲卷文 5 分）已知集合 = 是平行四边形 ， = 是矩形，AxBx= 是正方形， 是菱形 ，则【 】CxDxA. B. C. D.ABCD【答案】B。【考点】集合的概念，集合的包含关系。【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知 是大的集合， 是最小的集合，因此，AC选项 A、C、 、D 错误，选项 B

2、 正确。故选 B。例 2.（2012 年上海市文 4 分）若集合 ， ，则 210Ax1BxBA【答案】 。1,2 【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得 ， 。121012xxx012函数 的定义域为 。故选 B。21()4ln)fxx(1,0),例 4. （2012 年重庆市理 5 分）设平面点集，则 所表示的平面图形的面积为【 221(,)()0,(,)1()1AxyBxyyxAB】（A） （B ） （C） （ D） 3435472【答案】D。【考点】线性规划中可行域的画法，双曲线和圆的对称性。【分析】 ， 或 。1()0yx01yx01y

3、x又 ，22()()y满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分和。 的图象都关于直线 对称，1)()1(,22x =yx和区域的面积相等，和区域的面积相等，即圆内部分和的面积之和为单位圆面积的一半，为 。故选 D。2二 、 数 形 结 合 思 想 在 函 数 问题中的应用： 函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。特别地，数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前 n 项和公式可以看作关于正整数 n 的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的3有关问题转化为函数的有关问题来解决。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例 1. （

4、2012 年山东省理 5 分） 设 ，则“函数 在 R 上是减函数 ”，是“函数a01、xfa在 R 上是增函数 ”的【 】3gx2aA 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A。【考点】充分必要条件的判断，指数函数和幂函数的性质。【解析】p：“函数 在 R 上是减函数 ”等价于 ，xfa0a1a10a2又由条件 的限制，可分析得出 时， 恒负。x(,4)fg0 -、 x(,4) -fx就需要在这个范围内有得正数的可能，即4 应该比 两根中小的那个大。12、由 得 ，2m=314当 时， ，解得交集为空集，舍去。m1,0 343()=2+xf又

5、， 。01函数 在区间（0，1）内有唯一的零点。故选 B。3()2xf例 7. （2012 年山东省理 5 分）设函数 ，若 的图像与21fx=gax+bR,a0、 yfx图像有且仅有两个不同的公共点 A（x 1，y 1）,B(x 2，y 2),则下列判断正确的是【 】ygxA. 当 a0 B. 当 a0， y1y 20 时，x 1x 20 时，x 1x 20， y1y 20【答案】B。【考点】导数的应用。【解析】令 ，则 。21axb321axb(0)设 ， 。3()F()Fx令 ，则2axb0 23a要使 的图像与 图像有且仅有两个不同的公共点必须：yfygx，整理得 。322()a()b

6、()13aF324b7a取值讨论：可取 来研究。、当 时， ，解得 ，此时 ，此时a2b、32x112x, 12y, ；121x0y当 时， ，解得 ，此时 ，此时ab3、32x112x,12y,。故选 B。1212x0y例 8. （2012 年重庆市理 5 分）设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 的()fxR()fx(1)yxf图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【 】（A）函数 有极大值 和极小值 ()fx(2)f(1)f（B）函数 有极大值 和极小值 7（C）函数 有极大值 和极小值 ()fx(2)f(2)f（D）函数 有极大值 和极小值【答案】D。【考点】函数在某点取得极值的

7、条件，函数的图象。【分析】由图象知， 与 轴有三个交点， 2，1，2， 。(1)yxf ()=02()ff，由此得到 ， ， ， 和 在 上的情况：()fx(,)x(,2)2 2,11 (,)2 (,)y 0 0 0 1 0 ()fx 0 0 极大值 非极值 极小值 的极大值为 ， 的极小值为 。故选 D。()fx(2)f(fx(2)f例 9. （2012 年天津市理 5 分）已知函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点，则实数|1|=y=ykx的取值范围是 .k【答案】 。(0,1),4【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。【分析】函数 ，1)(2xxy当 时， ，128当

8、 时， ，1x1,12xxy综上函数 。,12xx，作出函数的图象，要使函数 与 有两个不同的交点，则直线 必须在蓝色或黄色区ykkxy域内，如图，此时当直线经过黄色区域时 ， 满足 ，当经过蓝色区域时， 满足)2,(B21k，综上实数 的取值范围是 。10kk014例 10. （2012 年福建省理 4 分）对于实数 a 和 b，定义运算“*”：a*bError!设 ，(21)*(fxx且关于 x 的方程 恰有三个互不相等的实数根 x1，x 2，x 3，则 x1x2x3 的取值范围是 ()fxmR【答案】 。(1 316 ，0)【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应

9、用。【解析】根据新运算符号得到函数为 ，2(1)()1(2)(1(21)*=xxxfx 、化简得： 。20=+xf 、如图，作出函数 和20xf、的图象，ym如果 有三个不同的实数解，即直线fx与函数 f(x)的图象有三个交点，如图，（1）当直线 过抛物线 的顶点 或 时，有两个交点；ym2+yx14、=0ym（2）当直线 中 时，有一个交点；104a 的取值范围是( ，1) 。故选 B。22例 12. （2012 年北京市文 5 分）函数 的零点个数为【 】1x2f=A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B。【考点】幂函数和指数函数的图象。【解析】函数 的零点个数就是1x2f=（即 ）解的个

10、数，即函数 和1x201x212gx=10的交点个数。如图，作出图象，即可得到二者交点是 1 个。所以函数 的零x1h=2 1x2f=点个数为 1。故选 B。例 13. （2012 年湖南省文 5 分）设定义在 R 上的函数 是最小正周期为 2 的偶函数， 是()fx()fx的导函数，当 时，0 1；当 且 时 ， ，则函()fx,x()fx0,()0xf数 在-2 ，2 上的零点个数为【 】sinyA .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】。【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。【解析】由当 且 时 ， ，知0,xx2()(0xf为减函数； 为增函数。,(),2ff时

11、()0,()2fxf， 时 ,又 时，0f(x )1，在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2 的偶函数，在同一坐标系中,作出 和 草图像如下，由图知 在-2 ，2 上的零点个数为 4 个。sinysiny例 14. （2012 年福建省文 5 分）已知 f(x)x 36x 29x abc ，abc，且 f(a)f(b)f(c) 0.现给出如下结论：f(0)f(1) 0；f(0)f(1)0；f(0)f (3)0；f(0) f(3)0.其中正确结论的序号是【 】A B C D【答案】C。【考点】函数的零点和单调性。【解析】对函数求导得：f(x) 3x 212x9，令 f(x)0，解得 x11

12、，x 23。11当 x3 时，函数 f(x)单调递增。因为 a0，且方程有解，故 a0，所以 a0,13。画出函数 f(x)的图象，如图所示显然 f(0)0 ，f (3)0。所以正确。故选 C。例 15. （2012 年重庆市文 5 分）设函数 在 上可导，其导函数 ，且函数 在 处取()fxR()fx()fx2得极小值，则函数 的图象可能是【 】()yxf（A） （B） （C ） （D）【答案】C。【考点】函数的图 象，函数单调性与导数的关系。【分析】由函数 在 处取得极小值可知，()fx2当 时， ，则 ，函数 的图象与 轴相交；=0f()0xf ()yxfx当 左侧附近时， ，则 ，函数

13、 的图象在 轴上方；x()f()f当 右侧附近时， ，则 ，函数 的图象在 轴下方。2()fxxyxx对照选项可知只有 C 符合题意。故选 C。例 16. （2012 年陕西省理 5 分）下图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，l水位下降 1 米后，水面宽 米.【答案】 。26【考点】抛物线的应用。12【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为 ，2xmy=当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，l抛物线过点（2，2， ）.代入 得， ，即 。xmy=()2-=-抛物线方程为 。y当 时， ，水位下降 1 米后，水面宽 米。3y-6x26三 、 数

14、 形 结 合 思 想 在 圆 锥 曲 线 问题中的应用： 解析几何的基本思想就是数形结合，在圆锥曲线解题中将数形结合的数学思想运用于对点、线的性质及其相互关系的研究，借助于图象研究曲线的性质是一种常用的方法。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例 1. （2012 年全国大纲卷理 5 分）已知 为双曲线 的左右焦点，点 在 上，12F、2:CxyPC，则 【 】12PF=12cos=FPA B C D4353445【答案】C。【考点】双曲线的定义和性质的运用，余弦定理的运用。【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。由 可知，221xyxy， 。abc

15、ab 。12=4F设 ，则 。1, Pk12PFk=根据双曲线的定义，得 。2a 。21, 42F=在 中，应用用余弦定理得 。故选 C。1P22111 3816cos=4PF13例 2. （2012 年全国课标卷理 5 分）设 12F是椭圆 的左、右焦点， 为直线2:1(0)xyEabP32ax上一点， 是底角为 30的等腰三角形，则 的离心率为【 】21FP()A1()B()C()D【答案】 。C【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。【解析】 12F是椭圆 的左、右焦点，2:1(0)xyEab 。21c 是底角为 30的等腰三角形，P 。26FD 为直线 ax上一点， 。

16、 。223Oc203=()cos6FDPac又 ，即 。 。故选 。21F23()a4eC例 3. （2012 年北京市理 5 分）在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线 的焦点 F，且与该抛物线相2y=4x交于 A、B 两点，其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60，则OAF 的面积为 【答案】 。3【考点】抛物线的性质，待定系数法求直线方程，直线和抛物线的交点。【解析】根据抛物线的性质，得抛物线 的焦点 F（1，0）。2y=4x直线 l 的倾斜角为 60，直线 l 的斜率 。ktan6=3由点斜式公式得直线 l 的方程为 。y3x1 。2 21=x3y=4y33 、1

17、4点 A 在 x 轴上方， 。3,2 OAF 的面积为 。1=例 4. （2012 年四川省理 4 分）椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ，当213xyFxmAB的周长最大时， 的面积是 。FABFAB【答案】3。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象，结合图象得到 的周长最大时对应的直线所在位置即可求出结论如图，设椭圆的右焦点为 E。由椭圆的定义得：的周长：FAB2aAB（ ） （ ）。4aE ， ，当 AB 过点 E 时取等号。0E 。44ABFaa即直线 过椭圆的右焦点 E 时 的周长最大，此时 的高为：EF=2，直线xmFABFAB。1xc把 代入椭圆 得 。 。2143y3

18、2当 的周长最大时， 的面积是 。FABFAB132EF例 5. （ 2012 年全国课标卷理 12 分）设抛物线 的焦点为 ，准 线为 ， ， 已2:(0)CxpylAC知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点；l,D（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；09BFDAB24F（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到,AmnnC距离的比值。,mn【答案】解：（1）由对称性知： 是等腰直角三角形，斜边BFD。 点 到准线 的距离 。2BDpl 2dAp15 ， 。42ABDS142Bd 。p ， 。0, 1F 圆 的方程为 。22(1)8xy（

19、2）由对称性设 ，则0(,Ap(0,)pF 三点在同一直线 上，,BFm点 关于点 对称，得： 。 ，即, 20(,)xBp20xp203x ，直线 ，整理得 。3(,)2pA32:myxp32xy直线 的斜率为 。3又直线 与 平行，直线 的斜率为 。nmn3由 得 ， 。2xpy2xxyp直线 与 只有一个公共点，令 ，得 。切点 。nC3xp3(,)6pP直 线 ，整理得3:()6ppyx06xy坐标原点到 距离的比值为 。,mn3:26【考点】抛物线和圆的性质，两直线平行的性质，点到直线的距离，导数和切线方程。【解析】 （1）由已知 ， 的面积为 ，根据抛物线和圆的性质可求得 以及09

20、BFDAB42p， ，从而得到圆 的方程。0, F216（2）设 ，根据对称性得 ，由 在准 线 上得到 ，从20(,)xAp20(,)xBpBl203xp而求得 的坐标（用 表示） ，从而得到直线 的方程和斜率。由直线 与 平行和直线 与 只B， mnmnC有一个公共点，应用导数可求出直线 的方程。因此求出坐标原点到 距离的比值。n,例 6. （2012 年北京市理 14 分）已知曲线 C： 22(5)x()y8(R)、（1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围；（2）设 m=4，曲线 c 与 y 轴的交点为 A，B（点 A 位于点 B 的上方） ，直线 与曲线 c 交

21、于不同kx4的两点 M、N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G。求证：A ，G，N 三点共线。【答案】 （1）原曲线方程可化为： 。2xy185m、曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆， ，是 。85208m2、75。23k由韦达定理得： 。MNMN2264x+=x=k1k1、设 。Gk44 、则 MB 的方程为 ， 。Mx6y=2M3x1k6、17AN 的方程为 。Nkx2y=欲证 A，G，N 三点共线，只需证点 G 在直线 AN 上。将 代入 ，得 ，M3x1k6 、Nkx2y=NMkx231=26即 ，即 ，NM6 N4x=0即 ，等式恒成立。2241k6=0k由于以上各步是可逆的，

22、从而点 在直线 AN 上。M3xG1k6 、A，G，N 三点共线。【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用，求直线方程，三点共线的证明。【解析】（1）根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于 0 得不等式组求解即得 m 的取值范围。（2）欲证 A，G，N 三点共线，只需证点 G 在直线 AN 上。故需求出含待定系数的直线 MB 和AN 的方程，点 G 的坐标，结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线 MB 和 AN 在 时横坐y=1标相等来证 A，G，N 三点共线或直线 AN 和 AG 斜率相等。还可用向量求解。例 7. （2012 年广东省理 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1

23、： 的离2(0)xab心率 ，且椭圆 C 上的点到 Q（0，2）的距离的最大值为 3.23e（1）求椭圆 C 的方程；（2）在椭圆 C 上，是否存在点 M（m ，n）使得直线 l：mx+ny=1 与圆 O：x 2+y2=1 相交于不同的两点A、B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1） ，可设 。23cea3,2(0)akck= ，故椭圆 C 的方程为 。2bk=- 21xyb设 为椭圆上的任一点，则 。(,)Pxyb23y=-18 222222|()43(1)36PQxyybyb=+-=-+=-+，当 时， 取得最大

24、值 ，即 取得最大值 。1y-2| 26|PQ2又椭圆 C 上的点到 Q（0，2）的距离的最大值为 3， ，解得 。236=b+1b所求的椭圆 C 方程为 。23xy（2）假设点 M（m，n）存在，则 ， 即 圆心 O 到直线 的距离21n23mnl。 。21dmn=2221| nABrdm+-=-=22211|OAB mSn-+222111mnn+-=-+-（当且仅当 ，即 时取等号） 。22nm-2=解 得 ，即 或 或 或 。23mn231= 62n 2-= 6mn-62n=-所求点 M 的坐标为 ，对应的OAB62622(,)(,)(,)(,)-、 、 、的面积为 。12【考点】椭圆的

25、性质，两点间的距离公式，二次函数的最大值，基本不等式的应用。19【解析】 （1）由 可得椭圆 C 的方程为 ，设设 为椭圆上的任23e213xyb(,)Pxyb-一点，求出 的表达式，一方面由二次函数的最大值原理得 的最大值 ，另一方面由2|PQ|Q236+已知椭圆 C 上的点到 Q（0，2）的距离的最大值为 3 列式求出 ，从而得到椭圆 C 的方程。b（2）假设点 M（m，n）存在，求出 的表达式，应用基本不等式求得 OAB 的面积最大时OABSm，n 的值和对应的OAB 的面积。四 、 数形结合思想在方程与不等式问题中的应用： 处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处

26、理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。特别地，线性规划问题是在约束条件（不等式）下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例 1. （2012 年陕西省理 5 分）设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线ln,0()21xfDx()yfx在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为 .(1,0) zy【答案】2。【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域 D，利用线性规划的方法求出目标函数 z 的

27、最大值即可： ， ，1,0()2xyf(1)f曲线 及该曲线在点 处的切线方()f(,)程为 。1yx=-由 轴和曲线 及 围成的封()yfx1=-闭区域为三角形。 在点 处取得最大值2z0,2。例 2. （2012 年浙江省理 14 分）已知 ， ，函数 abR3()42fxabx20（）证明：当 时，01x（i）函数 的最大值为 ；()f|2|ab（ii） ；|2|0xab（）若 对 恒成立，求 的取值范围1()f1，【答案】() 证明：() 21fxab当 b0 时， 0 在 0x1 上恒成立，21fxab此时 的最大值为： |2 ab| a；f 43fab当 b0 时， 在 0x1 上

28、的正负性不能判断，21fxab此时 的最大值为：f|2ab| a。max 2(0)1max()3bffba， （ ） ， ，综上所述：函数 在 0x1 上的最大值为|2ab| a。f() 设 ，gxf ，令 。342abx2106bgxabxa当 b0 时， 0 在 0x1 上恒成立，21g此时 的最大值为 ： |2 ab|a；x3gab当 b0 时， 在 0x1 上的正负性不能判断，21xmax()6bgga， （ ） 464ma23636babaa， ，|2ab |a。综上所述：函数 在 0x1 上的最大值小于( 或等于)|2ab|a，g即 |2 ab|a0 在 0x1 上恒成立。fx()

29、解：由()知：函数 在 0x1 上的最大值为|2ab|a，f21且函数 在 0x1 上的最小值比(|2ab|a)要大。f1 1 对 x 0，1恒成立， |2ab|a1。f取 b 为纵轴，a 为横轴则可行域为： 和 ，目标函数为 zab。021ba31b作图如下：由图易得：当目标函数为 zab 过 P(1，2) 时，有 max3z所求 ab 的取值范围为： 。13，【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。【解析】() ()求导后，分 b0 和 b0 讨论即可。() 利用分析法，要证 |2 ab|a0，即证 |2ab|a，亦即证fxgxf在 0x1 上的最

30、大值小于 (或等于)|2ab|a。g（）由（）知：函数在 0x1 上的最大值为|2 ab| a，且函数在 0x1 上的最小值比(|2 ab|a)要大根据1 1 对 x0，1 恒成立，可得|2ab| a1，从而利用线性规划知识，f可求 ab 的取值范围。例 3. （2012 年四川省理 5 分）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 原料 1 千克、A原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 原料 2 千克， 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元，每桶BAB乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 原料都不超过 12 千克。AB通过合理

31、安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是【 】A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元22【答案】C。【考点】线性规划的应用。【解析】设公司每天生产甲种产品 X 桶，乙种产品 Y 桶，公司共可获得 利润为 Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且 012Y画可行域如图所示，目标函数 Z=300X+400Y 可变形为Y= 这是随 Z 变化的一族平行直线，4zx3解方程组 得 ，即 A（4,4） 。12yxx4 。故选 C。max0680Z例 4. （ 2012 年天津市理 5 分）设 ， ，若直线 与圆mnR(1)+(2=0m

32、xny相切，则 的取值范围是【 】22(1)+y=x+n（A） （）3,(,13+,)（） （）2222【答案】D。【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法【分析】直线 与圆 相切，(1)+(2=0mxny22(1)+y=x圆心 到直线的距离为 ，, 22| |()(mnd 。1n又 ， ，即 。2m224+=nn2+4mn 。2()1n设 ，则 ，解得 。故选 D。=t2+14t(,2+2,)t例 5. （ 2012 年广东省理 5 分）已知变量 x，y 满足23约束条件 ，则 z=3x+y 的最大值为【 】21yxA12 B11 C3 D 1【答案】

33、B。【考点】简单线性规划。【解析】如图，作出变量 x，y 约束条件 的可行域，21yx解 得最优解（3,2）21yx当 时，目标函数 z=3x+y 的最大值为 。32y max1z=故选 B。例 6. （2012 年江西省理 5 分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 计，投入资金不超过 54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为【 】A50，0 B30，

34、20 C20，30 D0，50【答案】B。【考点】建模的思想方法，线性规划知识在实际问题中的应用。【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元，则目标函数为.(0.541.2)(0.36.9)0zxyxy线性约束条件为 ，即 。5.40xy53180xy24如图，作出不等式组 表示的可行域,易求得点 。504318xy0,53,20 ,45ABC平移直线 ，可知当直线 经过点 ,即 时,z 取得最0.9xy0.9zxy32,xy大值,且 （万元） 。故选 B。ma48z例 7. （2012 年湖南省理 5 分）已知两条直线 ： 和 ： ， 与函数1lym2l80+1ym

35、1l的图像从左至右相交于点 A，B ， 与函数 的图像从左至右相交于 C,D .记线段2logyx2logxAC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 , ,当 m 变化时， 的最小值为【 】来源%&: 中国* 教育#出版网abbaA B. C. D. 1628343【答案】B。【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。【解析】如图，在同一坐标系中作出 ， ， 图像，ym802+12logyx由 ，得 ，2log=x12,x由 ，得 。28l+8812134,m根据题意得882121,mab 。821882121mmba ， 。故选 B。847121272min()=8ba例 8. （

36、2012 年福建省理 5 分）若函数 图象上存在点(x，y) 满足约束条件 则实数 m302 xy的最大值为【 】25A. B.1 C. D212 32【答案】B。【考点】线性规划。【解析】约束条件 确定的区域为如图阴影部分，即30 2xym ABC 的边与其内部区域，分析可得函数 与边界直线2xy交与点（1，2） ，若函数 图象上存在点（ x，y ）3=0xyx满足约束条件，即 图象上存在点在阴影部分内部，则必有xym1，即实数 m 的最大值为 1。故选 B。例 9. （2012 年辽宁省理 5 分）设变量 x，y 满足 则 的最大值为【 】,1502yxyx3(A) 20 (B) 35 (

37、C) 45 (D) 55【答案】D。【考点】简单线性规划问题。【解析】如图，画出可行域：根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大，最大值为 55。故选 D。26例 10. （2012 年全国大纲卷理 5 分）若 满足约束条件 ，则 的最小值为xy、 103xy=3zxy 。【答案】 1。【考点】线性规划。【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（3，0）时，目标函数最大 ，当目标函数过点（0，1）时最小 。min=301z例 11.（2012 年全国课标卷理 5 分）设 满足约束条件： ；则 的取值范围为,xy,013xy2zxy 【答案】 。3,

38、【考点】简单线性规划。【解析】求 的取值范围，则求出 在约束条件下的最2zxy2zxy大值和最小值即可。作图，可知约束条件对应四边形 边边际及内OABC的区域： 。(0,),1(,)3,0OABC当 时， 取得最大值 3；当 时，3 xy2zxy1, 2xy取得最小值 。2z 的取值范围为 。xy,例 12.（2012 年安徽省理 5 分）若 满足约束条xy27件： ；则 的取值范围为 来源:21 世023xyxy【答案】 。,0【考点】简单线性规划。【解析】求 的取值范围，则求出 的最大值和最小值即可。作图，xyxy可知约束条件对应 边际及内的区域： 。ABC3(0,),(1,)2ABC当

39、时， 取得最大值 0；当 时， 取1, xyxy xyxy得最小值 。3 的取值范围为 。 【版权归锦元数学工作室，不得转载】3,例 13.（2012 年广东省理 5 分）不等式 的解集为 。21x【答案】 。12x-【考点】分类讨论的思想，解绝对值不等式。【解析】分类讨论：由不等式 得，21x当 时，不等式为 ，即 恒成立；2x-x21-当 时，不等式为 ，解得， ；021x综上所述，不等式 的解集为 。2x-另解：用图象法求解：作出图象，由折点参考点连线；运用相似三角形性质可得。28例 14.（2012 年江苏省 5 分）已知正数 满足： 则 的取值范abc， ， 4ln53lbcacb

40、， ， ba围是 【答案】 。7e、【考点】可行域。【解析】条 件 可化为： 。4ln53lbcaccb ， 354acbbe设 ，则题目转化为：=abxyc、已知 满足 ，求 的取值范围。xy、3540xye、yx作出（ ）所在平面区域（如图） 。求出 的切、 =xye线的斜率 ，设过切点 的切线为 ， e0Pxy、 0m则 ，要使它最小，须 。0=ymex 的最小值在 处，为 。此时，点 在 上 之间。0xy、e0Pxy、=xe,AB当（ ）对应点 时， ，xy、C=452731xyy29 的最大值在 处，为 7。yxC 的取值范围为 ，即 的取值范围是 。 e、ba 7e、五 、 数形结

41、合思想在三角函数问题中的应用： 有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例 1. （2012 年四川省理 5 分）设函数 ， 是公差为 的等差数列，()2cosfxxna8，则 【 】125()()fafa233()faA、 B、 C、 D、02162182136【答案】D。【考点】等差数列性质，三角函数性质。【解析】 ， ，()2cosfxx125()()fafa 。coscs51 a ）（ 是公差为 的等差数列，n8 ， 。125310aaa（ ） =

42、125coscos0a ，解得 。3032,8 。故选 D。2233()16fa关于 ， 可化为 。125coscos0a 25coscosaa 312cosa由 ，3 3 330cs1cs0a a设 ，作图可得二者交点在 处：12o,50fxxgx 0fxg30例 2. （2012 年上海市理 5 分）设 25sin1a， nnaaS21，在 1021,S 中，正数的个数是【 】A25 B50 C75 D100【答案】 D。【考点】正弦函数的周期性。【解析】对于 （只有 )， 都为正数。1250ka、25=0a125kS当 时，令 ，则 ，画出 终边如右，649k25kk其终边两两关于 轴对称，即有 ，x )50sin(si 1111sin+i24+26+sin7+sin2kS k iisini3i50650k 其中 =26,27,49，此时 。kk50 ， ， 。150k24)( )sin(k从而当 =26,27,49 时， 都是正数。kS又 。50495049490Sa同上可得，对于 从 51 到 100 的情况同上可知 都是正数，故选 D。kkS例 3. （2012 年浙江省理 14 分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 已知ABCBCabc