1、一、 填空题（每空 2 分，满分 14 分）：1、虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模还是有规律可循的，其基本的四个步骤按逻辑顺序可以分为、 、 、 。问题分析与假设，建立模型与求解模型，模型检验与修改，模型完善与应用；2、 在市场经济需求和供应关系中，设某地区某种商品第 期的市场需求量 (万吨)、nnx市场供给量 (万吨)及价格 （万元）等之间满足 ，那么nynq 1310,20nnxqyq该商品的供求关系是否能稳定？ ；均衡价格是 ；稳定的供求数量是 。解答 能稳定 30 万元，10 万吨114040,3,1033nnnnnnqxqxy二、简答题（每小题 7 分，满
2、分 14 分）：1、论述最小二乘法原理及超定方程组概念2、简述用最小二乘法求解超定线性方程组的过程及结论。最小二乘法让(采样的点)跟(拟合的曲线) 的距离)总体和)最小.最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。超定方程组 属于方程个数大于未知量个数的方程组。超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求超定方程组的最小二乘解的问题。例如，如果给定的三点不在一条直线上，我们将无法得到这
3、样一条直线，使得这条直线同时经过给定这三个点。也就是说给定的条件（限制）过于严格，导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。三、程序翻译题（每小题 6 分，满分 12 分）： 将下列 Matlab 程序翻译成为数学模型或数学问题.1、x = 0:0.6:3*pi;y1 = sin(x); 得分得分得分y2 = cos(x);y3 = sqrt(x);hold onplot(x,y1,b-), plot(x,y2,r*), plot(x,y3,g)1、x = 0:0.6:
4、3*pi; %横坐标点列，x 为区间0,3pi间距为 0.6 的等分点y1 = sin(x); %正弦点列y2 = cos(x); %余弦点列y3 = sqrt(x); %开平方点列hold on %保持在同一坐标系plot(x,y1,b-), plot(x,y2,r*), plot(x,y3,g) %画正弦、余弦、开平方函数图像2、c=300;1000;300;-200; %目标函数系数A=2,3,1,0;3,4,0,0;0,0,1,0; b=16;24;5; %不等号约束条件系数矩阵Aeq=0,-2,1,1;1,1,1,1;beq=0;10; %等号约束条件系数矩阵xLB=0;0;0;0;
5、 xUB=; % x 取值范围界约束矩阵x,min=linprog(-c,A,b,Aeq,beq,xLB,xUB); %线性规划最小化问题求解x=x,max=-min %输出求解结果（极大点、极大值）解：数学模型是Max 300x1+1000x2+300x3-200x42x1 +3x2 + x3 =0;附 运行结果 x =1.0000; 3.0000; 5.0000; 1.0000max = 4.6000e+003四、生产计划问题（10 分）：某工厂在计划期内要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗，如表所示。该工厂每生产一件产品可获利 2 元，每生产一
6、件产品可获利 3 元。问应如何安排计划使该工厂获利最多(要求建立数学模型，用图解法求解，编写 Matlab 求解程序 )？并再回答：为使获利更多，是否有必要追加 B 原料？是否有必要追加台时数？ 可用数量设备 1 2 8 台时原材料 A 4 0 16kg原材料 B 0 4 12kg解：设 分别表示在计划期内产品、的产量，则1,2x目标函数 12ma3zx满足约束条件 (4 分)12846,0x图解法解得 。即最优生产方案是产量产品4 件，2 件，可获最大*12()(4,1z利润 14 元。结果表明，台时数及 A 原料无剩余，消耗殆尽，值得追加这些资源。而 B 原料仍有剩余，不必追加。(4 分)
7、编写求解的 M 程序如下: (2 分)f = 2,3;A = 1,2;4,0;0,4;b = 8;16;12;Aeq=;beq=;vlb = zeros(2,1);vub=;x,fval = linprog(-f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);x=x,z=-fval得分五、任务分配问题（10 分）： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定两台车床的可用台时数分别为 800 和 900，三种工件的数量分别为 400、600 和 500，且已知用这两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又
8、使加工费用最低？(要求建立数学模型，编写 Matlab 求解程序)单位工件所需加工台时数 单位工件的加工费用（元）车床类 型 工件 1 工件 2 工件 3 工件 1 工件 2 工件 3可用台时数甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 800乙 0.5 1.2 1.3 11 12 8 900解 设在甲车床上加工工件 1、2、3 的数量分别为 x1、x2、x3，在乙车床上加工工件 1、2、3 的数量分别为 x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型： 654321 8093minxxxz (5 分)425361234560. .8.90,ixstxmn139128zX 903.5.0.40，50
9、64101X0654321xx编写 M 文件 xxgh3.m 如下:得分f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 00 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1;beq=400 600 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)(5 分)结果:x =0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval =1.3800e+004即在甲机床上加工
10、600 个工件 2,在乙机床上加工 400 个工件 1、500 个工件 3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为 13800(元) 。六、席位分配问题（10 分）：某学校共 1000 名学生，235 人住在 A 楼，333 人住在 B 楼，432 人住在 C 楼。学生们要组织一个 10 人的自律部，试用两种不同的科学公平的席位分配模型确定各宿舍楼在自律部的席位。若自律部从 10人增至 11 人，请再次确定新的席位分配名额。解：比例加惯例分配法：(3+2 分)10 个席位 11 个席位宿舍楼学生人占总数比例 比例分配席位 比例惯例分配结果 比例分配席位 比例惯例分配结果A 235 0.235 2
11、.35 3 2.585 2+0=2B 333 0.333 3.33 3 3.663 3+1=4C 432 0.432 4.32 4 4.752 4+1=5合计 1000 1 10 10 11 10+2=11比例加 Q 值比较分配法：Q=P*/(N*(N+1) (3+2 分)得分10 个席位宿舍楼 学生人 占总数比例比例席位 初次分配 Q 值 Q 值法分配结果A 235 0.235 2.35 2 9204 2+0=2B 333 0.333 3.33 3 9241 3+0=3C 432 0.432 4.32 4 9331 4+1=5合计 1000 1 10 9 9+1=1011 个席位比例分配席位
12、 初次分配 初次 Q 值 初次 Q 值法分配结果 再次 Q 值 再次 Q 值法分配结果2.585 2 9204.2 2+0 9204.2 2+0+0=23.663 3 9240.8 3+0 9240.8 3+0+1=44.752 4 9331.2 4+1 6220.8 4+1+0=511 9 9+1=10 9+1+1=11七、消费选择问题（10 分）： 设二种商品的价格分别为 4 元、2 元，某消费者共用 120 元购买其数量分别为 时，效用函数为12,x.试求出消费者最佳的购买数量 .（要求建立此问题数学模112124(,)Uxx 12,型，并求解）解答: (5 分)112124max,.4
13、0stxx1123 12121212(,)()(40)L xx , , Max U=15/4(5 分)0(,)0ix24x125,30x八、存储问题（10 分）：某创业者长期采用的是自产自销经营模式，其得分得分营销的商品生产工艺复杂，每次开工都需工艺调试费 ，只有调试完毕才能连续生产；0c由于生产速率 k 大于销售速率 r，必须采用间歇性生产以免产品过度存储积压，设 为1c单位存储费率， 为单位产品的生产费。试以单位时间综合费用最小为目标确定最优间2c歇周期 T 及最佳的最大库存量 Q ；给出这样的策略及示意图；再当时给出具体的计算结果。最后分别讨论 和 时的情012,(,413)rkc kr
14、况。解：如图示，在一个生产周期内，共产生三种费用：1、生产调试费w1= 0c2、存储费： 20101(*)()*2wTQcTQc3、产品生产费： 3*wrTc将以上三种费用都用 T 来表示： 00,rkrk0()*()rQkrk故在一个周期间隔 T 内，费用总和为：1230010120 2()(*)()*2*wwcQcTQcrTcrcck由于生产是连续的，应追求长效经济规律，将模型建为：(模型 4 分，图 1 分)012()min(),0,)TcrcTwk令 012(),dcrkT得到最优生产周期： ，*012()kcTr此时最佳最大库存量为：* 012()TkrcQ对应的 * 01()2()
15、minwTkrc当 时， (算例 4 分，极限 1 分)012,(,413)rkc*,(4,)Q当 时， ，00112()kcTrr， （转化为输出速度 为有限、生产速度*00112Qkcc01wcr是无限大的情形）k当 时， ，此时不需要存储了。r,()TQT九、网络流问题（10 分）：含权图中所标数据为距离。求 A 到 L 的最短路线及相应路长解：A-B-M-E-D-L 线路总长=1+4+2+1+3=11(5+5 分)A-B-M-E-G 线路总长=1+4+2+1=8A-B-C-K 线路总长=1+5+4=10得分A-B-N 线路总长=1+3=4A-J 线路总长=3A-I-H-F 线路总长=4
16、+1+5=10十、给定节点用多项式拟合：x=1:1:30;y=9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1;a1=polyfit(x,y,1) %一次多项式拟合a2=polyfit(x,y,2) %二次多项式拟合a3=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合x=0,1,2;y=0,1,4; %给定节点a1=polyfit(x,y,1), a2=polyfit(x,y,2) %一次 二多项式拟合a1 = 2.0000 -0.3333 %一次多项式拟合系数（降幂排列）a2 = 1.0000 0.0000 -0.0000 %二次多项式拟合系数（降幂排列）
