1、1数论在其他专题中的应用第十二讲一、数论在计数中的应用二、数论在数字谜中的应用三、数论在几何问题中的应用四、数论中的游戏策略五、数论中的行程六、数论中的构造与论证七、余数问题的综合应用一、数论在计数中的应用例 1在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且所有数字之和为 13 的数共有多少个？2例 2在 1，2，3，7，8 的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有 种。二、数论在数字迷中的应用例 3能否把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 按合适的顺序填在下图第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？能，就写出一种可能；不能就说明原因。3例 4能否将 1 至 15 排成
2、一行，使得任意相邻两数之和都为质数？三、数论在几何中的应用例 5如图，一个五边形是由三个直角三角形组成，已知图形中七条边的长都是整数，最小的直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，求这个五边形的面积。4四、数论中的游戏策略例 6有一天，灰太狼出门给红太郎抓羊，结果这一次出乎预料，灰太狼抓到了 40 只羊给红太郎吃，其中就有喜羊羊。红太郎不想一下都吃了，于是她想了一个办法：先吃一只，然后隔一只吃一只，吃到最右边再回到左边接着吃，仍然是先吃一只，然后隔一只吃一只，最后剩下的一只羊就不吃了，跟着灰太狼和红太郎一起生活。如果我们把所有的羊从左到右编号1，2，3，40，喜羊羊站在几号位就保证不被吃掉了
3、呢？例 7博弈论中有这样一道趣题，甲乙二人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？你知道一定获胜的办法么？5五、数论中的行程问题例 8如图，甲、乙两只蜗牛同时从 A 点出发，甲沿长方形 ABCD 逆时针爬行，乙沿AOD 逆时针爬行。若 AB12，BC14，AO DO8，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛第一次同时到达 D 点时，它们所爬过的路程的和为多少？六、数论中的构造与论证例 9能否将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 填在下图 33 的方格表中，使横向和竖向相邻两数之和都是质数？如果能，请给出一种解
4、法；如果不能，请说明理由。6例 10任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是 10 的倍数。例 11取 100 个自然数，从中是否可以找到若干个数，可以是 1 个，也可以是多个，使得找到的这些数的和是 100 的倍数？七、余数问题的综合应用例 12在 12009 的整数中，有多少个 m 使 2010m2009 m能被 11 整除。7测 试 题1请构造 5 个质数，且它们是公差为 12 的等差数列。2(2007 年第十二届全国“华罗庚金杯 ”少年数学邀请赛决赛) 如图所示，两个正方形 和 ABCDEFG的边长都是整数厘米，点 在线段 上，且 ，线段 厘米，则五边形 的面ECDE5CF积
5、等于_平方厘米。GFEDCBA3如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字。求使算式成立的汉字所表示的数字。208学数 学爱 数 学喜 爱 数 学4狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 米，黄鼠狼每次跳 米，它们每秒钟都只跳一次。142324比赛途中，从起点开始每隔 米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多3128少米?85有 100 个人站成一排，从左到右依次进行 1，2 报数，凡是报 1 的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行 1，2 报数，最后留在队伍中的人获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？答 案15，17，29，41，532713 ， ， ，1喜 4爱 6数 7学440.5 米564
