1、数论初步(一)整数的整除性定义：设 a，b 为二整数，且 b，如果有一整数 c，使 abc，则称 b 是 a 的约数，a是 b 的倍数，又称 b 整除 a，记作 b|a.显然，能整除任意整数，任意整数都能整除.性质：设 a，b，c 均为非零整数，则若 c|b，b|a，则 c|a.若 b|a，则 bc|ac若 c|a，c|b，则对任意整数 m、n，有 c|manb若 b|ac，且(a，b)1，则 b|c证明：因为(a，b)1则存在两个整数 s，t，使得asbt1 ascbtcc b|ac b|asc b|(ascbtc) b|c若(a，b)1，且 a|c，b|c，则 ab|c证明：a|c，则 c
2、as(sZ)又 b|c，则 cbt(tZ)又(a，b)1 sbt(tZ)于是 cabt即 ab|c若 b|ac，而 b 为质数，则 b|a，或 b|c(ab)|(a nb n)(nN)，(ab)|(a nb n)(n 为奇数)整除的判别法：设整数 N 121naa.2|a 1 2|N ， 5|a 1 5|N.3|a 1a 2a n 3|N9|a 1a 2a n 9|N.4| 4|N25| 25|N12.8| 8|N3a125| 125|N127| | 7|N4n123a11| | 11|N1a11|(a 2n1 a 2n1 a 1)(a 2na 2n2 a 2) 11|N13| | 13|N4
3、1n123推论：三个连续的整数的积能被整除.例题：1.设一个五位数 ，其中 db3，试问 a，c 为何值时，这个五位数被 11 整除.acb解：11| d 11|acdba即 11|c3 c81a9，且 aZ2.设 72| ，试求 a，b 的值.673a解：7289，且(8，9)1 8| ，且 9| 673 8| b673且 9|a6736即 9|22a a53.设 n 为自然数，A3237 n632 n855 n235 n，求证:1985|A.证明：19853975A(3237 n632 n)(855 n235 n)(3237632)u(855235)v(u，vZ)5521u5124v5|A
4、又 A(3237 n855 n)(623 n235 n)(3237855)s(623235)t(s，tZ)3976s397t 397A又(397,5)13975A即 1985A4.证明：没有 x，y 存在，使等式 x2y 21995(x，yZ)成立.证：假设有整数 x，y 存在，使 x2y 21995 成立。x 2，y 2被除余数为或.x 2y 2被除余数为，或.又1995 被除余数为.得出矛盾，假设不成立.故没有整数 x，y 存在，使 x2y 21995 成立.费马小定理：若 p 是素数，(m，p)1则 p|m p1 15.试证：9999 能被 13 整除.12 个证明：1019,10019
5、9,10 1219999.12 个又（10,13）=113(10 131 1),即 13(10 121)13 9999.12 个6.请确定最小的正整数 A，其末位数是 6，若将未位的 6 移至首位，其余数字不变，其值变为原数的 4 倍.解：设该数为 A ，其中 a1612n1a令 x 2n1a则 A x106于是 4A 610 n1 x即有 410x24610 n1 xx 3)40(2 (2，13)1，x 是整数 13|(10 n1 4)n1，2 时，10 n1 410 显然不满足条件n3 时，10 n1 496 不满足条件n4 时，10 n1 4996 不满足条件n5 时，10 n1 499
6、96 不满足条件n6 时，10 n1 499996 满足条件 x 153843962即 A1538467.一个正整数，如果用进制表示为 ，如果用进制表示为 ，请用 10 进制表示这个数.abccba解：由题意知：0a,c4,0b4,设这个正整数为 n,则n a7 2b7c, n= =c52b5aabc49a7bc25c5ba48a2b24c0b12(c2a)12b,又0b4b0, c2a当 a1,c2 时，n51当 a2,c4 时，n102练习：1.证明：设 N1988 19881986 1986，则 1987N2.设 n 是自然数，求证 n5n 可被 30 整除.3.请确定最小的正整数 A，其末位数为 2，若将末位数 2 移至首位，其余数字不变，则是原数的 2 倍.4.一个正整数，若用 9 进制表示为 ，若用 7 进制表示为 ，请用 10 进制表示此数.abccba5.五位数 能被 4 整除，最末两位组成的数 能被 6 整除，求此五位数.67a
