1、武汉大学数学与统计学院20052006 学年第二学期线性代数 （A 卷）学院 专业 学号 姓名 注：1.本试题供线性代数 B（即工科 54学时）使用；2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。一、计算题（每小题 6 分，4 题共 24 分）： 1、设五维向量， ， ，13,209,21,72,32,1406,求向量组 的一个极大无关组。2、设有四阶方阵，121034A求行列式 的值。A3、判定二次型 2212313121323(,)66fxxxx的正定性。4、已知 ， 求 。aAbc206A二、解答题（每小题 12分，3 题共 36分）：1、已知，且 ，10A2
2、ABI其中 是 3阶单位矩阵，I(1) 求矩阵 ；B（2）令，242CABA计算 的伴随阵 。C*2、给定 的两组基3R123(,0)(,10)(1,),定义线性变换： (),2ii试求：（1）求由基 到基 的过渡矩阵;321,321,（2）求线性变换 在基 下的矩阵。,3、已知，123121323(,)fxxx（1）求一个正交变换 ,把二次型 化为标准形。XPYf（2）在 的条件下，求二次型 的最大值和最小值。x三、证明与讨论（3 题共 40分）1、设有线性方程组,12312301x问 取何值时，方程组有惟一解、无解或有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。（15分）2设 为 矩阵，证明如果
3、 ，那么An2AI()()rrIn其中 为 的单位矩阵， 为矩阵的秩。（10 分）I3、设，201Ax为实数，试讨论 为何值时，矩阵 可与对角阵相似？（15 分）xx线性代数 B（即工科 54学时）参考解答：一、计算下列各题：1、解：由 及 ，则知 即为一极大无关组。092106 ， 123,R（ ） 123,2、解： ， ，所以： 。2A40012360A3、解： 的矩阵 ，顺序主子式为 ， ，f2161a12，12036根据正定性的判定定理知 为正定二次型。f4、解： ，则1aAbc206 206111AaaaAbbbccc个= 。205111abcaabc()个 相 乘 aabcbc5(
4、)二、解答下列各题：1、解：(1)由 ，得 ，而 因此矩阵 可逆，且IABBIA10,A，所以由 ，得 ，故 。1A01 1102B（2）注意 242(2)()(),（且 ，()B（0,()AB032,A（480即 ，且 。242CA=4801*2160C2、解 （1）取 的另一组基 ，则由基 到基3R ),(),0(),1(32eee 321,e与 的过渡矩阵 及 分别为321,321,PQ1210,0Q再由 可解得由基 到基 的过渡矩阵为X),(),(321321321,321,0P（2） ，故 在基 下的矩阵仍为 X。123123123(,)(,)(,.)X321,3、解：（1） ， 的
5、特征多项式为0AA令 ，得1()()2,f()0f123, ，对 解线性方程组 基础解系为：12,12123310,xox，正交规范化得：12(,0)(,0)12(,0)(1,) 6对 解线性方程组 ， 得基础解系为：3， 232xo1320x，规范化得： ，3(1,)3(1,)则所求之一正交变换矩阵 ， 变换之下的标准形为： 。0P-2631- 2213fyy（2）由于正交变换保持向量的长度不变，则 ，1XY，注意： ，则222213133fyyyy2301y，3即 的最大值为 1，最小值为 。比如令 ，有 令 ，有(0,)min,f(,0)Y。maxf三、证明题与讨论题：1、解：通过对增广
6、阵的讨论可得如下结论：(1)当 且 时， 方程组有唯一解；2()3,RAB(2)当 时， ， ，该情形方程组无解；()12(3)当 时 此时方程组有无限多个解。而 2()2,RAB，101011332,0B:由此得 ，即 ， 。132x12320xc()cR证 因为r（A+I）+r（A I）r（A+I+AI）=r(A)，故 r（A+ ）+r（A ）n20,()AIn又因为 2)IIAOr（A+ ）+r（A ）n 即证 r（A+ ）+r（A ）=nI I3、解： ，得 。201x2()x1,2x、 31）当 且 时， 有 3 个相异特征值，则 有 3 个线性无关的特征向量，此时 一0 A定可以对角化。2）如果 ，则 ，1、 2=,1注意到 时，由 ， ，1、 =AI001:1RAI则由 恰给出 的两个线性无关的特征向量。123001x而当 时，由 ， ，3AI101220:2RAI则由 恰给出 的一个特征向量。12310x再由上题知，此种情形下， 的三个特征向量线性无关，即 也可以对角化。AA3）如果 ，则 ，0x2、 3 01,注意到 时，由 及 知，即 恰有一个特征向量。23、 =13x2R而当 时，由 及 知，11001:AI123100x恰给出 的一个特征向量，从而，此情形下 不具有 3 个线性无关的特征向量，则 不可以对角化。AAA
