1、课堂达标(四十四) 双曲线A基础巩固练1“m0，解得m10，故“mb0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，所以a4b4a4，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.答案A4过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由题意知c4，A(a，b)，所以(a4)2b216，又a2b21
2、6a2，b212；所以双曲线的方程为1，故选A.答案A5(2018广西名校猜题卷)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为()A.B. C2D.解析如图因为2，所以A为线段FB的中点，24，又13，2390，所以124223.故239032230160.e2124e2.答案C6(2018山东省枣庄十六中4月模拟试卷)已知双曲线C1：y21，双曲线C2：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实
3、轴长是()A32 B16 C8 D4解析双曲线C1：y21的离心率为，设F2(c,0)，双曲线C2一条渐近线方程为yx，可得|F2M|b，即有|OM|a，由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，且，解得a8，b4，c4，即有双曲线的实轴长为16.答案B7如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案x218(2018海南海口4月调研)过双曲线1(a0，b0，b0)的离心率为，点(，0)是
4、双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解(1)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，解得c3，b，双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB| .B能力提升练1(2018三明质检)已知P是双曲线y21上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则的值是()A B.C D不能确定解析令
5、点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是y0，y0，所以可取|PA|，|PB|，又cosAPBcosAOBcos 2AOxcos，所以|cosAPB.答案A2(2018山西太原二模)已知双曲线y21的右焦点是抛物线y22px(p0)的焦点，直线ykxm与抛物线交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是AB的中点，则OAB(O为坐标原点)的面积是()A4 B3C. D2解析双曲线y21的a，b1，c2，右焦点为(2,0)，则抛物线y22px(p0)的焦点为(2,0)，即有2，解得p4，即抛物线方程为y28x，联立直线ykxm，可得k2x2(2km8)xm20，判别式(2km8)24k2m20
6、，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1x2，点M(2,2)是AB的中点，可得4，且22km，解得k2，m2.满足判别式大于0.即有x1x24，x1x21，可得弦长|AB|2，点O到直线2xy20的距离d，则OAB(O为坐标原点)的面积是d|AB|22.故选：D.答案D3(2018日照模拟)已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_解析设F2(c,0)(c0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0，PQx轴，|PQ|.在RtF1F2P中，PF1F230，|F1F2|PF2|，即2c.又c2a2
7、b2，b22a2或2a23b2(舍去)a0，b0，.故所求双曲线的渐近线方程为yx.答案yx4(2018咸阳模拟)已知F1，F2为双曲线1(a0，b0且ab)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点给出下面四个命题：PF1F2的内切圆的圆心必在直线xa上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线xb上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；PF1F2的内切圆必通过点(a,0)其中所有真命题的序号是_解析设PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于A，B，与F1F2切于M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|PF2|2a，
8、设点M的坐标为(x,0)，则由|PF1|PF2|2a，可得(xc)(cx)2a，解得xa，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴由以上分析易知，正确，错误答案5(2018湛江模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解(1)双曲线的渐近线为yx，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足()1，x0y0.依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方
9、程得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2.又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得：c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0.e1，e，双曲线的离心率为.C尖子生专练已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故双曲线C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k21且k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2，即x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.8
