1、数值分析实验指导- 1 -第一章 绪论1.1 主要内容误差的来源与分类：计算误差，截断误差（方法误差）误差和误差限的概念及计算：绝对误差，绝对误差限，相对误差，相对误差限.有效数位，有效数字的判断代数运算结果的误差，误差的传播等概念 . 1.2 例题分析例 1 近似值 45.0 的误差限为（ ） 。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.解 因 ，它为具有 3 位有效数字的近似数，245.01其误差限为 。所以，答案为 B.32100例 2 已知 求近似值 的误差限，准确数字或有效*.4596,x .42x数字。解 由 误差限为 .3.121, 310因 ，由定义知 具
2、有 4 位有效数字，准确到 位的近似数。0,mnx例 3 已知近似数 求 的误差限和准确数位。.864,0.35,ab2ab解 因 ， ，12（ ） 1（ ）321.602b 所以 准确到 位。220,b20则 准确到 位。()()1,aaab211.3 数值实验建立积分 的递推关系，并在计算机上实现解题105nnxId(0,2)提示：由 。建立下列两种递推公式：1110nnxd （A） （B） ，讨论数值计算的稳定性0ln65I11205.873nnII数值分析实验指导- 2 -第二章 插值法2.1 主要内容设函数 在 上连续。已知它在 上 个互异节点 处的()fx,ab,ab1n01,nx
3、值 ，如果多项式 在点 上满足 ，则称01,ny ()pxi()iipxy是函数 的插值多项式。()p一、拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法。拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和 次插值多项式n拉格朗日插值多项式的公式为： 01 00()()()()()nnn nii iixLxlylxlxylxyy ， jiji其中基函数的公式为： 0111().().()() ,(12,.)iiniii i iixxxxl n 余项公式为 ),()()!1()() baxnfxPfxRnnn 其 中拉格朗日插值多项式计算步骤: 准确计算插值基函数，并化简； 代入
4、拉格朗日插值多项式公式正确求出插值多项式； 求出结果后，可以用 进行验算；()(,)niiLxyn 根据余项公式进行误差估计，如果要估计误差，须知道函数的表达式。二、牛顿插值多项式牛顿插值多项式是一种重要的计算插值多项式的方法。在学习时,应掌握节点数较少的牛顿插值多项式的计算。牛顿插值多项式公式为00101012011()(),(),()nnnNxfxfxxfxx 其中 k 阶差商的计算公式为： ),.(),.(,.,. 012210 nkxffxf kkk 牛顿插值多项式的余项公式为 ) ( ) , ,., , ( ) ( ) ( ) ( 1 0 xxx xxfxN xfxR nnn 牛顿插
5、值多项式的计算步骤:（1）利用 阶差商的计算公式准确计算各阶差商，并化简k（2）代入牛顿插值多项式公式正确计算出插值多项式数值分析实验指导- 3 -（3）求出结果后，可以用 进行验算()(1,)niiNxyn在计算插值多项式时, 牛顿插值多项式的计算量比拉格朗日插值多项式的计算量要小。因为应用牛顿插值多项式时，可以避免拉格朗日插值多项式在计算时,每增加或改变节点时需要重新计算插值基函数的缺陷，而只需要在已知的多项式基础上增加一项即可。三、埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式又称为带导数的插值多项式,即在节点处既要求函数值和已知函数值相等又要求导数值和已知导数值相等，且埃尔米特插值多项式的精度较
6、高。(1)两点三次埃尔米特插值多项式公式为： 2 20 011301 02101()2)()( )xxxHxyy (2)一般埃尔米特插值多项式公式为： 2221 1()(2)()()n nniiiiixylxlxyxl 其中 和 是拉格朗日插值多项式的基函数及其导数。ili埃尔米特插值余项公式为： (2)22121(,)()()!nnnfRfxfHxx四分段插值多项式（1）分段线性插值多项式公式1,0,)( 1111 nixyxyxLiiiii 分段线性插值多项式余项公式，其中2()()8RfMh2 1,0ma(),axiixbinfh(2) 分段三次埃尔米特插值多项式分段三次埃尔米特插值多项
7、式公式为1,0,)()( )(121()1 2121 2111 nix xxyyxxHi iiiiiii iiiiiiiii 分段三次埃尔米特插值多项式余项公式为42()()8RxfHMh其中 44 1,0ma,aiixbinMx数值分析实验指导- 4 -2.2 例题分析例 1 已知 用线性插值计算 ，并估计误差。,42,93,5解 取最接近 的两点 为插值节点，两个插值基函数分别为5x01x)()(100l )4(1)(01xxl故有 01236955Lxlyl.56)(51下面估计误差 321(),()4fxfx因为 249maxM所以 221 1(5)()()5(9)(54)9! 6MR
8、Lf1 2 3例 2 已知 数表fx1 3 7 求抛物（二次）插值多项式及 近似值3(2f解 作差商表： y一阶差商 二阶差商1 12 3 23 7 4 1代入牛顿插值多项式得：)(1)(1)(22 xxxXN故 24f0 1 2例 3 已知的函数表8 -7.5 -18求在0，2内的零点近似值解：因为 关于 严格单调减少，用反插值法求 零点的近似值比较简单，具体iyix()fx作法如下：先作反函数表 X 8 -7.5 -18Y 0 1 2将节点 及对应函数值 代入二次拉12,7.5,8xx012,yy格朗日插值多项式，再令 ,得数值分析实验指导- 5 -2(07.5)18(08)1(08)7.
9、53) 20.457.5.)1L于是得 在 内零点fx,2*2.4xfL值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在 上严格单调情况下，才能使,ab用反插值方法，否则可能得出错误结果。x 1 2y 2 3例 4: 求满足条件y/ 1 -1试用两点三次埃尔米特插值求埃尔米特插值多项式解 【思路】根据所给条件代入两点三次埃尔米特插值多项式公式。 5982)1(2)(21)(3)()( )(21() 232 201100 20121103 xxxxxxyxyxH2.3 数值实验给定 , ,取节点 ,( )，构造牛顿2()1fx5x5kx0,1k插值函数计算点 处 的值，并绘制图形与0.(,12)jtj
10、1(Nx比较。 f数值分析实验指导- 6 -第三章 函数逼近与数据拟合3.1 主要内容设函数 在区间 连续。已知它在 上 个互异的点 处()fx,ab,ab1n01,nx的值 。构造一个反映函数值 变化规律的01,ny ()0,)imiypx)次多项式 ，使得它在 处的函数值 与观测值 的偏差 的(m()mpy(mipiu平方和最小，即,使 取最小值。称 是函数2200)(niiiux)x的最小二乘多项式， 称为 的权函数。()fx(f最小二乘多项式的计算方法:1根据已知数据的分布情况选择拟合多项式 ()mypxn2将数据代入法方程组中,求出拟合多项式的系数和具体形式.3. 还可以利用该多项式
11、估计其它点的函数拟合值3.2 例题分析例 1测得一组数据如下表，试用直线拟合这组数据 ix1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1y1.7 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21【思路】利用所给数据计算出最小二乘多项式法方程组所需要的数值，代入法方程组求出相关的参数，再写出拟合方程。解：列表法计算Iiixyi 2ixixy012345671.41.51.61.71.81.92.02.11.71.791.881.952.032.102.162.211.962.252.562.893.243.614.004.412.3802.6853.0083.
12、3153.6453.9904.3204.64114.00 15.82 24.92 27.984代入法方程组 ，0110845.82,.79,.31675974aa得则所求直线拟合方程为 .30.yx求解矛盾方程组: 矛盾方程组是指一组无精确解的方程组。求解矛盾方程组就是求出使每个方程组的偏差的平方和最小的解的过程。数值分析实验指导- 7 -另法：也可以将计算的相关数据代入公式算出 01 0122(1).79,.7365niixyxyaayx 直线拟合方程为 .365.yx1 2 3例 2 已知数表件3.8 7.2 10求最小二乘一次式。解: 设最小一次式为 ，由系数公式得：101()ga220
13、 03,6,4i isnsxsx2100,8.i ifyfy于是有法方程组 13264.a解法方程组得 ， 。所以所求最小二乘一次式*1.*0.81()0.831gxx例 3 求下列矛盾方程组的最小二乘解:127x解：令 22212111(4)()()xxx（ ）由 ，得法方程组 12230(6)x 2136解得 ， ，所以最小二乘解为 ，1717x23.3 数值实验已知一组数据如下，求它的线性拟合曲线。 ix1 2 3 4 5y4 4.5 6 8 8.5iw2 1 3 1 1数值分析实验指导- 8 -第四章 数值求积4.1 主要内容内插求积公式及其余项.代数精确度的概念及计算.牛顿-柯特斯求
14、积公式梯形公式、辛普森公式及余项.复化梯形公式、复化辛卜生公式及余项.龙贝格积分法一、内插求积公式及余项 数值积分是为了解决用牛顿-莱布尼兹公式计算积分的局限，即用牛顿-莱布尼兹公式难以计算或无法计算的函数 f(x)在a,b上的精确积分值，通过构造内插求积公式，把求解 f(x)的精确积分值转化为求解 f(x)的近似积分值的一种积分方法。内插求积公式为： 余项公式为： (1)()(,)(!nbbnnaafRffxdx内插求积公式的步骤：1.计算内插求积公式系数 （其中 是较简单的多项式积分） ，或函数 在kAk ()fx节点 上的函数值(1,2)kx ()fx2.利用系数 和 来构造内插求积公式
15、（即 和 的某种线性组合） ，k(kf kA()kfx求出函数 在 区间上的近似积分值f,ab3.并估计积分余项（余项） 。二、龙贝格算法龙贝格算法利用外推法，提高了计算精度，加快了收敛速度。对每一个 从 2 做到 ，一直做到,1,1, 2,3.4kjkjkjjR ,kjk小于给定的精度是停止计算。,1,R其中 （复化梯度求积公式） ，,khTf 1kbah龙贝格算法计算步骤步骤 1：输入区间端点 ，精度控制值 ，循环次数 ，定义函数,abeM()fx取 ， n;1,()/2Rf步骤 2：for to kM),.10()(,)()(0 nkdxAff bakkkbank 中数值分析实验指导-
16、9 -2,1,11 1,1,1, /2/4kkk ki jkjjkjkjRhfaihfortRife 退 出 循 环步骤 3：数据积分近似值 。,k4.2 例题分析例 1 在区间 上，求 以 为 节 点 的 求 积 公 式 ， 并 判 断 代 数 精 度 。,123,0,1xx解： 由系数计算公式得1 1 10 2()()4()1, ,3 3x xAdAdAd 以求积公式为 1410()3fxfff由于此公式为 3 个节点的内插求积公式，代数精度至少为 2。令 ，代入求积公式得 ()fx13341()0xd，代入求积公式得 ，441215所以此公式具有 3 次代数精度。例 2 用梯形公式和 的
17、复化梯形公式求积分 ，并估计误差。n0dx解： 1 梯形公式 因为 ， ，代入梯形公式得0,1ab()1fx则 100.752201dx2 复化梯形公式因为 和复化梯形公式得4bah)1(43)2(41()08110 fffffdx67.07652数值分析实验指导- 10 -因为 ， ， 1()fx32()1fx201max()2Mf所以 3269baRffn例 3 用辛普森公式和复化辛普森公式,计算积分 ，使误差小于10dx30解 1、辛普森公式因为 ， ，代入辛普森公式得0,1ab()fx694.012410624610 fxd2、复化辛普森公式因为 (4)4 501ma)xMfx解不等式
18、 34410282Rbam（ ）得 ，用 ，复化辛普森公式计算得,n )1()4()0(110 fffffxd69325.2314.3 数值实验用龙贝格算法计算：20xIed数值分析实验指导- 11 -第四章 线性方程组直接解法4.1 主要内容求解 阶线性方程组 的根（即方程的个数和未知量的个数相等的线性方nAxb程组）nnnnbxaxaaxa21 232212 11一、高斯消元法高斯消元法的基本思想：通过对线性方程组 的进行同解消元变换（也可Axb以用矩阵的初等行变换法进行线性方程组的消元变换） ，将线性方程组化为上三角形方程组，然后用回代法求出此线性方程组的解。高斯消元法计算公式：(1)(
19、0)(0),(1)()()()()()(1)(1) ,2.,1),2.)2.,. nijijikkiijij j ikkiii bxinabjnanabbjn 消 元 公 式 ： 回 代 公 式 ：对 (1)(1)()(,2.,iijjjixn利用高斯消元法进行消元时，消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵 A的各阶顺序主子式不为零。或要求 ，若(1)0(,)kan (1)0ka,则消元法过程无法进行；若虽然 ，但很小，用它作除数，会1,2)k 1k引起很大的误差。所以为了减小舍入误差、提高数值计算的稳定性，通常采用选主元的消元法（包括列主元消元法和全主元消元法） 。二、列主元消元法列主元
20、消元法的计算步骤： 在进行第 步消元时，首先在第(1,2)kn列下面的 个元素中选取绝对值最大的元素 作k1nk()(1(1)maxkkkppia即为列主元素，然后将列主元所在方程与第 个方程交换位置，再按照高斯消元法进行消元、回代计算。数值分析实验指导- 12 -4.2 例题分析例 1 用列主元消元法的方程组12353486x解：第 1 列主元为 3，交换第 1、2 方程位置后消元得，31568422xx第 2 列主 ，元为交换第 2、3 方程位置后消元得35216843231xx回代解得 31,例 2 将矩阵 A 进行三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解）其中
21、4231解：将矩阵进行三角分解，应用矩阵乘法和矩阵相等原则（或代入公式得）11213312 2212321331234,;, ;,9rarrall lralrr则矩阵的 Doolittle 分解为912421324数值分析实验指导- 13 -因为对角阵 ，则419D112UDR所以矩阵的 LDU 分解为 1291421324矩阵的 Crout 分解为 192141324例 3 用紧凑格式求解方程组 23484215x解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为442121239（2）解方程组 123,8,0,9LYbyy（3）解方程组 1RXxx所以 (2,)T4.3 数值实验求
22、解下列两个线性方程组，并对结果加以比较1 2. 1233.06901274.98xx 123.06.3.901274.9.8.xx数值分析实验指导- 14 -第五章 线性方程组的迭代解法5.1 主要内容向量和矩阵范数的概念及其性质、谱半径、条件数和线性方程组的性态雅可比迭代法高斯-塞德尔迭代法收敛性的判定一、向量的范数和性质1. 维向量 的范数 是一个非负实数。常用的三种向量的范数为：nX21211max,2,3,nni i ii xXxX2向量范数的性质1 2212, ,n3.向量序列的收敛（1）若 是一向量序列， ， 对 有kX1,.TkkknXx,in则称向量 为向量序列 的极限，或称向
23、量序列lim,kix1,.TnxX依坐标收敛于向量 ，记作 lim,ki（2）向量序列 依坐标收敛于向量 X*充要条件是向量序列 是依范数收k kX敛于向量 X*，即 li0k二、矩阵的范数和性质1若 是 阶方阵， 是一种向量范数，满足下列条件：An（1） ，仅当 时，有0A（2）对任意数 ，有 ，（3） B（4） A（5）对任意向量 X，有 AX三种常用矩阵范数为：11211max,ax,(nn Tij iji jj A是 的 最 大 特 征 值 ）三、谱半径和线性方程组的性态1.谱 半 径 ： 若 矩 阵 的 特 征 值 ,称 为 的 谱 半 径 。(,2)i Amaxii性质：（1）若
24、A 为 n 阶矩阵， 为 A 的任一范数，则有 ()A数值分析实验指导- 15 -（2）对任给 0，则存在范 ，使得 pA()pA说明：可以用谱半径讨论迭代法的收敛性问题。2. 线性方程组的性态（1）假设系数矩阵 A 是精确的，且非奇异，则右端向量 b 的误差对解的影响设 是 的误差，而 是 的误差，所以当 时，则有bX0,XAcondb)(1（2）假设右端向量 b 是精确的，则系数矩阵 A 的误差对解的影响设 是 的误差，而 是 的误差，则有AAcondAX )(1111（3）方阵的条件数若 是 阶非奇异矩阵,称数 为 A 的条件数。记作An11()cod条件数具有下列性质 ， 为非 0 常
25、数()()nkcodAk系数矩阵 的条件数能反映线性方程组的解对于初始数据误差的敏感程度，当很大时，则系数矩阵 A 的微小相对误差 或右端向量的微小相对误codAA差 ，可能使解产生相当大的相对误差 ，则称方程组是病态的；当bX较小时，则系数矩阵 A 的微小相对误差 或右端向量的微小相对误()n差 ，不会使解产生大的相对误差，则称方程组是良态的。四、雅可比迭代法线性方程组 的系数矩阵 为非奇异矩阵，且 的所有对角元xbA, 则由克莱姆法则知，线性方程组存在唯一的解 ，利用雅可0(1,2)kan *X比迭代法公式进行迭代计算，可求得线性方程组的近似解 。1,.Tkkknx雅可比迭代法公式：1.方
26、程组形式：数值分析实验指导- 16 -11212 22111()(0,1).()mmmnmmmnnnxbaxaxxbaxx 1( )(1,;0,1)knmkjkjjijkaxnm简 记 为2.矩阵形式：将系数矩阵 分解为 ，其中 分别为矩阵 A 的严格下A)DLU,LD三角部分，严格上三角部分和对角部分1 121221 2000()( )nnna aaDLU 则雅可比迭代法矩阵形式为： 1 1),(,.mmXLXb其中雅可比迭代矩阵 112 12221 1120() ;0nnnnaabaBDLUfDaa 五、高斯-塞德尔迭代法高斯-塞德尔迭代法公式：1.方程组形式：1121312 222111
27、12( )(0,).( )mmmnmmmnnnnxbaxaxxbaxax1 1(,;0,1)kkj kjjijk nm简 记 为2. 矩阵形式： 1().mmXDLUXLb 数值分析实验指导- 17 -其中高斯-塞德尔迭代矩阵 11().BDLU六 严格对角占优矩阵设 为 阶方阵，若满足 ，则称 A 为对角占优()ijAan1,(,nkkjjain）矩阵； 若上式中不等号严格成立，则称 A 为严格对角占优矩阵。七 收敛性的判断方法1. 若线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法收敛，且有误差估计式11mmBXX2.若线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 为严格对
28、角占优矩阵，则高斯-塞德尔迭代法收敛，且高斯-塞德尔迭代法的误差估计式为 11,ax,1 nkjjmmkkjjXX 其 中3.若系数矩阵 为对称正定矩阵，则高斯-塞德尔迭代法收敛。A5.2 例题分析例 1 已知矩阵 ，求它的三种常用范数。0132解： 11 1maxa2,94,maxa5,64n nij iji jjAA 027, 27TI1232,4,7,ax0,427A特 征 值例 2 用雅可比迭代法求解线性方程组1320.85.x解：原方程组同解变形为：1233170.084xx数值分析实验指导- 18 -雅可比迭代公式为： 12221313207.8(0,1.).4mmxx选取初始值
29、00012,xx迭代计算，列表如下： n)(1nnx2nx30 0.00000 0.00000 0.000001 0.72000 0.83000 0.840002 0.97100 1.07000 1.150003 1.05700 1.15710 1.248204 1.08535 1.18534 1.282825 1.09510 1.19510 1.294146 1.09834 1.19834 1.295047 1.09944 1.19981 1.299348 1.09981 1.9991 1.299789 1.09994 1.19994 1.29992取方程组的近似值为 999123.04,1
30、.4,1.20xxx比较两种解法，一般地，高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法好，但也有高斯-塞德尔迭代比雅可比迭代收敛慢，甚至雅可比迭代法收敛而高斯-塞德尔迭代法不收敛。例 3 用高斯塞德尔法解方程组123574x证明高斯塞德尔法收敛；写出高斯塞德尔法迭代公式；取初始值 ，求出 。(0),)TX)1(X解：（1）高斯-塞德尔法迭代公式为： ()()()23(1)(1)()2()()()3124570,145mmmmxxxx （2）因为 为严格对角占优矩阵，所以高斯-塞德尔迭代法收敛 A（3）取初值 ，计算得 (0),)TX(1)(1)(1)2375,XX5.3 数值实验数值分析实验指导- 19
31、-应用雅可比迭代算法求解线性方程组12380466xx要求：选择不同的迭代次数，观察输出结果；数值分析实验指导- 20 -第七章 非线性方程求根7.1 主要内容：区间二分法.切线法.弦位法.一般迭代法.一、区间二分法区间二分法是求方程 根的近似值的常用方法。二分法的计算步骤如下：()0fx1.计算函数值 （不妨设 ） ，确定初始有根区间,ab()0,()fafb,ab2.二分有根区间 ，并计算 取,2f12x3.判断：若 ，则方程的根为 ；1()0fx若 ，则有根区间为 ；令1,xa11,ab若 ，则有根区间为 ；令 1()fbx4. 若 （ 为误差限） ，则方程的根为 ；否则转步骤 2，继续
32、ba 2二分有根区间 ，并计算中点值，继续有根区间的判断，直到满足精度要求为止.1,二分次数的确定：如果给定误差限 ，则需要二分的次数可由公式 n确定应二分的次数。l()ln2区间二分法的优点是计算程序简单，只要 在区间 上连续，区间二分法()fx,ab就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。二、迭代序列收敛阶的概念设迭代序列 收敛于 ，如果存在实数 与正常数 c，使得nx*1p，则称序列 是 阶收敛于 。特别地，当 时，称1limncnx*x1p序列 为
33、线性（一次）收敛； 为线性收敛时，必须要求 。当 时，x c2称序列 为平方（二次）收敛；当 时，称序列 为超线性收敛；n 12pn收敛阶 越大，则序列 与 的误差缩减越快，也就是序列 收敛越快。nx* x三、切线法(牛顿法)1. 切线法的基本思想：假设方程 在区间 上有唯一根 ,过曲线()0fx,ab*上的一点 ，作曲线的切线，用此切线与 轴的交点的横坐标yfx0(,)f数值分析实验指导- 21 -作为方程的根 的新的近似值, 再过点 ，作曲线的切线，则又得到新的1x*x1(,)xf近似值,按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。切线法(牛顿法)的迭代公式为 1(0,1.)nnf2.切线
34、法的收敛性设 在 上存在二阶连续导数，且满足条件 fx,ab（1） ； ()0f（2） 在 上不等于零,（3） 在 上不变号 则对任意初值 ，只要满足 ，则由切线法迭代公式得0,xab0()fx到的近似根序列 平方收敛于方程 在区间 的唯一根 。n,ab*x切线法的计算步骤：先判断有根区间 ，然后选择初始值 （一般地，若,0，则选择区间的右端点；若 ，则选择区间的左端点） ，再建立迭()fx()f代公式进行计算（列表计算） 。四 、弦位法 1. 弦位法的基本思想：设方程 在区间 上有唯一根 ,在区间()0fx,ab*x内的曲线 上任取两点作弦，用此弦与 轴的交点横坐标作为方程根的,ab()yf
35、x近似值。按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。弦位法分为单点弦法和双点弦法。2.单点弦法 建立弦的迭代公式时，固定其中一个点，而另一个点变动的迭代求根方法。单点弦法的迭代公式： 1()0,1.)()nn ncxxff（1）单点弦法的收敛性单点弦法收敛所满足条件和切线法的收敛条件相同，不同的是单点弦法迭代公式所产生的序列是线性收敛于 在区间 上有唯一根 。计算时应注意，在()0f,ab*x选择固定点 时，也要求满足条件 。c0()cfx0()f（2）单点弦法的计算步骤同切线法类似。3双点弦法 建立弦的迭代公式时，两个点都变动的迭代求根方法。双点弦法的迭代公式为: 11 (),1.)()n
36、n nxfxfx（1）双点弦法收敛性在 上满足的条件为: ; ； ,()fx,ab0abf1KR其中 , ， ,21/KMm2a()f1mi()f则以 为初始值，由双点弦法迭代公式得到的序列超*0)Rx,线性收敛于方程 在区间 的唯一根 。 (f*x（2）双点弦法的计算步骤同切线法类似。但在计算时应注意收敛性的判断和初始值数值分析实验指导- 22 -的选择五、 一般迭代法一般迭代法的基本思想：若方程 在区间 上有唯一根 ,将方程变()0fx,ab*x形为同解方程 ，且 连续，则建立迭代公式 。设()x1()01)nnx是方程的一个近似根,将它代入迭代公式进行迭代，求出的一系列近似根，直到满0x
37、足精度要求为止。1. 一般迭代法的迭代公式： 1()0,)nnx2.一般迭代法的收敛性建立一般迭代法的迭代公式可以有许多方法，但是有些迭代公式产生的迭代序列不收敛，所以判断迭代公式的收敛性就十分重要，一般迭代法计算步骤同切线法类似。计算时应注意收敛性的判断和初始值的选择，设 (),max()1x7.2 例题分析例 1 用二分法求方程 在某区间内实根的近似值（精确到 0.001）350x解 f(1.8)=-0.1680, f(1.9)=0.3590 f(x)在区间1.8 ，1.9内有一个根。由公式 64.512ln.1.2ln)( ab取 n=6， 计算结果列表如下：N an bn xn f(x
38、n)1 1.8 1.9 1.85 +2 1.8 1.85 1.825 -3 1.825 1.85 1.8375 +4 1.825 1.8375 1.83125 -5 1.83125 1.8375 1.834375 +6 1.83125 1.834375 1.8328125则方程在区间1.8，1.9内所求近似值为 x* x = 1.8328125例 2 证明 计算 的切线法迭代公式为3a（n=0,1,）12()nnxx解 因为计算 等同于求方程 的根，3 03a将 ，代入切线法迭代公式得：2(),()faf,1,)121 nxxxnnn例 3 试导出计算 的单点弦法迭代公式，并用它计算 ，准确到
39、 。(0)a3610解 因为计算 等同于求方程 的正根，20a数值分析实验指导- 23 -令 ，代入单点弦法迭代公式，得：2(),()fxafx21 2(),0,1()nnnn nccxcxaff 例 4 用一般迭代法求方程 在区间0，1内的根，要求40xe 4nx解： 11()0,1 ,4()0nxx eefx把 方 程 改 写 为 ， 该 方 程 迭 代 公 式 为在 区 间 内方 程 近 似 根 序 列 收 敛 于 方 程 的 唯 一 根取初始值： ，代入 ，求得：0x1n120.53 40.947 0.2585 6.235 .4.5,97,.3,.309,1.,.72416,xeexx
40、ee461满足精度要求，则方程的近似值为 60.38x7.3 数值实验求方程 在 1.5 附近的根.2()3xfxe注意：二分法和牛顿法在非线性方程求根中的优缺点和收敛速度。二分法简单易行，但只有线性收敛，且仅限于求实根；牛顿法也是一种简单的迭代法，具有二阶收敛速度（在单根邻近处）的特点，但对初值的选择比较苛刻，否则可能不收敛.数值分析实验指导- 24 -第八章 矩阵特征值与特征向量8.1 主要内容1. 幂法和反幂法2. 对称矩阵的特征值和特征向量的雅可比法。一、幂法幂法是求实方阵 A 按模最大的特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。在学习时，同学们应注意对前两种情况的公式的理解和记忆。1.
41、基本思想：任取非零初始向量 X0，作迭代序列 Xk+1=AXk，k=0,1,. 再根据 k增大时，X k各分量的变化规律，求出方阵 A 的模最大的特征值及相应的特征向量。2. 幂法的计算公式设矩阵 A 的 n 个特征值按模的大小排列为： ，其相应的特123n征向量为 e1, e2, en，且线性无关。 任取初始非零初始向量 X0，作迭代序列Xk+1=AXk，k=0,1,. X0=a1e1+a2e2+anen .根据特征值 的不同情况得下列三种计算公式（1） 1为实根，且 1 2。当 a1不为 0，k 充分大时，则有kkix,（2） 1为实根，且 1=- 2， 2 3。当 a1 ，a 2不为 0
42、，k 充分大时，则有 , 212122 11 kkki kkki Xexx在实际应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。若迭代向量各分量单调变化，且有关系式 Xk+1cX k，则属于第 1 种情况；若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式 Xk+2cX k，则属于第 2 种情况；在应用乘幂法计算特征值和特征向量时，为了防止溢出，也可采用迭代公式（6.6）进行迭代计算。当 A 为对称矩阵时，可采用计算内积的方法加速迭代的收敛，即计算特征值 1时可用公式 ，其精度与上式（1）中1(,)k相当。1kix3. 幂法的计算步骤：任取初始非零初始向量 X0（一般取 X0=（1，1，1）
43、 T或 X0=（1，0，0） T） 。作迭代序列 Xk+1= AXk，k=0,1,（也可以列表计算） 。根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况，选择所属公式。代入公式计算出方阵 A 按模最大的特征值及相应的特征向量。数值分析实验指导- 25 -二、反幂法反幂法是求实方阵 A 按模最小的特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。1. 基本思想：设非奇异矩阵 A 的 n 个特征值为： 1 2 n，其相应的特征向量为 e 1, e2, en，则的特征值为 其相应的特征向量仍为 e 1, 12ne2, en。 则求 A-1按模最大的特征值的倒数则为矩阵 A 按模最小的特征值。再利用幂法求 A-1按模
44、最大的特征值。2. 反幂法的计算公式任取初始非零初始向量 X0，作迭代序列 Xk+1= A-1Xk，k=0,1,.它等价于AXk+1=Xk，k=0,1,.求得 Xk+1 .当 n-1 n，a0,k 充分大时，则有11,kninex3. 反幂法的计算步骤：（和幂法的计算步骤基本相同）任取初始非零初始向量 X0（一般取 X0=（1，1，1） T或 X0=（1，0，0） T） 。作迭代序列 Xk+1= A-1Xk，k=0,1,（也可以列表计算） 。在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵 A 作三角分解 A=LR，然后再求解方程组.,1YRLkk根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况，选择所属公式。代入公式计算出特征值及相应的特征向量。4. 利用
