1、实变函数试卷 B 第 1 页 共 5 页一、选择题：（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1W 是 中的无理数全体所组成的集合, 则 W 对等于( ) 0A. ； B. ； C. ； D. Q.N(0,)22 是一列两两不交的点集，则 ( )iE1*imEA. 可测；且 ；1i1()iiiB. 未必可测，但 ； i1*iiiC. 可测；且 ；1iE1()iiimED. 未必可测；但 .i 1*iiimE3设 是可测集，则 ( )A. 存在 型集 ，使 ，且 ；G()0GB. 存在 型集 ，使 ，且 ；EC. 存在 型集 ，使 ，且 ；FFD. 存在 型集 ，使 ，且 .()4设
2、是 上的可测函数列, 于 ,则 ( )()nfx)nfxfEA. 如果 ,则 于 ； mE(,aeB. 在 上一致收敛于 ；()nf )fC. 存在子列 ，使 于 ；()infx(,infxD. 几乎一致收敛于 .inf )5 是 上的有界变差函数，则 必是 上 ( )()fx,ab(f,ab实变函数试卷 B 第 2 页 共 5 页A. 两个绝对连续函数之差； B. 某一可积函数的不定积分；C. 连续函数； D. 两个单调不减函数之差 .二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）6设 是定义在 上的映射，则 1iA1()iA1()iiA7设 是一列两两不交的可测集，则 i
3、E1imE1ii8若 是 上一列可测函数 的极限函数，则 是()fx()ifx()fx上的 9设 为定义在 上的实函数，如果 ()f,ab，则称 为 上的有界变差函数.()fx,10设 在 上可测，如果 ，E则称 在 上可积.()f三、计算题：（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）11计算：设 ， 求12()xf是 无 理 数是 有 理 数 0,1()Lfxd得分 评卷人实变函数试卷 B 第 3 页 共 5 页12. 求函数 在 上的全变差()2sinfx0,四、证明题：（本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）13设 是可数集，求证 的所有有限子集构成的集合仍是可数集.E得分 评卷人实变函数试卷 B 第 4 页 共 5 页14设 ，求证： .ab(,ab0,115设集合 在 中稠密，求证： 是可测集 上的可测函数的A1R()fxE充要条件是：对任意实数 ， 是可测集.a,()fa实变函数试卷 B 第 5 页 共 5 页16设在 上，定义(0,1)E2(,)xyf问 在 上是否可积？若可积，求出积分值；若不可积，说明(,)fxy理由.17设1) 是可测集 上一列可测函数；()nfxqER2） 于 ， ，且 在 上可,Fae1,23n ()FxE积；3） ，()nfxf则 在 上可积，且Elim()()nEfxdfx
