1、现代控制理论实验：实验一 线性系统的数学模型、模型转换一实验目的（1） 熟悉线性系统的数学模型、模型转换。（2） 了解 MATLAB 中相应的函数。二实验原理对线性时不变（LTI）模型来说，有连续控制系统和离散控制系统；从数学描述来说有状态空间描述传递函数描述和零极点描述。这里就 Matlab 中运用连续线性时不变控制系统的有关模型及其转换作简介，并简要介绍线性定常离散系统。在 Matlab 中,有 4 种数学模型表示线性定常系统(LTI)的模型 ,分别是传递函数模型、零极点增益模型、状态空间模型、Simulink 结构图模型。1系统的传递函数模型A)SISO 线性定常系统设有一单输入单输出连
2、续控制系统，输入信号为 u(s), 输出信号为 y(s)，该系统的传递函数为：G(s)= 01)( asabbsuynnmm 在 Matlab 中，该系统的分子和分母多项式分别可由其分子和分母的系数（按 S 的降幂排列）所构成的两个向量唯一地确定，即NUM= 01,bmDEN= an在 Matlab 中，用函数 TF 可以建立一个系统传递函数模型，其调用格式为：SYS=tf(NUM,DEN) 或直接为sys=tf( ， )10,mb 10,na建立 Matlab 的离散定常系统传递函数模型也可采用函数命令 tf(),其建立离散系统传递函数的语句为:num= 01,bmden= ansys=tf
3、(num, den, Ts)或直接为sys=tf( ， , Ts)10,mb 10,na其中,Ts 为采样周期的值。当 Ts=-1 或者 Ts=时,则系统的采样周期未定义。对已建立好的 SISO 系统传递函数模型变量 sys,其传递函数的分子和分母多项式可分别由 sys.num1和 sys.den1获得。B)MIMO 线性定常系统在 Matlab 中,为建立 MIMO 线性定常系统的传递函数阵,规定传递函数阵对应的分子多项式输入格式为num= num11 num12 num1r;num21 num22 num2r; numm1 numm2 nummr其中,numij 为 Gij(s)的分子多项
4、式的数组表示,其表示方法与前面介绍的 SISO 系统传递函数的分子多项式表示方法一致;各 numij 的排列方法与 Matlab 矩阵的各元素排列方法一致 ,但这里用符号“”代替矩阵符号“”。传递函数阵对应的分母多项式输入格式与分子的输入格式一致,也排成“”表示的多维数组形式。2系统的零极点模型对于 SISO 系统来说，其零极点模型可以简记为G(s)=k )()(21nmpsspzz式中 和 分别为系统的零点和极点，k 为系统增益。),21(miz,j在 Matlab 中，系统的零极点可以用函数 ZPK 来建立模型。其调用格式为：SYS=zpk(Z,P,K)3系统的状态空间模型在 Matlab
5、 中,状态空间模型变量的数据结构为 ss类,可以用函数 ss()来建立控制系统的状态空间模型。调用格式为:sys=ss(A,B,C,D,)对线性定常离散系统 (G,H,C,D),也用函数 ss()来建立状态空间模型调用格式为:sys=ss(G,H,C,D,Ts)式中,Ts 为输入的采样周期,SYS = SS(SYS)；对系统 sys 用状态空间实现对 Matlab 的状态空间模型变量 sys,描述状态空间模型的 4 个矩阵 A、B、C 和 D 可分别由 sys.a、sys.b 、sys.c 和 sys.d 获得。三实验内容1：给定系统的传递函数为G(S)= 150392.403618ss要求（
6、1）将其用 Matlab 表达；（2）生成状态空间模型。2）试在 Matlab 中建立离散系统的传递函数模型()5(1)6()2()(ykykuku3）Matlab 问题，试在 Matlab 中建立如下传递函数阵的 Matlab 模型2325562()17ssGS4）例：给定系统的模型为G(s)= )4.0(5)(8ss要求（1）将其用 Matlab 表达；（2）生成状态空间模型。5）例：给定系统的状态方程系数矩阵如下：A= ， B= ， C=0 18 360, D=00106384. 1要求用 Matlab 将其以状态空间模型表示出来。6）输入零极点函数模型， 零点 z=1,-2;极点 p=
7、-1,2,-3增益 k=1；求相应的传递函数模型、状态空间模型。四实验报告要求实验完毕后，记录下各种函数的变换形式实验二 状态空间模型的线性变换及其标准形一实验目的（1） 掌握线性系统的对角线标准形、约当标准形、能控标准形和能观测标准型的表示及相应变换阵的求解。（2） 了解 MATLAB 中相应的函数。二实验原理Matlab 用于系统状态空间实现的函数主要有：canon; Jordan 等。下面分别介绍这几个函数。(1) 规范形转换函数 canon() Matlab 提供的规范形转换函数 canon()可以将传递函数模型转换得到状态空间的能控标准型和对角规范形,其调用格式为连续系统: con_
8、ss,T=canon (con_tf, type )离散系统: dis_ss,T=canon (dis_tf, type )说明：参数 con_tf 为状态空间模型或传递函数模型，参数type指定变换出的标准型的类型，它有两个选项：modal和companion,分别对应对角标准型和能控规范 I 形（注意与课堂讲授形式对比） ，这两种标准型都是针对模型的系统矩阵A 所讲的。T 为返回的相似变换矩阵，可缺省。2)约当标准型1. 特征值、特征向量计算 Matlab 提供直接计算特征值和特征向量的函数为 eig(),其调用格式为:d = eig(A)V,D = eig(A)其中,第 1 种格式为只计
9、算所有特征值,输出格式为将所有特征值排成向量;第 2 种格式可同时得到所有特征向量和特征值,输出格式为所有特征值为对角线元素的对角线矩阵 D,所有特征向量为列向量并排成矩阵 V。2.广义特征向量的计算Matlab 的函数 eig()不能直接计算广义特征向量,要计算广义特征向量则需要符号计算工具箱的函数 jordan(),其调用格式为J = jordan(A)V,J = jordan(A)其中,第 1 种调用格式为只计算 A 矩阵对应的约旦矩阵 J;第 2 格式可同时得到所有广义特征向量和约旦矩阵 J,其中广义特征向量为列向量并排成矩阵 V。3. 一般状态空间模型到约旦规范形的变换 Matlab
10、 没有直接提供将一般状态空间模型变换成约旦规范形(对角线规范形为其一个特例)的函数,但可利用符号计算工具箱提供的计算约旦矩阵和广义特征向量的函数jordan()求解广义特征向量,进而构造变换矩阵求解约旦规范形。3）非奇异变换在 matlab 中用 ss2ss 来实现动态方程之间的变换sys_out=ss2ss(sys_in,T)，其中 T 为非奇异变换阵，其变换关系为 z = Txz = TAT-1 z + TBuy = CT-1 z + Du三实验内容1. 将实验一的第 2 题用对角标准型实现2. 已知系统的动态方程如下：， 01106XXy10X1） 求对角标准型实现，并写出实现变换的非奇
11、异阵和变换关系。2） 求可控准型实现（能控规范 I 形） ，并写出实现变换的非奇异阵和变换关系。3. 试在 Matlab 中计算例 2-13 中如下矩阵的特征值和广义特征向量。 436102A4. Matlab 问题 试在 Matlab 中将如下状态空间模型变换为约旦规范形。 010485xxuy5. 将下列状态方程化为约当型，并写出实现变换的非奇异阵和变换关系。A =3 -1 1 1 0 01 1 -1 -1 0 00 0 2 0 1 10 0 0 2 -1 -10 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1B =1 0-1 12 10 -10 21 0四思考题将模型实现为某种标准型（可控标准
12、型，可观测标准型和 Jondan 标准型）的条件是什么？五实验报告要求1 明确状态空间实现的三种标准型的原理；实验的目的及步骤。2 扼要记录实验数据，中肯分析实验数据结果。实验三 可控性和可观性实验一实验目的系统的能控性和能观性关系到系统的极点配置法设计，和最优控制。通过本实验，掌握判断系统能控性能观性的条件和方法。二实验原理Matlab 提供了用于状态能控性、能观性判定方法有如下几种：能控性矩阵函数 ctrb()、能观性矩阵函数 obsv()和能控性/能观性格拉姆矩阵函数 gram(),通过对这些函数计算所得的矩阵求秩就可以很方便地判定系统的状态能控性、能观性（1） ctrb 函数功能：可控
13、矩阵计算。格式： =ctrb(A,B)oC=ctrb(sys)说明：用于计算系统的可控矩阵，可控矩阵为=B，AB ，A n-1B,o若能控性矩阵 是满秩的，则系统是完全能控的。参数 sys 为状态空间模式。AC和 B 分别为系统矩阵和输入矩阵。（2）obsv 函数功能：可观矩阵计算。格式： =obsv(A,C) =obsv(sys)bObO说明：用于计算系统的可观矩阵。若能观性矩阵 是满秩的，则系统是完全能观的。b可观矩阵为： = ，A TCT， （A T） n-1CT。参数 sys 为状态空间模式。bA 和 C 分别为系统矩阵和输出矩阵。 （3）gram()函数Wc = GRAM(SYS,c
14、)，求状态空间模型 sys 的可控性格拉姆矩阵；Wo = GRAM(SYS,o) ，求状态空间模型 sys 的可观测格拉姆矩阵；3）由可控性矩阵和可观测性矩阵求能控能观标准型利用可控性矩阵和可观测性矩阵做非奇异变换阵可将系统化为可控标准型和看可观测标准型。4）离散系统的可控性判据如下：1) 若系统矩阵 G 为非奇异矩阵，则状态完全能控的充要条件为如下定义的能控性矩阵 :Qc=H GH Gn-1H 满秩，即rankQc=n 2) 若系统矩阵 G 为奇异矩阵，则为系统状态完全能控的充要条件为 rankQc=rankQc Gn 三实验内容1 检验系统1) 0,1,1,241 DCBA2)30112y
15、xxu的能控性和能观性。2 试在 Matlab 中判定如下离散系统的状态能控性。101()2()2()kkxxu(1)()()003 用格拉姆矩阵判据判断下面系统的可控性和可观测性。12300()1kyxu4）将下面系统化为可控标准型和可观测标准型。 12031()kyxu四思考题控制系统的能控性和能观性的物理意义是什么？五实验报告要求1 掌握判断系统能控性和能观性的原理和方法；实验的目的及步骤。2精确记录实验数据，中肯分析实验数据结果。实验四 李雅普诺夫(Lyapunov)判据实验一实验目的Lyapunov(李雅普诺夫)方程在现代控制系统分析和设计中有着重要作用,很多问题最后归结于 Lyap
16、unov 方程求解,如稳定性问题理论的研究等。通过实验掌握求解方法；判断系统的稳定性。二实验原理1）在 Matlab 控制箱中，函数 LYAP 和 DLYAP 用于求解 Lyapunov 方程。其中 LYAP 用于求解连续系统的 Lyapunov 方程，DLYAP 用于求解离散系统的 Lyapuno 方程。调用格式：p=lyap(A,Q)该函数可以求解如 的 Lyapunov 方程。其中 Q 和 A（系统矩阵）是具有相TAPQ同维数的方阵，如果 Q 为对称的，则 P 也为对称的。2）线性系统的稳定性的充分必要条件是：它的微分方程的全部根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。三
17、实验内容1）试在 Matlab 中判定如下系统的李雅普诺夫稳定性。 2120xx2）输入状态空间模型， ， ，38410A10B01C0D并选取正定矩阵 ，1）求稳定性判别矩阵 P。并判断该系统的稳定性。0Q求该系统的传递函数矩阵。四思考题一个系统如果没有找到 Lyapunov 函数，是否能对系统的稳定性做出否定的结论？五实验报告要求1 深刻理解系统稳定性的充要条件；Lyapunov 第二方法判断系统稳定性的条件；明确实验的目的及步骤。2 如实记录实验数据，分析实验数据结果。实验五 线性定常系统综合实验1：状态反馈的极点配置设计及实现一实验目的1） 验证用状态反馈任意配置系统极点的理论。2）
18、了解状态反馈的实现方法。3） 了解状态观测器的实现。二实验原理在 Matlab 控制工具箱中，直接用于系统极点配置设计的函数有 ACKER 和 PLACE。函数 ACKER（）是基于 Ackermann 算法求解反馈增益 K.一般仅用于 SISO 系统，调用格式为K=acker(A,B,P)其中 A,B 分别为系统矩阵和输入矩阵；P 为期望极点向量；K 为反馈增益向量。函数 Place()用于 MIMO 系统或 SIMO 系统，在给定系统 A,B 和期望极点配置 P 情况下，求反馈增益 K。该函数采用的算法不同于函数 ACKER，具有更好的鲁棒性，其调用格式为K=place（A，B，P）K，p
19、rec，message=place(A,B,P)其中 prec 为实际极点偏离期望极点位置的误差；message 是当系统某一非零极点偏离期望位置大于 10%是给出警告信息。K 为反馈增益向量。A 和 B 分别为系统矩阵和输入矩阵。利用 Matlab 进行基于极点配置的系统设计步骤1） 获得系统闭环的状态空间模型；2） 根据系统动态性能要求，确定期望极点分布 P；3） 利用 Matlab 极点配置设计函数 ACKER 或 PLACE，求系统反馈增益 K；4） 检验系统性能。状态观测器的 Matlab 实现状态观测器的设计归结为使用极点配置法求观测器增益矩阵 H。这和上一实验原理相同。用 Mat
20、lab 计算观测器的增益矩阵可用函数 place( )或 acker( )，调用格式为G=place(A,C,P)G=acker(A,C,P)式中 P 为观测器的期望极点配置；A 和 C 分别为系统矩阵和输出矩阵。三实验内容1）系统传递函数为 ，通过状态反馈使系统闭环极点配置在)12(6)(ssG-100，-7.07 7.07j，位置上，求反馈增益 k。2）被控系统的状态方程为 ，可否用状态反馈任意配置001xu闭环极点？求状态反馈阵，使闭环极点位于-10， 3j3）设系统的状态空间表达式为， y=0 0 1xux123091试设计一状态观测器，其极点为-3，-4 和-5。四思考题1） 输出反馈能使系统极点任意配置吗？2） 若系统的某个状态不能直接测量，能用什么办法构成状态反馈？3） 系统状态观测器的极点可任意配置的条件是什么？五实验报告要求1 了解系统极点配置、状态观测器原理；明确实验的目的及步骤。2根据记录实验数据，分析参数变化对实验数据结果的影响。
