1、9.3 点、线、圆的位置关系,高考文数 (北京市专用),考点 点、线、圆的位置关系 1.(2014北京,7,5分,0.49)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P, 使得APB=90,则m的最大值为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,答案 B 若APB=90,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x- 3)2+(y-4)2=1与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|OC|m+1,易知|OC|=5,所以4m6,故m的 最大值为6.选B.,思路分析 “
2、圆C上存在点P,使得APB=90”等价于“圆C与以AB为直径的圆有公共点”, 故根据圆与圆的位置关系可得关于圆心距的不等式,进而可求解.,一题多解 设点P的坐标为(x,y),则 =(x+m,y), =(x-m,y),由APB=90得 =0,即(x+m) (x-m)+y2=0.由此得m= ,即m为P到原点的距离,由于P在圆C上,C的半径为1,圆心(3,4)到 原点的距离为5,所以m的最大值为6.,2.(2012北京,9,5分)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为 .,答案 2,解析 如图所示:x2+(y-2)2=4表示以C(0,2)为圆心,2为半径的圆,直线y=x过圆上的点A(2,2
3、).直线y=x被圆截得的弦为OA,|OA|= =2 .,考点 点、线、圆的位置关系 1.(2018课标全国,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则 ABP面积的取值范围是 ( ) A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 ,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 A 圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为 =2 ,圆的半径为 , 设点P到直线的距离为d, 则dmin=2 - = ,dmax=2 + =3 , 又易知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2 , (SABP)min= |AB|dmin= 2 =2, (SA
4、BP)max= |AB|dmax= 2 3 =6. ABP面积的取值范围是2,6.故选A.,解题关键 把求ABP面积的取值范围转化为求圆上的点到直线的距离的最值.,2.(2017课标全国,11,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A 1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意可得a= ,故a2=3b2, 又b2=a2-c2,所以a2=3(a2-c2), 所以 = , 所以e= = .,方法总结 求离心率问题的实质就是找出a、b、c之间的关系,再利用a2=b2+c2(椭圆)或c2=a2
5、+b 2(双曲线),转化为a、c间的关系.,3.(2016课标,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( ) A.- B.- C. D.2,答案 A 由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得 =1,解得a=- , 故选A.,易错警示 圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8).,评析 本题考查了圆的方程、点到直线的距离公式.,4.(2015课标,7,5分)已知三点A(1,0),B(0, ),C(2, ),则ABC外接圆的圆心到原点的距离 为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 在平面直角坐标系xOy中画出ABC,易
6、知ABC是边长为2的正三角形,其外接圆 的圆心为D .因此|OD|= = = .故选B.,5.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是 ( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8,答案 B 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r= ,圆心 到直线x+y+2=0的距离d= = ,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.,6.(2014安徽,6,5分)过点P(- ,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A. B.
7、 C. D.,答案 D 过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.显然,直线PA的倾斜角为0,又OP= =2,PA= ,OA=1,因此OPA= ,由对称性知, 直线PB的倾斜角为 .若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是 .故选D.,7.(2014课标,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范 围是 ( ) A.-1,1 B. C.- , D.,答案 A 解法一:过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使 OMN=45,则OMBOMN=45,所以AMB90,所以-1x01,故选A.解法二
8、:过O作OPMN于P,则|OP|=|OM|sin 451, |OM| ,即 , 1,即-1x01,故选A.,评析 本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.,8.(2014湖南,6,5分)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m= ( ) A.21 B.19 C.9 D.-11,答案 C 圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m, 所以圆心C2(3,4),半径r2= . 所以|C1C2|= =5. 由两圆外切得|C1C2|=r1+r2, 故1+ =5, 解得m=9,故选C.,方法归纳 求解圆的
9、弦长的常用方法: (1)几何法:l=2 (其中l为圆的弦长,r为圆的半径,d为弦心距); (2)代数法:联立直线与圆的方程,结合根与系数的关系及弦长公式|AB|= |x1-x2|= 或|AB|= |y1-y2|= (k0)求解.,9.(2018课标全国,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .,答案 2,解析 将圆x2+y2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2, 圆心到直线x-y+1=0的距离d= = , |AB|=2 =2 =2 .,10.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A
10、为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以 AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 =0,则点A的横坐标为 .,答案 3,解析 本题考查直线与圆的位置关系. 设A(a,2a),a0,则C , 圆C的方程为 +(y-a)2= +a2, 由 得 =(5-a,-2a) = +2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横 坐标为3.,一题多解 由题意易得BAD=45. 设直线DB的倾斜角为,则tan =- , tanABO=-tan(-45)=3, kAB=-tanABO=-3. AB的方程为y=-3(x-5), 由 得xA=3.,11.(2016课标,15,5分)设直线
11、y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C 的面积为 .,答案 4,解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= .圆心到直线x-y+2a=0的 距离d= .由r2=d2+ ,得a2+2= +3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4.,评析 本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的方程和点到直线的距离公式,利用弦长的 一半,圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键.,12.(2016课标,15,5分)已知直线l:x- y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线 与x
12、轴交于C,D两点.则|CD|= .,答案 4,解析 圆心(0,0)到直线x- y+6=0的距离d= =3,|AB|=2 =2 ,过C作CEBD于E, 因为直线l的倾斜角为30,所以|CD|= = = =4.,解后反思 本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解.,13.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为 .,答案 x+2y-5=0,解析 易知直线OP的斜率为2,则切线斜率为- ,切线方程为y-2=- x(x-1),即x+2y-5=0.,14.(2015湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y
13、2=r2(r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐 标原点),则r= .,答案 2,解析 过O作OCAB于C,则OC= =1, 在RtAOC中,AOC=60,则r=OA= =2.,15.(2014重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC BC,则实数a的值为 .,答案 0或6,解析 由x2+y2+2x-4y-4=0,得(x+1)2+(y-2)2=9, 圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为3. 由ACBC,知ABC为等腰直角三角形,所以C到直线AB的距离d= ,即 = ,所 以|a-3|=3,即a=0或a=6.,16.(
14、2015课标,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.,17.(2014课标,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线 段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.,解析 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y). 由题设
15、知 =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C的内部, 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM. 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为- , 故l的方程为y=- x+ . 又|OM|=|OP|=2 ,O到l的距离为 ,|PM|= ,所以POM的面积为 .,评析 本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图 形的几何性质可简化运算.,考点 点、线、
16、圆的位置关系 1.(2018北京海淀期末,5)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AOB为正三角形, 则实数m的值为( ) A. B. C. 或- D. 或-,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 D 圆O:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径r=1. 因为AOB为正三角形,则圆心O到直线x-y+m=0的距离为 ,即d= = , 解得m= 或m=- ,故选D.,2.(2018北京海淀二模,3)若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2,答案 B 由题意可得,直线过圆心.
17、由x2+y2-2y=0,得圆的标准方程为x2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(0,1),将圆心坐标代入x+y+a=0可得1 +a=0,解得a=-1.故选B.,3.(2017北京海淀一模,2)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为 ( ) A.(x-1)2+y2=1 B.(x+1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1,答案 C 设圆的方程为x2+(y-1)2=r2(r0). 直线y=2与圆相切,圆心到直线的距离等于半径r. r=1. 故所求圆的方程为x2+(y-1)2=1,故选C.,4.(2017北京东城二模,6)已知直线x+y=m(m0)与圆x2+y2=
18、1相交于P,Q两点,且POQ=120(其 中O为原点),那么m的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 如图所示.设圆心到直线的距离为d. 由于POQ=120,OPQ=OQP=30, d= = .解得m= , 又m0,m= ,故选B.,5.(2016北京丰台期末,5)已知圆O:x2+y2=1,直线l过点(-2,0),若直线l上存在一点到圆心距离的最 小值等于圆的半径,则直线l的斜率为 ( ) A. B.3 C. D.1,答案 A l上存在一点到圆心距离的最小值等于圆的半径,直线l与圆相切.直线l的斜 率存在. 设直线l的方程为y=k(x+2),圆心(0,0)到直线l的距离为d,则 =1
19、.k= .,6.(2018北京顺义二模,11)圆(x-2)2+(y-1)2=1的圆心到直线y=2x+2的距离为 .,答案,解析 圆(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(2,1), 由点到直线的距离公式得d= = .,7.(2016北京朝阳二模,11)已知过点M(1,1)的直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=5相切,且与直线ax+y-1=0 垂直,则实数a= ;直线l的方程为 .,答案 ;2x-y-1=0,解析 设圆(x+1)2+(y-2)2=5的圆心为C,则C(-1,2),易知点M在圆上,故M为切点. 由题意知直线CM与直线l垂直, 又切线l与直线ax+y-1=0垂直, 直线CM与直线
20、ax+y-1=0平行. =-a.a= . 直线l的斜率为2,又直线l过M(1,1), 直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.,8.(2016北京丰台一模,11)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,则圆C截动直线l:kx-y+2-k=0所得的弦长为 .,答案 2,解析 由题意知圆心坐标为(1,2),半径r= . 动直线方程可化为y=k(x-1)+2,即动直线恒过圆心(1,2). 故所截得的弦即为直径,长为2 .,9.(2017北京海淀二模,12)设D为不等式(x-1)2+y21表示的平面区域,直线x+ y+b=0与区域D 有公共点,则b的取值范围是 .,答案 -3,1,解
21、析 由题意知直线x+ y+b=0与圆(x-1)2+y2=1有公共点, 圆心到直线的距离d= = 1.解得-3b1.,思路分析 该不等式表示的区域是以(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,故只需圆心到直线 的距离d1即可.,解后反思 正确理解不等式(x-1)2+y21的几何意义是解题关键.,考点 点、线、圆的位置关系 1.(2018北京顺义二模,8)已知点A(-1,-1),若曲线T上存在两点B,C,使ABC为正三角形,则称T为 “正三角形”曲线.给定下列三条曲线:x+y-3=0(0x3);x2+y2=2(- x0);y= (x 0),其中,“正三角形”曲线的个数是( ) A.0 B.1 C.2
22、 D.3,B组 20162018年高考模拟综合题组,答案 C 对于,易知A不在直线x+y-3=0上, 直线与坐标轴的交点坐标为M(0,3),N(3,0),此时|MN|=3 ,|AM|= ,|AN|= , 由于|AM|MN|,2.(2016北京西城二模,8)设直线l:3x+4y+a=0,圆C:(x-2)2+y2=2,若在直线l上存在一点M,使得过M 的圆C的切线MP,MQ(P,Q为切点)满足PMQ=90,则a的取值范围是 ( ) A.-18,6 B.6-5 ,6+5 C.-16,4 D.-6-5 ,-6+5 ,答案 C 由题意得,符合条件的点M的轨迹是圆心为(2,0),半径为2的圆,故若要直线l
23、上存在 这样的点M, 则只需圆心到直线的距离小于或等于2, 即 2,解得-16a4.,思路分析 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C(2,0)到直线l的距离小于或等于2,再由 点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解.,3.(2016北京朝阳一模,8)若圆x2+(y-1)2=r2与曲线(x-1)y=1没有公共点,则半径r的取值范围是 ( ) A.0r B.0r C.0r D.0r,答案 C 只需求圆心(0,1)到曲线y= 上的点的最短距离即可. 取曲线上的点 ,a1. 圆心到曲线上的点的距离d= = = = . 故若圆与曲线没有公共点,则0r .,4.(2018北京朝阳二模,13)在平面直角
24、坐标系xOy中,点P(不过原点)到x轴,y轴的距离之和的2倍 等于点P到原点距离的平方,则点P的轨迹所围成的面积是 .,答案 4+8,解析 设点P的坐标为(x,y),x,y不同时为0.由题意知2|x|+2|y|=x2+y2, 当x0,y0时,2x+2y=x2+y2,即(x-1)2+(y-1)2=2(x0,y0). 作出其表示的区域,如图中阴影部分. 由图易知,阴影部分是由一个边长为2的等腰直角三角形和一个半径为 的半圆组成的,所以 S=22 + =2+. 同理可知,当x,yR时,点P的轨迹所围成的图形是由上述4个这样的阴影构成的,所以S=8+4.,5.(2018北京朝阳一模,11)已知圆C:x
25、2+y2-2x-4y+1=0内有一点P(2,1),经过点P的直线l与圆C交于 A,B两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为 .,答案 y=x-1,解析 将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,因为弦AB被P平分,故PCAB,则kPCkAB =-1.由P(2,1),C(1,2)得kPC= =-1,可得kAB=1,所以直线l的方程为y=x-1.,6.(2017北京西城一模,11)圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心坐标是 ;直线l:x-y=0与圆C相交 于A,B两点,则|AB|= .,答案 (1,1);2,解析 圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心的坐
26、标为C(1,1),半径为1; 因为圆心到直线l的距离d= =0,所以直线l过圆心C. |AB|=2r=2.,思路分析 将圆的方程化成标准形式即可求得圆心和半径,再求圆心到直线l的距离即可求|AB|.,解后反思 若能发现圆心C(1,1)符合直线l的方程x-y=0,则可以得到AB为直径.,7.(2017北京朝阳二模,14)设P为曲线C1上的动点,Q为曲线C2上的动点,则称PQ的最小值为曲 线C1,C2之间的距离,记作d(C1,C2).若C1:x2+y2=2,C2:(x-3)2+(y-3)2=2.则d(C1,C2)= ;若C3:ex-2 y=0,C4:ln x+ln 2=y,则d(C3,C4)= .
27、,答案 ; - ln 2,解析 若C1:x2+y2=2,C2:(x-3)2+(y-3)2=2, 则d(C1,C2)=|C1C2|-r1-r2=3 - - = . 若C3:ex-2y=0,C4:ln x+ln 2=y,可设P(x1,y1)为曲线C3上的动点,Q(x2,y2)为曲线C4上的动点, 则d(C3,C4)=|PQ|min. 曲线C3:y= 与曲线C4:y=ln x+ln 2=ln 2x关于直线y=x对称, 当|PQ|取得最小时,曲线C3:y= 在点P(x1,y1)处与曲线C4:y=ln x+ln 2在点Q(x2,y2)处切线的斜 率均为1,故有 = =1,解得x1=ln 2,x2=1. 此时P点坐标为(ln 2,1),Q点坐标为(1,ln 2). 故d(C3,C4)=|PQ|min= - ln 2.,思路分析 (1)两圆间的距离显然等于“圆心距-r1-r2”,易得结论. (2)C3,C4需要转化成函数进行研究,可知曲线C3与C4关于y=x对称,进一步利用两曲线在最近两 点处的切线均与y=x平行可得结论.,难点突破 本题难点在于y= 与y=ln 2x关于y=x对称,实际上两函数互为反函数,故两曲线关 于直线y=x对称.,
