1、- 1 -无限长弦的一般强迫振动定解问题 20(,),0)txtuaftRt解: . ()0111(,) ,222xat txatuxtxattdfd三维空间的自由振动的波动方程定解问题 2220 ,0(,)ttuuaxyztxyz球坐标变换 sinco(0,2,0)xryrz无界三维空间自由振动的泊松公式, .21()1()(,)44MMat rSSutddra AArat()sinco(02,)xatyzt2()sindSad二维空间的自由振动的波动方程定解问题 2200,0(,)(,)t tuuaxytxy2 22 20 01cos,in)(cos,in),at atxryrxryrux
2、yt d dat at - 2 -三个 Green 公式Gauss 公式：设空间区域 V 是由分片光滑的闭曲面 S 所围成，函数 P,Q,R 在 V 上具有一阶连续偏导数，则： VSVSPQRFd dVPyzQdxRyxyzA A第一格林公式设 u(x,y,z),V(x,y,z)在 SSV上有一阶连续偏导数，它们在 V 中有二阶偏导，则： SVVuvduvduvA第二格林公式设 u(x,y,z),V(x,y,z)在 SSV上有一阶连续偏导数，它们在 V 中有二阶偏导，则： SVuvdSuvdA第三格林公式设 M0，M 是 V 中的点，u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有： 014Mvr0
3、0 001 1()4MMS VuudSudrnr A推论 1：Laplace 方程混合边值问题 - 3 -0,()(,)(,)xyzSSuuxyzVxyzn连 续 ） 连 续 ）的解为： 011()()4SuMMdSrnrAPoisson 方程的混合边值问题 (,)(,)(,) ,(xyz SS SuufxyzVxyzn连 续 ） 连 续 ）的解为： 0111()() ()44S VuMMdSfMdrnrr A调和函数1、定义：如果函数 u(x,y,z)满足:(1) 在 具有二阶连续偏导数；VS(2) 称 u 为 V 上的调和函数.02、调和函数的性质。 性质 1 设 u(x,y,z) 是区域
4、 V 上的调和函数，则有 0SudnA推论 2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）有解的充分必要条件是：0xyzSuun 0SdA性质 2 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有:011()4SuuMdSrnr- 4 -性质 3 : 设 u(x,y,z)是区域 V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即: 021()()4RSuMudA其中 SR是以 M0为球心,R 为半径的球面 三维空间中 Dirichlet 问题 Green 函数 泊松方程狄氏问题为： (,)(,)(,)xyz SSuufxyzV连 续 ） 000 0(,)(,) (,)S VG
5、MuMdSGMfdn A其中： 001(,),4Gvxyzr如果 G(M,M0)满足： 则可得泊松方程狄氏解定理(,)S定理：泊松方程狄氏解： 00 0(,)()(,)(S VGMuMdSGMfdVnA其中 G(M,M0)满足：000(,(),) SSGV 00M1(,)=-4r推论：拉氏方程狄氏解： 00(,)()SGuMdSnA- 5 -平面中的三个格林公式首先证明一个定理： 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，且 f(x,y)在 D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则： 22DLffdxysnA(1) 第一格林公式设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，且 u(x,y
6、),v(x,y)在 D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则： DLvuvdxyudsnA(2) 第二格林公式 l DuvdSuvdxyA(3) 第三格林公式设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，且 u(x,y)在 D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，令： 01(,)ln2Mvxyr0 00111()lnlln22ML Duu dSudr r A定理：平面泊松方程洛平问题 (,)(,)LLufxyDxyn的解为： 0 00111()lnlnln(,)222MML Du dSfxydrrr A推论：平面拉氏方程洛平问题 - 6 -0,()(,)LLuxyDxyn的解为：
7、 0 0011()lnln22MMLu dSrr A定理：平面泊松方程狄氏问题的解为： 0()(,)LDGuMdSfxydn推论：平面拉氏方程狄氏解为： 0()LudSnA平面狄氏格林函数000(,)(),SLGMMD 00M1G(,)=lnr2特殊区域上狄氏问题格林函数1球形域内狄氏问题格林函数 00220(,)()(,)SGMxyzRMV格林函数为： 00011(,)4rr其中： 201rRA球域内狄式问题的解 - 7 -00 020 032(,)()(,)(1() (,)(4cosS VS VGMuMdSGMfdnRrfVR A其中： 203214cosSSRrGnrA球域上狄氏问题的解
8、的球坐标表达式 sinco(0,2,0)xryrz所以： 2 220 03 302 21() ,sin4 4cos cosSRr RrRMdSRdR A2上半空间狄氏问题的 Green 函数 000,()zGxyz01122 2222 2000000(,) 1144()() ()Murxyzxyz 01 333 22004()MzzGnrxyz所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为： 00 0 032200(,)() (,),1 (,)(,)2S VVudSGMfdnxyzxyfxyzGMdxyzA- 8 -上半空间拉氏方程狄氏问题的解为： 00 3220,1,2xyzuxyz dxy3上半平面狄
9、氏问题的 Green 函数 0101(,)22MMGLnnrrny 00222220001111 2 ()()()()()L yynLnxxyx 上半平面上泊松方程狄氏解 00 21()(,)()(,)LD DyGuMdSfxydxdxGfydnA上半平面上拉氏方程狄氏解 0021()()yuxdx4圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的 GREEN 函数0220(,),()LGMDxyR 10100 01(,)lnllnl2MMMrRrrr圆域上泊松与拉氏方程狄氏解 0202()()(,)1(,)cosLDDGudSfxydnRrSGfxydA5第一象限上狄氏问题的 Green 函数- 9 -0123
10、0222000011(,)lnllnl()()()l4()MMMGrrrrxyxy- 10 -三种典型方程的基本解问题1 泊松方程的基本解方程 的解称为泊松方程 的基本解。(,)uxyz(,)ufxyz三维空间泊松方程的基本解 1,04xyzr平面泊松方程基本解为： 1,ln,02xyzr特解应该为基本解与函数 f 的卷积2热传导方程柯西问题基本解定解问题： 的解，称为 定解问题的基本解。20,(,0)txtuaRt 20,(,0)txtuaRt基本解为：241(,)xatUxte定解为基本解与初始函数 的卷积()241,2xsatuxtedt3热传导方程混合问题基本解定解问题 的解称为 定解
11、问题200()(0,),xuattlt 20(,)0,)(,)txtuaftxltl的基本解 20()001(,;)sininatLxUxtelll- 11 -定解与基本解的关系为 0000(,)(,;)(,tLuxUxtfxtd4波动方程柯西问题基本解定解问题 的解200()(,0)(,0),xtuatxtt称为 定解问题的基本解2,(,)(,),)xtufxyztt 基本解为： 0 0012,;sin()sinsiaaxUxtlll定解与基本解的关系为： 0000(,),;(,)tLuxUxtftd贝塞尔函数 22()()(00,PnPR 22()()(0rFrnFr &()rrF22()
12、0dyxxy210(),(0)!(1nmmxyx正、负 n 阶第一类贝塞尔函数20()!()nnmmJ110(r)=0rxed20y 1n!第二类 Bessel 函数()cos()()innnJxJxYxLimBessel 函数的母函数 1()2(,()xznnGeJxz当 x 为实数时可得cos01()2()cosi neJiJx 021s()()(smxBessel 函数的积分表达式 1()2.()xnnCeJxdi当 n 为整数时：.1()cos(i),(0,12,)2Jxxdn 贝塞尔函数的递推公式 11()()nnxJxJ、2nn、 1123()()()JxJx、4nnn、 10()
13、Jxn 阶整数阶贝塞尔函数有： ()1()cos()nn nJxJxJx12()sinJxx12cos贝塞尔函数的正交性 1贝塞尔函数系 ()1nmJrR()()2()2()0 110,( ,)nnRmk nnmmkrJrdJRJk定义：定积分： 称为贝塞尔函数 的模。 ()0nRmrJr ()nr2、贝塞尔级数展开定理定理：设 在区间0,R上至多有有限个跳跃间断点，则 f(x)在(0,R)(),fr连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值其中 ()1()nmmfrAJrR()20()1nRmmnmArfJrdJ勒让德方程 考虑球域内拉氏方程定解问题 222
14、10,1()xyzuxyzf在球坐标系下222 21 sin0i sin(,)0,0)r uurruf 勒让德方程 2 2cot(1)sindm令 ， 取 m=0 时得 cosxy2()(1)0dyxnyx勒让德多项式当 n 为正偶数时 2 210(2)!()!nmnmny x当 n 为正奇数时 2 20()!()!n nnm 2n 次第一类勒让德多项式 20(2)!()1)! 2Mmnmnn nPx xM0()1Px22()3)x315Px 424(3503)8Px5)6715x(1n)nP勒让德多项式的罗得利克公式 21()(!nnndxx勒让德多项式的积分表达式 21)()(nnCPzi
15、z勒让德多项式的母函数 201(,),1nnGxPxxxz勒让德多项式的递推公式(重点) （n=1,2,3 ）111,2()()()nnnxPxPxn113,()()()nnxxnP()()1()nnnn Pxxx为 奇 数 奇 函 数为 偶 数 偶 函 数勒让德多项式正交性定理 10,0,12.()2()mnnmPxd勒让德多项式展开定理：若 且：f (x)在-1,1上分段连续，(1,fxC则在-1,1上可以展开为绝对且一致收敛的级数：其中 0()()nfxCPx12()nnfxPd2牛顿二项式展开式 .!)1).(.!2)1(1 nxxx泰勒级数 21(,)!x nexx 2135sin)
16、(,)()!nx 2241co!()!nxx 23(1)1,n 1x23(23)!1)1,46nnxx 231135()!,nnx 24621xx 2311l()()nxxx 2135201arctn()ndx 311(),1.4352nx 3570 3arcsin426xdx 23101l(1) ()nxx 傅立叶变换1()()2ixfxfed基本性质 1212FfFff2121ffFi()kkFifdfxf1()dxf00()()ie0ixFeff. 1()()dFfxi. 01iixxe（ （ ） .ixiFxed1()()Ffaf若 则 ()fxg()2()Fxf12224axaFee()()ixffed41cos()2iniaiiiecosiniaea2xed拉普拉斯变换 0()()sxfsfedReaxcLepap21s2()xLe2sinktcosL2axeashsResa2axLc基本性质1212fLff11122LfLff()(),0sLxexRaffa1()(),scxc()12(1)0()0nnnnLfffsff.0()xdLxsnnffs5. ()pfxfsdL（ ）1212fF0()()sxxe
