1、1数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）20099，92习题一1设 0 相对误差为 2%，求 ， 的相对误差。xx4解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：得()()()ff f（1） 时fx；1()()()*2%1x（2） 时4fx4()()()482设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1） ；（2） ；（3） 。.x1.0x12.0x解：由教材 关于 型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有9P212mnab 效数字位数分别为：3，4，53用十进制四位浮点
2、数计算（1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.135221(0.31970.456)0.35)fl= 4=0.3457 2（2）31.97+（2.456+0.1352）1(0.3197(0.456)flfl= 29=0.3456易见 31.97+2.456+0.1352=0.345612 ，故（2）的计算结果较精确。4计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为 1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？3解：设该正方形的边长为 ，面积为 ，由x2()fx()()()fxf fx解得 = =0.
3、5%()fxf:5下面计算 的公式哪个算得准确些？为什么？y（1）已知 ， （A） ， （B） ；1x12xy2(1)xy（2）已知 ， （A） ， （B） ；()xx1x（3）已知 ， （A） ， （B） ；1x2siny1cos2xy（4） （A） ， （B）980y980解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1） （A）中两个相近数相减，而（ B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2） （B）中两个相近数相减，而（ A）中避免了这
4、种情况。故（A）算得准确些。（3） （A）中 使得误差增大，而（ B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。2sinx（4） （A）中两个相近数相减，而（ B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6用消元法求解线性代数方程组 151520x假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为 1161620.0.0.()2xx （1）-（2）得 ，即 ，把 的值代入（1）得16162 120.x2x；把 的值代入（2）得10.xx11.x4解 不满足（2）式，解 不满足（1）式，故在十进制三位浮10.2x10.2x点数解该方程用消元法计算结果不可
5、靠。7计算函数 和 处的函数值（采32()1fxx()3)12.9gxx在用十进制三位浮点数计算） 。哪个结果较正确？解： 0657.048.09.048.19.2 11 f.5122= 1.67).(g 9.)3)(=0.03. 11.60即 ，10.67fx9gx而当 时 的精确值为 1.6852，故 的算法较正确。2932()gx8按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1） ；(2) 。63i16i解：（1） =2345611i0.3.10.37.120.4.189.（2） =654323i .43.09已知三角形面积 ，其中 。1sin2SabC2证明： 。()()证明：
6、由自变量的误差对函数值的影响公式：。 得121212(,)(,) (,)ni nii nixfxfx xf , (,), ( )(,),)(,)aSbCbSaCSabCSabCab ()sin(si(cosi insin5= ()()Cabtg（当 时， ） ，命题得证。02t习题二1找出下列方程在 附近的含根区间。0x6（1） ；（2） ；cos0x3cos0x（3） ；（4） ；in()xe2xe解：（1）设 ，则 ， ，由 的连续性知在f()1f()-0.4597f()fx内， =0 有根。,x()同题（1）的方法可得：（2） ， （3） ， （4）的零点附近的含根区间分别为 ； ；0,
7、1,20,12用二分法求方程 在 内的根的近似值并分析误差。sin10x,2解：令 ，则有 ， ，()f()f()0.816f，sicosx,所以函数 在 上严格单调增且有唯一实根 。()f0， 2x本题中求根使得误差不超过 ，则由误差估计式41，所需迭代次数 满足 ，即取 便可，因此取 。12|kabxk4102k 28.13k14k用二分法计算结果列表如下： kkbkx)(kxf0 0 2 1 -0.15851 1 2 1.5 0.49622 1 1.5 1.25 0.18623 1 1.25 1.125 0.0150514 1 1.125 1.0625 -0.07185 1.0625 1
8、.125 1.09375 -0.028356 1.09375 1.125 1.109375 -0.006647 1.109375 1.125 1.1171875 0.0042088 1.109375 1.1171875 1.11328125 -0.0012169 1.11328125 1.1171875 1.115234375 0.00149610 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 0.00139811 1.11328125 1.1142578125 1.11376953125 -0.00053812 1.11376953125 1.1142578125
9、1.114013671875 -0.00019913 1.114013671875 1.1142578125 1.1141357421875 -0.000029714 1.1141357421875 1.1142578125 1.1141967773437 0.00005575由上表可知原方程的根 7341.964x该问题得精确解为 ，故实际误差为08.570396.3判断用等价方程 建立的求解的非线性方程 在 1.5 附近的根的() 2()1fx简单迭代法 的收敛性，其中1kkx（A） ；（B） ；（C）2()/32()1x()1x解：取 1.5 附近区间 来考察。 （A） ，显然当 时，
10、单调递减，1.3,62()0()x而 ， ，(1.3)597(.)139065因此，当 时， 。.,x,x又当 时， ，.,632().21由迭代法收敛定理，对任意初值 ，迭代格式 ， 收敛。.,6x12kkx(0,12)（B） ，则 ， ，132()x(.)1390754(.6)5934，23 0(1)x所以当 时， 。.,6x()1.3,6又当 时， ，1.3, 22331.() 0.51)()x由迭代法收敛定理，对任意初值 ，迭代格式 ， 收敛。1.,6231()kkx(0,2)（C） ，由于当 时，有1()x.3,x8，33221() 1.075861)(.6)x所以对任意初值 （原方
11、程的根除外） ，迭代格式 ,x1kkx发散。(0,1)k4确定 的简单迭代法 的收敛区间 。如果收敛，试估计使精度达到()x1()kkx,ab时所需的迭代次数并进行计算。10（A） ； （B） ； （C）2()3xe25()xsinco()2x解：（A）方程为 ，设 ，则 ，0x xef3201f，故有根区间为 ，题中 ，0-.897)5.0(f .,()3.|2|3| 0eex故迭代公式 在含根区间 内收敛。()x5.0,（B）方程为 ，设 ，则 ，0523x2)(3xf 0-1.875).2(f，故有根区间为 ，题中 ，04)(f ,.1.64|5.2|1| 33x故迭代公式 在含根区间
12、内收敛。()3,5.2（C）方程为 ，设 ，则 ，0cosinxx xxf2cosin)(01)(f，故有含根区间 ，题中 ，0-.6182)(f 1,5.|2sin|si| x5对下点列用埃特金方法加速。90123456.54,87.96,0.,81.9.xx解：由埃特金加速公式 计算，结果列下表：kkk xx122)(k kx0 0.54030 0 0.961781283438311 0.87758 1 0.982117517844812 0.94496 2 0.989807732603603 0.968914 0.980075 0.986146 0.989816令初值 ，分别用牛顿迭代法
13、，双点弦割法和单点弦割法求解方程01x的解。2()f解：牛顿迭代法， ，满足 ，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值02)(f 0)1(f为 时迭代法收敛。01x牛顿迭代格式为： kkkk xxxfx 326)(21 k0 11 3.52 2.607142857142863 2.454256360078284 2.449494371606975 2.44948974278755106 2.449489742783187 2.44948974278318在第 6 部迭代后，迭代点得小数点后 14 位已无变化，故可取 27831.496x双点弦割法双点弦割法迭代格式为： kkkkk xxfxfx 11
14、11 )()(0 11 3.52 2.111111111111113 2.386138613861394 2.454256360078285 2.449427357257126 2.449489682141447 2.449489742783958 2.449489742783189 2.44948974278318在第 8 部迭代后，迭代点得小数点后 14 位已无变化。双点弦割法双点弦割法迭代格式为： kkkk xxfxfx 0001 6)()(0 11 3.52 2.111111111111113 2.607142857142864 2.386138613861395 2.47660818
15、7134506 2.438183347350727 2.454256360078288 2.447489554564129 2.450330717719081110 2.4491364477969111 2.4496382139922812 2.4494273572571213 2.4495159579113014 2.4494787271625015 2.4494943716069616 2.4494877977350417 2.4494905601008518 2.4494893993430219 2.4494898870981620 2.4494896821414321 2.449489
16、7682650922 2.4494897320755723 2.4494897472825624 2.4494897408925225 2.4494897435776426 2.4494897424493427 2.4494897429234628 2.4494897427242329 2.4494897428079530 2.4494897427727731 2.4494897427875532 2.44948974278134以后，迭代点得小数点后 11 位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后 11 位31k7建立利用方程 求 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。30x
17、c3()解：牛顿迭代格式为： 23231)( kkkk xcxfx令 ，因为当 时， ， ，cxf3)( 006)(f故对于任何满足 ，0)(30cf即 的初值 ，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于 。30cxx 3c128建立利用方程 求 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。20cx3()c解：牛顿迭代格式为： cxxfxkkk 231)(21 令 ，因为当 时， ，2()cfx00)(3cf 06)(4f故对于任何满足 ，)(30cxf即 的初值 ，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于 。30cx 3c9判断用 Newton 迭代求解方程 的收敛性。()()f
18、xsignx解：由 ，xf)( )0(当 时， ， ， ，要使 Newton 迭代)(i0xf)(21xf 041)(3xf法收敛对于初值 ，需满足 ，显然这样得初值是不存在的，故当 时，0 0)(0f 0xNewton 迭代法不收敛。当 时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当 时，Newton 迭代法也不)(ix 0x收敛。所以用 Newton 迭代求解方程 不收敛。()()fxsignx10写出求解方程 的 Newton 迭代格式并判断以下情形的收敛性。1()0fx（1） ； （2） ； （3） 。002x或 00x或 02x解：牛顿迭代格式为： 221 1)( kkkkk xxfx
19、 ),1(13kxxxkkk 20221 )1()1( ),1(解之得： 0kk（1）当 时， ， ，故迭代序列 不收敛；02x或 1|0xkxk20)(limkx（2）当 时， ， ，迭代序列 收敛，但不收敛于方程0或 |k k的解；（3）当 时， ，从而 ， ，迭代序列 收20x1|0x0)(li2kxk 1likxkx敛，且收敛于方程的解。11求分别用下列迭代格式求解方程 时的收敛阶。()0mxfe（1）Newton 迭代格式 ；（2）迭代格式 。1kkx1()kkfxm解：显然 ，否则 没意义。0m()mxfe易知 Newton 迭代格式 收敛于 ，又1()kkf 0（1）21 1()
20、(1) mxkkkfxxxe mxxx kkkkk li0lilim21 Newton 迭代格式 的收敛阶为1()kf1p（2）迭代格式21()kkkfxmxmxxkkkkk 1li)0(li)(lim221 迭代格式 的收敛阶为1kfx 2p12当初值取为下列各值时，用下山 Newton 迭代求解方程组 是否收敛？30x14若收敛，收敛于哪一个根？（1） （2）0.5x0.5x解：由下山 Newton 迭代格式 13)( 21 kkkk xxf15习题三11 分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）： 1230.264.7350.864.7521910.8.xx 解：高斯消
21、元法：=0.2641.7350.8642.751|930.8.Ab .264 0.1735 .8642 -0.751 -93. . . 0.2641 .735 0.8642 -.751 -93 . .0 T( 0.7315,-2.8,-0.654)x高斯列选主元消元法.64.73.20.751|0915463.8.Ab .940.175.4630.1268275.8. .4 -.7 0.1 .0 0823-9 . .54 . .410.75.14630. - 2 895.8.-.2 .941 -.7 0.16 .0 0289 .4 -.53 x=.7315, -2.89,.65 T162分别用
22、高斯消元法和列选主元法解方程组 12.35.86.41,4093x解：高斯消元法=. . .0A|b21-21.3 5.2810 6.4-7-328(,)Tx列选主元法1.30 5.281 6.40|b4-932.14 -.0 2.9358641. . . 78(1,)Tx3.方程组 Ax=b 经过一次 Gauss 消元后,系数矩阵 A= , 变为 ,其中(1)nija(1)(2)*0aA= 为(n-1) (n-1)矩阵.其元素为(2)A(),2nija= - / , 2,3, n.()ij(1)ij()ij1ij证明下面结论:（1）当 A 对称正定时, 也对称正定;(2)（2）当 A 对角占
23、优时, 也对角占优.证明:（1）因为 A 对称,所以 ;(1)()ijjia= - / = =(2)ija(1)ij()ij1()(1)(1) /jijia(2) ji故 对称;()A 正定, ，又 = (1)0a(1)(2)*0A1L17其中: 显然, 非奇异; 对任何 x , 有: (1)21(1)01naLa 1L010LxA 正定, ， 正定;111()0TTLxAxL1TLA又: = 而 故 正定;1T()(2)0a()1a(2)(1) 当 A 对角占优时, (1)(1)|niiji(2)(2)|niijia()()()(1)()1()11,2|/|/|nii ijijijaaa()
24、()(1)(1)11(1) ,2| | |nii ijijij (1)(1)(1)(1)() ,2|nii ijijijaaa(1)()(1)(1)() ,2,| |nniijijjij(1)()(1)(1)(1)() ,2,| |nniijijj jaaa(1)()(1)(1)()() ,2| |niijij(1)(1)(),|nijija0故 对角占优(2)A184.证明 (1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积仍为单位上(下) 三角形矩阵;(2)两个上(下) 三角形矩阵的乘积仍为上(下) 三角形矩阵.证明:(1) 不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同设 AB=C 其中:00
25、1;1;(),ijnij ijjijiABCcab， ， ，当 ij时当 时， i=j1niiki，所以,C 为单位上三角矩阵1niijikjkjjcab当 时(2) 证明方法类似(1)5证明单位上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下) 三角形矩阵;非奇异上(下) 三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下) 三角形矩阵;证明:6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组（1）123425730x19解： 1231L(0)X235123U17293y21x（2）1234149608759x解：1376L1246U2814y1 x（3）123481285687970x解：9410358267L2861
26、57y4321x（4） 1234.42.8055.869.7.57389.6x 解 2021.4.5.3L6.1478.5y1.208.7x7求解矩阵方程 。124124706357X解； X= =122470461357108用追赶法解线性代数方程组。21335X解： 12b31b4a42ac213c1l1/ucl25lau， ， ， 2/5cl33lb3/cl4437lbau，13y2127()/5dyal238()/ydal4()/1ydl4x334xu231xu12x110 证明等价关系： 121|xxn21证明： 211|xma|niiinixx又 ，所以 111|n ni iini
27、i i 1|xn由 Cauchy 不等式知： ，所以：211|niiiix12|综上说述，即证。11 证明由 定义的 |是 中的范数。|0|maxppAnR证明：显然： 且 |0|0|0()| |axax| pppPppBAXA|0|0pA任意常数 |0|maxppA|0|axpA= |A|0|mpx|A+B|= = |0()|max|pAB|0|ax|pAXB|0|aPpxAXBx= +|0|0| pPxxpX|p|12 证明 11|ma|nijjiA22证明：对任何 由于 故1|x1|ix，因此，1111|ma|a|max|nnnij ij ijj j ji i iA11|max|nijj
28、iA另一方面：设指标 满足： o11|oij ijjni i定义 如下： 显然， =1*x*0oija*|x而且， *111|ma|ooonnnijij ijj ji iAx从而， *|ojijjnix即成立： 1*11| 1|a|ax|nijx jiA综上得命题成立13 研究线形代数方程组 的性态，并求精确解，设近似解12.001x，计算余量 以及近似解的相对误差20xrbAx: |x:解：因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为： -10 -条件数为 4.0020e+003，远大于 1。所以其为病态的，其精确解为： 1x余量为：r= 2.0102.01， ，所以：|.41x: 1|.4x|10
29、%x14计算 Hilbert 矩阵2311234112n nHn解：先求出 的逆矩阵3456,113456,H然后，计算 |,H13|,|,|,5|,15|,H6|,得出： 16|,()748cond34()10cond55()90cond76()H15求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量 0） 。()X123,()6074;x 123243056,()8,;x解：（1）雅可比迭代式为： ，取(1)()()23()()()21(1)()()32647kkkkxxxx(0)x则 (1)047x(2)15437x24（2）雅可比迭代式为 (1)()2()()()213(1)(
30、)()324()()4365085kkkkkxxxx取 ，则 (0)x(1)3285x(2)1035940x16若要求精度 ，仍用雅克比迭代求解 15 题，至少需迭代多少次？()310kx解：1） 雅可比迭代矩阵为：103207JB| 0.84JB由公式 知，需要 10 次迭代(1)(0)|lnln|)|JJKBx（2）雅可比迭代矩阵为：25，同上，需要 22 次迭代。102510285JB17求用高斯塞德尔迭代求解 15 题的两次迭代解（取初始向量 0） 。()X（1）高斯赛德迭代式 ()()()23(1)(1)()2()()(1)312647kkkkxxxx取 ，则 (0)x(1)362x
31、(2)1913x（2）高斯赛德迭代式 (1)()2()(1)()2 3(1)()()324()(1)4365085kkkkkxxxx取 则 (0)x(1)0.62.75x(2)0.564.397x2618求用 SOR 迭代（ ）求解 15 题的两次迭代解（取初始向量 0） 。1. ()X解：（1）k=0,1,()()()()()1123()()()(1)()22(1)()()()(1)3312.3.6.74kkkkkkkkkxxxxxx 取 ，则 (0)x(1)0.38.57x(2)0.4913.58x（2） k=0,1,(1)()()()12()()()(1)()223(1)()()()()
32、3324()()()(1)443.06585kkkkkkkkkxxxxx 取 则 (0)x(1)0.627.8539x(2)0.653.4x19设有线性代数方程组 1231,45;x（1） 判断雅克比迭代的收敛性；（2） 判断高斯塞德尔迭代的收敛性。解：（1）雅克比迭代矩阵27012JB|JIB12250故雅克比迭代发散512J（2） 高斯塞德尔迭代矩阵= =10202GSB0112041212， ，故高斯塞德尔迭代收敛21|0GSIB12GSB20设矩阵 A 为二阶矩阵，且 。证明雅克比迭代和高斯塞德尔迭代12a120a同时收敛或发散。证明： 因为 ，所以120a120,a雅克比迭代矩阵12
33、0JBa|JIB122122 0aa12|J高斯塞德尔迭代矩阵 1211121 212 2 12000GS aaa aB 28，21| 0GSaIB21|GSaB所以，雅克比迭代和高斯塞德尔迭代同时收敛或发散。21设线性代数方程组为 1263.x(1) 试用最速下降法求解（取初始向量 ，计算到 ） ；(0)X,T(4)X(2) 试用共轭梯度法求解（取初始向量 ） 。(),解：（1）最速下降法由 和()kkpbAx()()()TkkkptA(1)()()kkkxtpK=0,1,2,3 得 0.5000 (0)-10t 1x 0-.50.1667 (1)p.51t2 .0.5000 (2)0-.7
34、2t 3x 0.-8750.1667 (3)p153t4.（2）共轭梯度法由 (1)()()kkkxtp ()()()TkkkrptA()kkrbAx0()rp(1)()()kkkpra(1)()(),kkkrpK=0,1 得 0r =-10 =-10t =.51 0x=-.51.5r a 2.5p -2.，即为精确解t 0.67x -29习题四1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1 的值并估计误差解：线形插值：取 02.x0.6931y12.x1785y32.=0.74101 .123.120
35、(0)()0.69.839xLff抛物线插值：12200()xl0211()xl 0122()xl=0.742Lyly2.已知 x=0,2,3,5 对应的函数值分别为 y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值解：解：取 0x1223x53301020()()l0233111()()xxl12 3()()xxl30332()()l=30312Llyly15620xx3.设函数 f(x)在 a,b上具有直到二阶的连续导数,且 f(a)=f(b)=0,求证: 2“max|()|)max|()|8bbf f解：取 ，01;1()0Lffb 211() )|()|(|24f aRfxxa 2|4fbfL
36、1()|)|8fLxb|8)(“abf4.证明 n 次 Lagrange 插值多项式基函数满足30ni kikxlx0,)(, n0解：取 则kf n0()kiiLlx=0(1)()!iiffxnR(1)0)!kniix所以 即证)5.证明 )(),xixlniin证明：、 0111()()l )iinii ixxx 0111()()()iiii inixx 取 () )n iiixx 则 102011()()() )n niinxx （ 0111()()()()niiiiiinxxx 所以， l()(niix6.设 有 n 个不同的实根axf10)( .,21nx证明: 11,0)(nniikxf证明：取 ()kx1()nx而， 有 n 个不同的实根。可以写成0fax ()()nfxa 11111()()()()()()knni i iii iii iinxfax
