概率论与数理统计练习(1).doc

1、概率论与数理统计练习（1）一、填空题1. A、B、C 是三个随机事件，且 A 与 B 相互独立，A 与 C 互不相容。已知P( A ) = 0.2， P( B ) = 0.6，P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4。请计算以下事件的概率：P( ) = ， P( AB ) = ， P( AC ) = ，P( C ) = ， P( A+B ) = ， P( C | B ) = 。2. 假设有某种彩票叫“10 选 2”，每周一期。其规则是从 1 到 10 的 10 个自然数中不重复地任意选 2 个数组成一注，每注 1 元。如果所选的 2 个数与本期出奖的结果（也是从 1 到 1

2、0 中不重复选出的 2 个自然数）完全相同，则中奖，奖额为 40 元。则购买一注彩票能中奖的概率是 。引进随机变量 X，如果买 1 注彩票中奖了则令 X 等于 1，否则令 X 等于 0，那么X 服从 分布，X 的数学期望等于 。3. 已知某对夫妇有三个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有 Y 个儿子，如果生男孩的概率为 0.5，则 Y 服从 分布。这对夫妇恰好有一个儿子的概率是 。他们的孩子的男女性别比例最可能是 。4. 假设东莞市公安机关每天接到的 110 报警电话次数可以用泊松(Poisson)分布来描述。则东莞市公安机关在某一天没有接到一个 110 报警电话的)10(概率为 。东莞市公

3、安机关平均每天接到的 110 报警电话次数为 次。5. 指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 其 它 ,00 ,1.)(0.tetf则这种电器没有用到 500 小时就坏掉的概率为 ，这种电器的平均寿命为 小时。6. 根据世界卫生组织的数据，全球新生婴儿的平均身长为 50 厘米，身长的标准差估计为 2.5 厘米。设新生婴儿的身长服从正态分布，则全球范围内大约有 %新生婴儿身长超过 53 厘米，有 %新生婴儿身长不足48 厘米，身长在 49 厘米到 51 厘米之间的新生婴儿大约占 %。7. 设随机变量 X N（ 20，9） ，Y N（20，

4、 16） ，且 X 与 Y 相互独立，则X+Y 服从 分布，X Y 服从 分布。P(X Y0) ，P(X+Y36) = 。8. 已知 E(X) = 1，D(X) = 2，E(Y) = 3，E( Y2 )= 17，X 和 Y 的相关系数。则 D(Y) = ，E(X 2) = ，D(X+Y) = 6/XY，D(Y2X) = 。9. 设 X1，X 2，X 3 是来自总体 X 的简单随机样本，则 X1（是或不是） 总体均值的无偏估计，X 2 X1（是或不是） 总体均值的无偏估计，(X2+X1)/2（是或不是） 总体均值的无偏估计。以上属于无偏估计的统计量中最有效的一个为 。10. 已知随机变量 与 相

5、互独立，且 ， 。则 服Y)40(2)80(2YYX/从分布 。 11. 设 及 分别是总体 的容量为 20 和 30 的两个独立样201,.X301,. )1,(N本，这两组样本的样本均值分别记为 。则 服从分布 ，YX服从分布 ， 服从分布 。YX10)(302ii二、计算题1. 设随机变量 X，Y 的概率密度分别为：， 。)(xf其 它 ,0,2832x)(yfY其 它 ,0,12y已知随机变量 X 和 Y 相互独立。（1）求（X, Y）的联合概率密度 ；),(yxf（2）计算概率 。0P2. 欲调查某地居民每年用于服装的消费支出。随机抽取了 25 户家庭进行调查，发现平均每户家庭每年用

6、于服装的消费支出为 810 元，标准差为 85 元。假设该地区每户家庭每年用于服装的消费支出服从正态分布。（1） 以 90%的置信度构造该地区平均每户家庭每年用于服装的消费支出的置信区间。（2） 以 95%的置信度构造该地区平均每户家庭每年用于服装的消费支出的置信区间。（3） 从以上两个置信区间找出置信度与置信区间宽度的定性关系。3. 随机抽取 1600 名中国成年男性，测量他们的身高数据。这些数据显示，平均身高为 170 厘米，标准差为 10 厘米。请解答下列问题：（1） 可以认为“随机抽取的 1600 名中国成年男性的平均身高近似服从正态分布” 。这一结论得到了概率论中非常重要的一类定理的

7、支持。请写出这类定理的名称。（2） 利用（1）中结论，用 0.05 的显著性水平检验“中国成年男性的平均身高是 171 厘米”这一命题能否接受。三、阅读理解题阅读下列材料并解答问题。材料一：硬币模型是概率论中的著名模型，很多数学家和统计学家曾亲自抛硬币，抛的次数还很大，且每次记录。电子计算机出现以后，编程在计算机上模拟抛硬币成了许多学习概率统计的学生的一大乐趣。A 同学曾经在计算机上模拟了一万次的抛硬币过程，且看到了连续出现 10 次天安门朝上的事件。B 同学曾经模拟过 100 万次的抛硬币过程，发现天安门朝上 502003 次。材料二：正态分布是概率统计中非常重要的一类分布。正态分布的“3

8、原理”又叫“68-95-997 法则” ，在概率估计中具有重要作用。它的大致含义是，在服从正态分布的数据集中，偏离中心不超过 1 倍标准差的数据占全体数据的比例约为 68.3%，偏离中心不超过 2 倍标准差的数据占全体数据的比例约为95.4%，偏离中心不超过 3 倍标准差的数据占全体数据的比例约为 99.7%质量管理中的“6 管理”正是来源于正态分布的“3 原理” 。在服从正态分布的数据集中，偏离中心超过 4 倍、5 倍和 6 倍标准差的数据占全体数据的比例分别约为十万分之六、千万分之六和十亿分之二。材料三：样本均值是重要而常用的统计量。.样本比例定义为 nXP/.21其中， 是相互独立且服从

9、相同的 0-1 分布的随机变量。可见样本比nX,.21例是特殊的样本均值。样本比例在各种民意调查的统计分析中非常常用。材料四：下面是大样本条件下总体均值的置信区间：。nZX2/由于比例是一种特殊的均值，所以用样本比例 代替样本均值 可以得到总体PX比例的置信区间。当然需要把 具体写成 0-1 分布的标准差即 。这里)1(P的总体比例 是未知的，根据统计自助，可以用 代替 。因此，大样本条件P下的总体比例的置信区间可以写成。nPZP)1(2/问题：（1）根据材料一和二，估算出“B 同学的 100 万次抛硬币模拟中天安门朝上的次数不低于 502003 次”这一随机事件发生的概率（6 分） 。（2）

10、关于总统选举的最近一次盖洛普民意调查显示，随机抽取的 2500 名选民有 1500 名投票支持现任总统继任，剩余的 1000 名则把票投给了另一位候选人。请根据材料三和四以 95%的置信度给出现任总统的得票率的置信区间。概率论与数理统计练习题（2010.05.28）一、填空题1、A、B 是两个随机事件，已知 ，则0.3)B(p,5.)A(1) 若 互斥，则 ;, B-(p(2) 若 独立,则 ;)(3) 若 ,则 . 2.0)(Ap(2、袋子中有大小相同的红球 7 只，黑球 3 只， (1)从中不放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一、

11、二次取到球颜色不同的概率为： 。(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： .3、设随机变量 X 服从泊松分布 ，则 .87),(XPpE4、设随机变量 X 服从 B（2，0. 8）的二项分布,则 _ , Y 服从2pB（8， 0. 8）的二项分布, 且 X 与 Y 相互独立，则 =_，1_ 。)(YE5 设某学校外语统考学生成绩 X 服从正态分布 N（75，25） ，则该学校学生的及格率为 _ ，成绩超过 85 分的学生占比 为 _。85XP其中标准正态分布函数值 .9870)3(,972.0)(,8413.0)( 6、设

12、二维随机向量 的分布律是有 ,YX则 _， 的数学期望a_， 的相关系数)(XEYX与_。xy7、设 及 分别是总体 的容量为 16，8 的两个独立样本，16,.8,. )16,8(NXY0 1 -1 1 0.3 0.30.3 a分别为样本均值， 分别为样本方差。YX, 21,S则： ， _， = ，YX5.12YXp_， 。1652S21此题中 987.0)3(,972.0)(,843.0)( 8、设 是总体 的样本，下列的统计量中，_ 是 的无偏统计321,.X )(XE量， 的无偏统计量中统计量 最有效。)(EA. B. C. D. 321312X)(132219. 设某商店一天的客流量

13、 X 是随机变量,服从泊松分布 , 为总体(7.X的样本， 的矩估计量为_，160，168，152，153，159，167，161 为X)(E样本观测值，则 的矩估计值为 10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： _,也称为_错误。二、已知随机变量 X 的密度函数 其 它 , 02)(xaxf求：（1）常数 ， （2） （3）X 的分布函数 F（X） 。a)45.(p三、设随机变量 X，Y 的概率密度分别为： (xf其 它 , 0xex，且随机变量 X，Y 相互独立。)(yfY其 它 , 01,y（1）求（X，Y）的联合概率密度为： ),(yxf（2）计算概率值 。Yp2(3)求

14、概率密度 Z)(zfZ四、从总体 中抽取容量为 25 的一个样本，样本均值和样本方差分X) ,(2uN别是： ， 9,802SX 36.9)24(,.1)24(,0639.2)4( 05.75.025. xxt求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 的置信度为 0.95 的置信区间。 五 、设总体 X 服从均匀分布 , 是 X 的一个样本，求 的矩估计量)(baUn,1 ba,六、某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布 ,该校未 知2),(uN校长声称学生 平均成绩为 70 分，现抽取 16 名学生的成绩，得平均分为 68 分，标准差为 3 分，请在显著水平 下，检验该校长的断言是否

15、正确。 （此题05.中 ）15.2)(025.t七、设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似服从正态分布 ,未 知uN,),(2现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过 10 克, 现检验了一组 16 只数显称重器,得标准差 12 克，试检验制造商的言是否正确（取 ） ，此题中05.。96.24)15(20.八、某工厂要求供货商提供的元件一级品率为 90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取 100 件，经检验发现有 84 件为一级品,试以 5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。 （已知 ，提示用中心极限645.105.Z定理）概率论与数理统计练习题

16、（3）一、填空题1、设 A，B 相互独立，且 ，则 。 2.0)(,8.)(APB)(BP2、已知事件 A，B 满足 ，且 ，则 。P43、设某种电子元件的寿命服从正态分布 N（40，100） ，随机地取 5 个元件，恰有两个元件寿命小于 50 的概率为 。 （ ， ）813.0)(972.0)(4、 设 X 与 Y 相互独立，且 ， ， ，则2)(XEY1DXY。 )(2E5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.5 和 0.4，现已知目标被命中，它是乙命中的概率为 。6、三个人独立破译一个密码，他们单独破译的概率分别为 ，则此密码51,43能被破译的概率为 。7、如果 与

17、满足： ，则必有 。)()(DA. 与 不相关 B. 与 独立 C. D.00)(D8、设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布,且已知 ,则 = 12XE。9、 设 的密度函数为 ，则 的密度函数 为 。xf13XYyg10、甲乙两人相约在某天上午 8：009：00 之间会面，还约定如果一人到达后等待 15 分钟另一人还未来到则自行离去，那么这两人能会面的概率为 。11、将一条线段折成三段，这三段能构成三角形的概率为 。12、设顾客在某银行的窗口等待的服务时间 X（以分钟计）服从指数分布 ，)51(E若超过 10 分钟他就离开。他一个月要去银行 5 次，则他至少有一次离开的概率为 。13、随机

18、变量序列 依概率收敛于常数 是指对任意 ，有 ,21nXa0=1 成立14、若 ，方程 有实根的概率为 。)5,(UX0452x15、一箱产品，A，B 两厂生产分别个占 60，40，其次品率分别为1，2。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是 A 厂生产的概率为 。16、一个系统由 100 个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为0.2，已知必须有 80 个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心极限定理可得，整个系统正常工作的概率为 。17、设总体 X 服从参数为 的指数分布， x1,x2,xn为 X 的一个样本，其)0(样体均值 =2，则 的矩估计值 = 。x18、设二维随

19、机变量（ X， Y）的概率密度为 ,0;1,1,4),(其 他 yxyxf则 。)1(P19、 且 与 相互独立，令 ，则 ),6(,4NYXXYYXZ2YZ。20、设 是取自总体 的样本，则统计量 服从12,n ),(2221()nii分布，则统计量 服从 分布。212niiX21、设 x1,x2,x25为来自总体 X 的一个样本， XN（ , 52）,则 的置信度为0.90 的置信区间长度为 。( Z0.05=1.645)22、设 样 本 来 自 总 体 ， 已 知， 要 对 nX,21 ),(2作 假 设 检 验， 统 计 假 设 为 ， 则 要 用 2 201020:H检 验 统 计

20、量 为 。 给 定 显 著 水 平 ， 则 检 验 的 拒 绝 域 为 。23、若 相互独立， ，则 的1021, 10,2),(2iNii 1021,函数 2)10(2二、二维随机变量（X，Y）的概率密度为 其 他,0,),()2( yxAeyxfyx求：（1）系数 A；（2）X，Y 的边缘密度函数；（3）问 X，Y 是否独立。三、设 的密度函数为）（ , .,0,10,8),( 其 它yxyxf求：（1）求 ， （2）分别求 X、Y 的边缘密度；（3）X、Y 是不独立？ EX四、设总体 X 的密度函数为 1,0),(xxf其中未知参数 ， 为取自总体 X 的简单随机样本，求参数 的1nX,

21、2 矩估计量和极大似然估计量.五、设总体 ，其中且 与 都未知， ， 现,NX202从总体 中抽取容量 的样本观测值 ，算出16161xx， ， ，试在置信水平75.0316ix0.612iis下，求 的置信区间9.（已知： ， ， ，.105.t7459.05.t 135.2025.t） 2025.t六某厂生产的一种元件，其寿命服从方差 =10 的正态分布，现换一种新工20艺生产该元件，从生产情况看，寿命的波动比较大，现随机取 26 个，测得样本差 s2=12,试判断用新工艺生产后，元件寿命波动较以往有无显著变化.（ =0.05） (附： ),65.40)2(05.12.3)(297.七、某

22、批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为 %3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在 下能否接受假设：0.这批矿砂的镍含量的均值为 3.25。 （ ）641.)(05.t概率论与数理统计练习题（4）一、填空题1. A、 B 是两个随机事件，已知 ，则20504., p(AB)., ().p(A) ， , = ， 的相互独立性_)p(B(P为 2. 两个可靠性为 p0 的电子元件独立工作，（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为: ；（2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为： .3.设甲、乙工厂的产品的次品率分别为 3%和 8%，现

23、从甲，乙的产品分别占 60%和40%的一批产品中随机取一件， （1）则取到次品的概率为 .（2）若抽到的是一件次品发现是次品，则该次品属于甲厂生产的概率 .4. 设随机变量 X 服从 B（3，0. 9）的二项分布,则 , Y 服从1XpB（7， 0. 9）的二项分布, 且 X 与 Y 相互独立，则 服从 B（10，0. 9） 分布， , .)(E)(D5. 设二维随机向量 的分布律是有 ),(YX则 _ ，概率 ，a1p的数学期望 _， 的协X)(XEYX与 方差_， 的相关系数 。),cov(YY与 ,6. 设随机变量 X 分布律为：0 1010.4 0.20.1 a则: 的分布律为:12X

24、Y7. 设随机变量 X， Y 的概率密度分别为： ，)(xfX其 它 , 0,12x)(yfY，且随机变量 X， Y 相互独立。其 它 , 0,12y则： （1）X 的分布函数 ；)(xF（2） （X ， Y）的联合概率密度为： ；),(yxf（3）概率值 = ；Xp2（4） ，则 的概率密度1ZZ )(zfZ8 设某批学生某次水平考试的成绩卷面成绩可折算成标准分计为 ，已知X服从正态分布 ，则该批学生的平均分 XX)80 ,5(2N)(E； 。现任取一个学生的成绩，则该生成绩超过 600 分的805_概率: ；该生考试成绩低于 420 分的概率: 6p 420Xp。此题中标准正态分布函数 ,

25、 8413.0)(894.0)25.(9. 随机变量 X、 Y 的数学期望 E(X)=3，E(Y)=4, 方差 D(X)=1， D(Y)=2, 且X、 Y 相互独立，则： ， )2(YE)(YXD10. 设 是总体 的容量为 25 的样本， 、 分别为样本均值和样251,.9,8N2S本方差。则： ， , ， 5/3X5/8942SX-1 0 1概率 0.2 0.3 0.51 2概率 姓名:，概率 ，概率 05. 5/38Xp 05. 5/8SXp（本题中 ）6.2)4(,71.)24(,97.)6.1(,9.)64.1( 025.0.tt二、计算题从总体 中抽取容量为 25 的一个样本，样本

26、均值和样本方差分别X) ,(2uN是： ， 970S 36.9)24(,.1)24(,0639.2)4( 05.75.025. xxt求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 的置信度为 0.95 的置信区间。 三、计算及证明题设总体 X 服从 未知。 是 X 的一个样本，求 的极22,),(已 知uNn,1 2大似然估计量，并证明它为 的无偏估计。四、应用题 一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似服从正态分布,当设备正常时一天产800 吨, 现测得最近 5 天的产量分别为:785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显著不为 800 吨。 （取 ） ，此题中 。05.76

27、4.2)(05.t概率论与数理统计练习（5）一、填空题1. A、B、C 、D 是四个随机事件，且 A 与 B 相互独立，C 与 D 互不相容。已知 P( A ) = 0.6，P( AB ) = 0.24，P( B | C ) = 0.5，P( C ) = 0.4，P(D) = 0.1。请计算以下事件的概率：P( B ) = ， P( BC ) = ， P( CD ) = ， P( C+D ) = ， P( A+B ) = ， P( C | B ) = 。2. 假设有某种彩票叫“10 选 2”，每周一期。其规则是从 1 到 10 的 10 个自然数中不重复地任意选 2 个数组成一注，每注 1 元

28、。如果所选的 2 个数与本期出奖的结果（也是从 1 到 10 中不重复选出的 2 个自然数）完全相同，则中奖，奖额为 44 元。设随机变量 X 表示购买一注彩票得到的收益，那么X 取值可能为 44 元或1 元。概率 P X = 44 = ，X 的数学期望等于 ，X 2 的数学期望等于 ，X 的方差等于 。3. 已知某对夫妇有三个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有 Y 个儿子，如果生男孩的概率为 0.5，则 P Y = 1 = ，E （2Y+1） = ，D(2Y+1) = 。4. 假设东莞市公安机关每天接到的 110 报警电话次数可以用泊松(Poisson)分布来描述。则东莞市公安机关在某一

29、天至少接到两个 110 报警电话的)10(概率为 ，每天接到的 110 报警电话次数的方差为 次。5. 指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 其 它 ,00 ,)(1.tcetf则参数 = 。这种电器的寿命超过 1500 小时的概率为 ，寿c命在 500 小时1000 小时之间的概率为 。这种电器的使用寿命的标准差为 小时。6. 设随机变量 X N（ 20，9） ，Y N（20， 16） ，且 X 与 Y 相互独立，则2X+3Y 服从 分布，3X 2Y 服从 分布。P(3X2Y20) = ，P( X Y0) = ，P(X+Y304.8)

30、 = 。8. 已知 E(X) = 1，D(X) = 2，E(Y) = 3，E( Y2 )= 17，X 和 Y 的相关系数。则 D(2Y) = ，E(2X 2) = ，D(X+2Y) = 6/XY，D(Y2X) = 。9. 设 X1，X 2，X 3 是来自总体 X 的简单随机样本，则 X2（是或不是） 总体均值的无偏估计，X 3 + X2 X1（是或不是） 总体均值的无偏估计，(X 3 +X2 + X1)/3（是或不是） 总体均值的无偏估计。以上属于无偏估计的统计量中最有效的一个为 。10. 已知随机变量 与 相互独立，且 ， 。则 服Y)20()80(2YYX/4从分布 。 11. 设 及 分

31、别是总体 的容量为 10 和 50 的两个独立201,.X301,. )1,(N样本，这两组样本的样本均值分别记为 。则 服从分布 ，YX服从分布 ， 服从分布 YX 10)2(30iiY。二、计算题1. 在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“这两个数之和小于 1.2”的概率。2. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟 8 支为一样本，测得其尼古丁平均含量为 18.6 毫克，样本标准差差为 2.4 毫克。（1） 以 90%的置信度求此种香烟尼古丁平均含量的置信区间。（2） 以 95%的置信度求此种香烟尼古丁平均含量的置信区间。（3） 从以上两个置信区间找出置信度与置信区

32、间宽度的定性关系。3. 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5，标准差为 15 分。 （1） 欲检验命题“这次考试全体考生的平均成绩不超过 70 分” ，写出原假设和备择假设。（2） 计算检验统计量的值。（3） 用显著水平 0.5检验该命题能否接受。三、阅读理解题阅读下列材料并解答问题。材料一：硬币模型是概率论中的著名模型，很多数学家和统计学家曾亲自抛硬币，抛的次数还很大，且每次记录。电子计算机出现以后，编程在计算机上模拟抛硬币成了许多学习概率统计的学生的一大乐趣。A 同学曾经在计算机上模拟了一万次的抛硬币过程，且看到了连续出现 10 次

33、天安门朝上的事件。B 同学曾经模拟过 100 万次的抛硬币过程，发现天安门朝上 501013 次。材料二：正态分布是概率统计中非常重要的一类分布。正态分布的“3 原理”又叫“68-95-997 法则” ，在概率估计中具有重要作用。它的大致含义是，在服从正态分布的数据集中，偏离中心不超过 1 倍标准差的数据占全体数据的比例约为 68.3%，偏离中心不超过 2 倍标准差的数据占全体数据的比例约为95.4%，偏离中心不超过 3 倍标准差的数据占全体数据的比例约为 99.7%质量管理中的“6 管理”正是来源于正态分布的“3 原理” 。在服从正态分布的数据集中，偏离中心超过 4 倍、5 倍和 6 倍标准差的数据占全体数据的比例分别约为十万分之六、千万分之六和十亿分之二。根据材料一和二，回答问题： （1） 设 X 表示 B 同学的抛硬币模拟中天安门朝上的次数，则 X 服从什么分布？（2） 可以认为 X 近似服从正态分布，请给出理由并写出这个正态分布。（3） 估算出“B 同学的 100 万次的抛硬币模拟中天安门朝上超过 501013 次”这一事件的概率。