1、变系数偏微分方程的区间样长小波配点法第 33 卷第 1 期2001 年 3 月|l 塑,.J.XianUniv.ofArch.学:?一一V01.3 萄 1Mar.2001变系数偏微分方程的区间样条小波配点法郑宏兴,张全举,张成,葛德彪(1 西安电子科技大学理学院,陕西西安 7l0071z.宁夏大学物理系 .宁夏银 1l750021)摘要:研究了三谯样条插值的小渡插值函数给出了插值函数的误差估计式 ,提出了用两十阶导算了矩阵替换二阶导算子的替代算法对 Burgers 方程进行了验算.关键词:样鲁 lj1 波:插值;替代算法中围分类号:U241 文献标识码:A 文章编号:10067930(2001
2、)01009603SolutiontopartialdifferentialequationwithcubicsplineintervalwaveletZHENGEtongxing,ZHANG0一血,ZHANGCheng+GEDebiao(1_SchoolofScience.XidlanUrdv,Xlan710055.China;2DeptofPhysics,NingxiaUaiv.Yinchuan750021.China)Abstract:Thispaperdealswiththeoptimalapproximationpropertyasthecubicspineintervalveave
3、letisusedintheinterpoationTheinterpolationeTrorisalsodiscussed.Anewe-algorithmispresentedinwhichtwo0neorderdLffeti】matrixesareusedtosubstituteforthetwoorderone.ThenumericalsolutionofBurgersequationhasbeenderived.Anditisprovedthatthecoefficientissomewhatlarger.Keywords:sp/eoaveletinterpolationisubsti
4、tutealgorithm区间样条小波方法在偏微分方程的数值问题中得到 Tgmt【2m. 文2在通常的配点法中区间样条函数为基,计算了电磁波动主程;文3则用其对常微分方程进行了计算与分析,均获得了较好的结果-但值得注意的是文1中的离散小波变换(DWT)是对小波基进行的,在计算含较大牯性系数的Burgers 方程时 ,在边界处出现了震荡现象等.本文利用样条函数理论研究了插值函数的误差,提出了两个阶导算子矩阵替换二阶导算子矩阵的替代算法,算例表明在奇点处震荡减小.1H5(,)中的三次样条小波和多分辨分析设一:ot是所考虑的区间4),H(,)和:(,) 是 Sobolev 空间.H(,)中的内积和范
5、数定义为,一 f,()()d,II,()IIz 一,(1)定义尺度函数)和边界尺度函数丸)如下收稿日期:20000515作者简介:邦宏兴(1962 一),男? 副教授.西安电子科技大学博士生 ,研究微分方程数值解和电磁场数值方法第 1 期郑宏等:变系数偏微分方程的区间样条小渡配点法 97)一 N4()一吉高一 1)J(z)一寻 4 一砭 113(一 m 一-(x-2)其中,+ 一一, O;一 O,zO.如果定义函数()一(2x-k),九()一(2),.()一.(),一.()一(L-x).其中,一2L.定义空间 V 一=span.( 工),一 1 矗一 3),Vz.则引理 1:v 构成 H5()
6、的一个多分辨分析,即(1)V.ClCV2(2)Clos!(Uez+Vj)一 H:()(3)nrV 一 V.(4)VJ,.(),一 1 矗一 3J 构成的无条件基.由此,可构造()的小波基.夸()一一号(2-丁)+(2 一 1)一号 (2 一 2),(工)一 2 两 4(2-丁)一(2r),J0J0,()一妒(2 一矗),J0,k 一 0,1,一 3,妒 1()一(2),.z( 工 );.(2(,一工).如果定义空间 W 一 span一 1k 一 2),贝日得到引理 2:(1)V一 VW,( 这里 表示和在(1)式的意义下直交.)(2)W 上m,Jz(3)H3()一 V.J由此得,以任给的函数,
7、()H(), 如果_,足够太,能够使用,+()V+一 V.W.去近似 f(x),则+】() 有唯一的直交分解,+1()一 g1(工)+g.)+gJ).这里 g 一】()Vg(工 )W.,O_,.2 插值函数及误差考虑 Pv,(工) Va+,由于 Pvs.1,()一 SI(工),借助于三次样条插值的误差估计理论,可得到引理 3:设,() C(),则 0(,()一 S,()“llll,.1h一,=0,1,2,3.这里 c.一5/384,f11/24,=3/8,一(+)/2,卢一 max,h/rainh 利用1 中的定理 3,得到引理 4:在 DwT 中,设 I,(z:)一 PJ,()I对一 1kk
8、k 一 2 成立,则 I 罾 Ict,对矗 1+,k2 一成立,这里 ,=rain(/2,一 loge/loga),一=2k(a+M)/(d 一 1).a12定理 l:Pvs+,)一罾 Ih(z)+( .)在 I 上一致收敛到,(z),并且有 II,)【一】一P+.,(z)If=O(N 一),N 一 2S+IL 一 1fgI0(2),J0,J 一.(2)证明:由引理 3,II/)一 Pv,(z)IIIIII 田 2 叫“州,而 2 州一(22+1L 一1)/(22+1 工)(2J+lL 一 1)LN,所以,0,)Pva+,)1c.0fIN一,一 foIt,“IIL,I,(蠢)一 Pv,(工)I
9、2,=II,II, 一 1k 一 2.在引理 4 中设kl 一一 1,k2 一“一 2,e 一#2,得到 11c#2,k-1+,一一 2.由此可以看出,若解是光滑的,则插值法得到的小波级数的系数将随着多分辨分析中分辨率的增加而很快地减少.因此在这种情况下,小波插值点的个数可适当地减少,减少计算量.如果用 DwT 去求解 Pv/(工),则总的运算量将低于 6NogN,这里 N=L 一 1 是未知系数的个数.3 二阶导算子矩阵的替代方法若用尸表示插值算子? 用 D 表示插值点处的阶求导运算,则一阶导算子矩阵H=D?P,二解导算子矩阵 H2 一 D?D?P.二解导算子矩阵的另一种选择是 H?仃,这相
10、当于取 H=D?P?D?P.这种算法和原算法类似,西安建筑科技大学第 33 卷因此继承了原算法的自适应性等特点,算法实现的步骤为:在+中对 “I+)进行插值 ,得+.(z), 用+.)在插值点处的导数值近似“)在这些点处的二阶导数值.由 L.J+ff 及声 ,的结构,得二解导算子矩阵为 H?H-,FlU“H-=H.H-Uj+.由三次样条插值的误差分析知II“(工)一+()jI 三三 ll“()一“:+()II+lI+()一一(z)ll qh+c(.3.(3)式表明替代算法的插值误差和原算法有相同的阶.4 算侧对 Burgers 方程+“一口,04,0arrr.“(O,t)一 1,“(4,)一一
11、 1“(z,O)一 lfl02用快速插值的小波配点法求解并用替代法进行了验算,结果如图 1.图中的实线为精确解,虚线为计算结果.(a)为用 H?H近似二阶导算子替代算法的计算解,(b)为误差分布情况(c)为用 H 近似二阶导算子的计算解,(d) 为相应的误差分布情况.在小参数的情况下两者均和真解吻台的很好,而在参数稍大时,用 H 近似二阶导算子算法首先出现振荡.(a)与(c) 比较,表明替代算法有较大的稳定性和适用范围.5 结束语根据多分辨分析,小波插值是对 f)和尸 Vif(x)的差进行的,因而在小波级数中有许多零元素或小元素.对通常的函数来说,其对应的小波级数都是有缺项的,而“满 “的小波
12、级数则表示有奇异点的函数,05005O5005+0图 1 算倒,71/(4), =1/(4O)4这和 Fourier 级数恰好相反 .小波级数的这个特性,以及小渡级数的系数与解的光滑性之间的对应,使我们有可能设置一个门限,通过事先估计和分析解的光滑性情况,对门限以下的小波系数不再进行计算,这样可以大量地节省计算量;而在,)有较大梯度的地方 ,则进行自适应加密.通常的配点法不具有这样的特性.参考文献1WANGJianzhong.CubicSplineWaveletBasesofSobolevSpacesandMultilevelInterp01ati0nJComputationalHarmonicAnalysis,1996,3(1):1541632FENGKiangchu,GaBXiaobin.NoesontheApproximaleSpace.fCuhieSpllWve1etinH3)DXdianUniversity,1994.21(5).90.95.3:叶碧泉.边界层问题的小波有限元解J,数学杂志,1997,17(1);79.83.
