1、1第三章 数系的扩充与复数题型一 分类讨论思想的应用例 1 实数 k 为何值时，复数(1i) k2(35i) k2(23i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数解 (1i) k2(35i) k2(23i)( k23 k4)( k25 k6)i.(1)当 k25 k60，即 k6 或 k1 时，该复数为实数(2)当 k25 k60，即 k6 且 k1 时，该复数为虚数(3)当Error!即 k4 时，该复数为纯虚数反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当 x yi 没有说明 x， yR 时，也要分情况讨论
2、跟踪训练 1 (1)若复数( a2 a2)(| a1|1)i( aR)不是纯虚数，则( )A a1 B a1 且 a2C a1 D a2答案 C解析 若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数当 a2 a20 时，已知的复数一定不是纯虚数，解得 a1 且 a2；当 a2 a20 且| a1|10 时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得 a2.综上所述，当 a1 时，已知的复数不是一个2纯虚数(2)实数 x 取什么值时，复数 z( x2 x6)( x22 x15)i 是：实数；虚数；纯虚数；零解 当 x22 x150，即 x3 或 x5 时，复数 z 为实数；当 x22 x150，即 x
3、3 且 x5 时，复数 z 为虚数；当 x2 x60 且 x22 x150，即 x2 时，复数 z 是纯虚数；当 x2 x60 且 x22 x150，即 x3 时，复数 z 为零题型二 数形结合思想的应用例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、 B 在复平面上对应的复数分别为12i，26i， OA BC.求顶点 C 所对应的复数 z.解 设 z x yi， x， yR，如图 OA BC，| OC| BA|， kOA kBC，| zC| zB zA|，即Error!解得Error!或Error!.| OA| BC|， x23， y24(舍去)，故 z5.反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学
4、思想，又是一种常用的数学方法本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现它们得以相互转化涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等跟踪训练 2 已知复数 z1i(1i) 3.(1)求| z1|；(2)若| z|1，求| z z1|的最大值解 (1)| z1|i(1i) 3|i|1i| 32 .23(2)如图所示，由| z|1 可知， z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以| z z1|的最大值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知| z
5、 z1|max| z1| r(r 为圆半径)2 1.2题型三 转化与化归思想的应用例 3 已知 z 是复数， z2i， 均为实数，且( z ai)2的对应点在第一象限，求实数 az2 i的取值范围解 设 z x yi(x， yR)，则 z2i x( y2)i 为实数， y2.又 (x2i)(2i)z2 i x 2i2 i 15 (2x2) (x4)i 为实数，15 15 x4. z42i，又( z ai)2(42i ai)2(124 a a2)8( a2)i 在第一象限Error!，解得 2a6.实数 a 的取值范围是(2,6)反思与感悟 在求复数时，常设复数 z x yi(x， yR)，把复
6、数 z 满足的条件转化为实数 x， y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要跟踪训练 3 已知 x， y 为共轭复数，且( x y)23 xyi46i，求 x， y.解 设 x a bi(a， bR)，则 y a bi.又( x y)23 xyi46i，4 a23( a2 b2)i46i，Error!Error!或Error!或Error! 或Error!Error!或Error!或Error! 或Error!题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意 i21.在
7、运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k1，i 4k1 i，i 4k2 1，i 4k3 i( kZ)；(2)(1i)22i；(3)设 i，则12 324 31， 2 ，1 20， 2， 3n1， 3n1 (nN )等；1(4)( i)31；12 32(5)作复数除法运算时，有如下技巧： i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化a bib ai a bi i b ai i a bi ia bi例 4 计算：(1)(1i)( i)(1i)；12 32(2) ( )2 006. 23 i1 23i 21 i解 (1)方法一 (1i)( i)(1i)12 32( i i i2)(1i)
8、12 32 12 32( i)(1i)3 12 3 12 i i i23 12 3 12 3 12 3 121 i.3方法二 原式(1i)(1i)( i)12 32(1i 2)( i)2( i)1 i.12 32 12 32 3(2) ( )2 006 23 i1 23i 21 i 23 i i 1 23i i 21 003 2i 1 003 i ii0. 23 i ii 23 1i1 003 1 i反思与感悟 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法跟踪训练 4 计算： . 2 i 1 i 21 2i 1 i 1 i 2i5 1 i2 01
9、11 i解 2 i 1 i 21 2i 1 i 1 i 2i5 1 i2 0111 i 2 i 2i1 2i 1 i 2ii 1 i1 i 2 4i1 2i 1 3ii 1 i 2252(i3)i12i.呈重点、现规律高考对本章考查的重点1对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成a bi(a， bR)的结构形式3对复数几何意义的考查在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义
