1、第一章,常用逻辑用语,1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.1 推出与充分条件、必要条件,学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 判断下列两个命题的真假，并思考命题中条件和结论之间的关系： (1)如果xa2b2，则x2ab； (2)如果|x|1，则x1. 答：(1)为真命题，(2)为假命题. 命题(1)中，有xa2b2，必有x2ab，即xa2b2x2ab；但由x2ab推不出xa2b2.命题(2)中，由|x|1，可
2、得x1或1.即由|x|1推不出x1；但由x1能推出|x|1.,结论：一般地，“如果p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.,预习导引 1.命题的结构 在数学中，我们经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的 ，q称为命题的 . 2.充分条件与必要条件的定义 当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可以推出q成立，记作 ，读作“p推出q”. 如果p可推出q，则称p是q的 ；q是p的 .,条件,结论,pq,充分条件,必要条件,3.pq的等价命题在逻辑推理中，能表达
3、成以下5种说法： “如果p，则q”为 ；p是q的 条件；q是p的条件；q的 条件是p；p的 条件是q.,真命题,充分,必要,充分,必要,4.充要条件的定义 一般地，如果 ，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的 ，记作 . p是q的充要条件，又常说成 ，或 .,pq，且qp,充要条件,pq,q当且仅当p,p与q等价,要点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例1 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)： (1)在 ABC中，p：AB，q：BCAC； 解 在 ABC中，显然有ABBCAC， 所以p是q
4、的充要条件.,(2)在 ABC中，p：sin Asin B，q：tan Atan B； 解 取A120，B30，p q，又取A30，B120，q p，所以p是q的既不充分也不必要条件. (3)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20， q：(x1)(y2)0. 解 因为p：A(1,2)， q：B(x，y)|x1或y2， A B，所以p是q的充分不必要条件.,规律方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断pq及qp两命题的正确性，若pq真，则p是q的充分条件，若qp真，则p是q的必要条件. (2)关于充要条件的判断问题，当不易判断pq真假时，也可从集合角度入手判断真假，结合集合关系理解，对解决与
5、逻辑有关的问题是大有益处的.,跟踪演练1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选一种作答)? (1)p：ABC中，b2a2c2，q：ABC为钝角三角形； 解 (1)在ABC中，,B为钝角，即ABC为钝角三角形，反之若ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2a2c2. pq，q p，故p是q的充分不必要条件.,(2)p：ABC有两个角相等，q：ABC是正三角形； 解 有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， p q，qp，故p是q的必要不充分条件. (3)若a，bR，p：a2b20，q：ab0. 解 若a2b20，则
6、ab0，故pq； 若ab0，则a2b20，即qp， 所以p是q的充要条件.,要点二 充要条件的证明 例2 求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是m2. 证明 (1)充分性：因为m2，所以m240，所以方程x2mx10有实根，设两根为x1，x2， 由根与系数的关系知，x1x210，所以x1，x2同号. 又x1x2m20，所以x1，x2同为负数. 即m2是x2mx10有两个负实根的充分条件.,(2)必要性：因为x2mx10有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x21，,所以m2，即m2是x2mx10有两个负实根的必要条件. 综上可知，m2是x2mx10有两个负实根的充要条件.,规律
7、方法 充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件，也可以理解为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立.,跟踪演练2 求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2. 证明 必要性： 若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，,解得k2. 充分性：当k2时，(2k1)24k214k0. 设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2.,则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0. 又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)2 2k10， x11
8、0，x210， x11，x21. 综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.,要点三 充分条件和必要条件的应用 例3 已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必要条件.求实数a的取值范围. 解 令Mx|2x23x20 x|(2x1)(x2)0,Nx|x22(a1)xa(a2)0 x|(xa) x ( a 2)0x|xa2或xa，,由已知 pq，且q p，得M N.,规律方法 在涉及求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系.,跟踪演练3 是否存在实数p，使4xp0的充分
9、条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由. 解 由x2x20，解得x2或x2，或x1，,1.“21或x1”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.既是充分条件，也是必要条件,1,2,3,4,解析 21或x1或x1或x1”的既不充分条件，也不必要条件. 答案 C,1,2,3,4,2.“0”是“sin 0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由于“0”时，一定有“sin 0”成立，反之不成立，所以“0”是“sin 0”的充分不必要条件.,1,2,3,4,A,3.
10、对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当ab0时，得ab， 所以ab， 但若ab，不一定有ab0.,1,2,3,4,A,4.函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是( ) A.m2 B.m2 C.m1 D.m1 解析 当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.,1,2,3,4,A,课堂小结 1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)利用集合间的包含关系进行判断. 2.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.,3.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： p是q的充要条件， 则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性； p的充要条件是q， 则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性.,(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.,
