1、第四讲 数学归纳法证明不等式,在数学研究中，人们会遇到这样的情 况，对于任意正整数n或不小于某个数n0 的任意正整数n，都有某种关系成立。,对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法-数学归纳法,与正整数有关的命题,例如： 14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+) n21+nx (x-1,nN+).,n=5,a5=25,问题情境一,问题 1:大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？,完全归纳法,不完全归纳法,模 拟 演 示,问题2：若an=(n2- 5n+5)2 ，则an=1。对吗？,当n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;,
2、（1）n n,问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例,猜想：都是质数,法国的数学家费马（Pierre de Fermat）(1601年1665年) 。 十七世纪最卓越的数学家之一， 他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣， 世人冠以“业余王子”之美称，,归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。,（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。,归纳法分为 完全归
3、纳法 和 不完全归纳法。,归纳法,如何解决不完全归纳法 存在的问题呢？,必须寻找一种用有限个步骤，就 能处理完无限多个对象的方法。,问题情境三,多米诺骨牌操作实验,数学归纳法,我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立,（2）假设当n=k(k N ,k n0 )时命题成立证明当n=k+1时命题也成立。,这种证明方法叫做 数学归纳法,k=2,k+1=2+1=3 k=3,k+1=3+1=4 k=10,k+1=10+1=11 ,下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性,证明: (1)当n=1时,左边=1
4、,右边=1,左边=右边, 当n=1时，式（*）成立,(2)假设当n=k时，式（*）成立， 即 1+35 （1）k（2k1）（1）k k,在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边是否成立.,例1、用数学归纳法证明：当nN+时， 1+35 （1）n（2n1）（1）n n （*）,当n=k+1时 等式左边 1+35 （1）k（2k1） （1）k1 2(k+1)1,（1）k1 2(k+1)1, （1）k1 (k+1)右边,所以当n=k+1时等式（*）成立。,由（1）（2）可知，1+35 （1）n（2n1）（1）n n,利用 假设,凑结论,从n=k到n=k+1有什么变化,（1）k k,（1）
5、k1 k2(k+1)1,下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：,（1）验证：n=n0 （n0N+） 时命题成立。,（2）证明：假设n=k （kn0）时命题成立， 则n=k+1时命题也成立。,对所有的n （n0N+， nn0）命题成立,奠基,假设与递推,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确第二步：假设n=k (kN ， 且k n0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确结论：由（1）、（2）得出结论正确,找准起点 奠基要稳,用上假设 递推才真,写明结论 才算完整,数学归纳法主要步骤:,例2
6、 用数学归纳法证明,144,1,1）此时n0=_左_ 右= _,2）假设n=k时命题成立，即,当n=k时，等式左边共有_项， 第(k1)项是_。,k,(K1)3(k1)1,1(11)2 =4,14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2,14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2,14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k+1)+12,(k+1)3(k+1)+1,当n=k+1时 左边=14+27+310+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1) = k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)k(k+1)+3(k+1)+
7、1 = (k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12 右边,练习巩固,1.用数学归纳法证明：,在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是,2,2.某个命题与正整数n有关，如果当 时命题成立，那么可推得当 n=k+1 时命题也成立. 现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得 （ ） A当n=6时该命题不成立 B当n=6时该命题成立 C当n=4时该命题不成立 D当n=4时该命题成立,C,3.如下用数学归纳法证明对吗？,证明：当n=1时，左边,右边,等式成立。 假设n=k时等式成立，有,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据可知，对nN，等式成立。,注意:用上假设 递推才真
8、,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明,既然不对，如何改正？,三注意：1、有时 n0不一定等于12、项数不一定只增加一项。3、一定要用上假设,分析,4.用数学归纳法证明 122334n(n1) ,练习巩固,从n=k到n=k+1有什么变化,利用 假设,凑结论,证明:,2)假设n=k时命题成立,即 122334k(k+1),1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立, n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。,明确初始值n0，验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”，写出命题形式。 证明“n=k+1时”命题成立。分析“n=k+1时”命题是什么，并
9、找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。注意用上假设， 要作结论,用数学归纳法证明恒等式注意事项：,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k (kN ， 且k n0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确由（1）、（2）得出结论正确,归纳小结,（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于 与正整数有关的问题。 （2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。 （3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。,递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉,可能
10、错误 如何避免？,课堂小结,数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。,数学归纳法的核心思想,课堂小结,（1）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如何证明它们都是绿色的？,模 拟 演 示,作业,（2）课本作业 P50. 习题4. 1 1，2,（3）补充作业:,用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,（4）预习课本P49例1和例2,哥德巴赫猜想,德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和.他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明. 1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现: 问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。” 这就是著名的哥德巴赫猜想.,谢谢！再见！,谢谢！再见！,谢谢！再见！,谢谢！再见！,
