1、这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳),归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.,需证明,一、复习：什么是归纳推理？,例如已知数列an的第1项a1=1且 (n=1,2,3 ),试归纳出这个数列的通项公式.,解：,猜想：,这个猜想对于前4项是成立的，但还不能对以后继续的项也成立，因此这个猜想要证明。,费尔马(1601.81665.1)，法国数学家。,(费马猜想),结论是错误的。,对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，
2、叫归纳法。,特点:,二、归纳法定义：,完全归纳法： 优点：考查全面，结论正确。 缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查。 不完全归法： 优点：考查对象少，得出结论快。 缺点 ：观察片面化，结论不一定正确。,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”,“万百千“的笑话,万百
3、千在学习上犯了什么错误?,什么是数学归纳法？,对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0时命题成立；,2.然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 这种证明方法就叫做 。,数学归纳法,归纳小结,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；,数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,、一定要用到归纳假设； 看
4、清从k到k1中间的变化。,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:,【归纳奠基】,（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确,（2）假设n=k(kn0,nN*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确,（3）由（1）、（2）得出结论,【归纳递推】,注 意：,例1、1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*),证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+22+2k-1=2k-1 那么， 1+2+22+2k-1+2k=2k-1+ 2k=22k-1=2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等
5、式也成立。,因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN*都成立。,课本50页练习1：用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2 证明：1.当n=1时 左1，右121 n=1时，命题成立 2.假设n=k时，命题成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时 左1+3+5+(2k1)(2k+1) =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时命题成立 由1、2知原命题对nN*都成立,递推基础,递推依据,课本50页2.用数学归纳法证明证明：1、当n=1时,左=12=1，右= n=1时，等式成立 2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+k2+(k
6、+1)2=右 n=k+1时，原不等式成立 由1、2知当nN*时，原不等式都成立,例2.用数学归纳法证明： 122334n(n1) ,n=1时等式成立。 假设n=k时，命题成立，即,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据问可知，对nN，等式成立。,1、三个步骤缺一不可:第一步:奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础； 第二步:归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到 一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设 (注意是“假设”，而不是确认命题成立); 第三步:总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。,用数学归纳法需注意 ：,作业：50页4,
