1、目 录中文摘要ABSTRACT 第一章 引言4第二章 几种初等的思想方法7第三章 两重要极限应用分析9第四章 幂指函数极限求值 11第五章 等价代换求极限 14第六章 泰勒中值定理求极限 17第七章 综合方法求极限20参考文献21致谢22关于极限求值若干方法探讨_数学与信息学院数学与应用数学_级 指导老师：_摘 要：极限是高等数学的基本计算之一，本文针对不同类型的求极限题目，给出了一些极限计算的思想方法及具体操作过程。关键词：极限，数列极限，函数极限，等价，幂指函数，泰勒The discussion of evaluation certain method about limit _Schoo
2、l of Mathematics and Information, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Grade _ Instructor: _Abstract: The limit is one of higher mathematics basic computation, this article asks the limit topic in view of the different type, has given some limit computation thinking method and the concrete
3、operating process.Key words: Limit, sequence limit, limit of function, equal, power-index function, Taylor第一章 引 言高等数学是以函数为研究对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门科学.换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论.由于极限贯穿整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要.极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一， 同时又是解决许多实际问题不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用.因此，求极限是学生必须练好的一门基本功.然而，极限的题目错
4、综复杂，针对不同问题我们的解决方法不尽相同。定义固然要掌握牢固，但“具体问题具体分析” ，面对这五花八门的极限问题有些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的.在这里我们就对定义法不再赘述.极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，极限的求法已经有所研究，因此有必要总结极限的求法.具体计算方法包括：利用极限四则运算法则法，定义证明法、极限运算法则、利用两个重要极限法、利用判定极限的两个准则法、利用等价无穷小替换法、利用函数的连续性法、利用导数求极限法洛必达法则、利用 Taylor 中值定理法、利用定积分定义及性质法、幂指函数极限求值，综合方法的综合运算
5、等等.总而言之，极限理论使高等数学的基础，极限计算又是高等数学的重点和难点，因其计算没有统一固定的方法，具有很强的技巧性.本文就极限的计算求值若干方法进行探讨，以期获得大家的赐教.第二章 几种初等的思想方法如下几种思想方法，是朴素而初级的.这里我们将这些方法集中起来，给出了一些极限计算的思想方法及具体操作过程，便于吸收消化.2.1 约分方法：对分式求极限通常约去零因子一达到化简的目的.例 2.1.11limnx121()1)limnxx121limnxxmnn0说 明 ： 因 为 在 时 为 型 的 ， 无 法 得 到 具 体 结 果 ， 所 以 可 先 约 去 零 因 子.1x2.2 分子分
6、母化成有极限形式：对有些分子极限不存在的分式往往先约分，化成分子分母有极限形式，再根据极限运算法则进行运算.例 2.2.122arctnarctnlimli1n 21nn 2rt0arct说 明 ： 在 时 为 型 ， 极 限 不 存 在 ， 但 化 成 后 ,当时 分 子 分 母 极 限 都 不 存 在 .2.3 求和：对于若干个项相加，通常先求和再求极限. 12132.332nnn例 limlim注意：本题不可应用极限运算的加法法则按如下的 2 2111333n nn nli lililili来 计 算 ， 因 为 加 法 法 则 只 可 以扩展到有限项相加，本题中求解函数是无限项之和.2
7、.4 有理化：包括分子有理化和分母有理化.例 2.4.1 2222 22()(1)1lim1limlimnn nxxx11lixn例 2.4.2204lim93nx2220(4)()(93)li934nxxx20(93)lim4nx20li4nx2.5 变量替换：作适当的变量替换以求简化计算.2sinxx-例 251ly解 ： 令00(2)(2)limlisnsnyy0(2)limsnyy2.6 夹逼定理：不仅可用于求函数的极限，而且对于求数列极限也是很有效的一种方法. 1n261 lim234nn例 求 1 14n解 ： 4=linn故 2.6 123 n例 求 li 113,3nn解 ：
8、而 limn故 lim2.7 单调有界定理:()单调有上界的数列有极限；（）单调有下界的数列有极限. 121127, , 1,2nnxaaxax例 设 a0. 求 极 限.limnxnx解 ： 易 证 为 单 调 数 列 ， 再 证 有 界111,kxaa显 然 ， 设 时 , 21knxaa则 当 时 ， ，.nx可 知 有 界 ， 因 此 ， 数 列 的 极 限 存 在.1lim,42nxAaAa设 则 故第三章 两重要极限应用分析1.重要极限之一,0sinlm1xsinx（ 1） 应 用 原 则 ： 应 该 为 在 其 变 化 过 程 中 的 型 未 定 式 ；与 中的必须完全相等；可以
9、是一个含有自变量的表达式.xsi（2）注意事项：自变量的变化过程不一定是趋近于 0 的，可以是任何一种变化过程，但必须保证以上原则.（3）重要极限的应用：.1x0tan3例 求 lim si5解：由题目知0tan3lis5x0i1lsco3xxsin35013lmco5x.i.lmx例 2求解：令 ，t.00sinsinll1t ttt则 2.重要极限之二，lim()ne.101limlixxxxe其 他 形 式 或 者(1)应用原则：此极限为在其变化过程得 型极限问题；括号内 1+的对象和括号外的幂次恰好互为倒数关系；n,x 可以是一个含有自变量的表达式.（2）注意事项：自变量的变化过程可以
10、是趋近于 0 的，可以是趋近于 的变化过程，但必须保证以上原则.（3）重要极限的应用：.31.nn例 求 lim解：由题目知3 33111lim()li limn nnn ne例 3.4 求 .2li()xx解：由题目知 2 22311limlilimxx xx 242lixx e当然，两个重要极限得问题也有其他的求解方法，关键在于灵活运用所学的知识.如能选取恰当的方法解决适合的问题，就会简单快捷求出题解.希望以上总结能对初学者起到提示的作用.第四章 幂指函数求值111 00 lim1lim. 1xxk eke 上 一 章 我 们 利 用 重 要 极 限 ， 主 要 解 决 幂 指 函 数 型
11、 的 幂 指 函 数 的 极限 求 值 ， 一 般 要 把 幂 指 函 数 变 成 为 实 数 .而 后 利 用 幂 指 函 数 的 连 续 性 得 ：但 用 这 种 方 法 求 幂 指 函 数 的 极 限 非 常 有 限 .对 于 一 般 幂 指 函 数 型还 要 考 虑 洛 必 达 法 则 ， 但 较 为 复 杂 .本 章 给 出 联 合 应 用 第 二 重 要 极 限 和 洛 必 达 法 则求 型 的 幂 指 函 数 极 限 ， 并 通 过 举 例 说 明 此 法 对 很 多 题 目 0()nyfxaxfxuv 用 起 来 的 简 易 型 . 设 有 幂 指 函 数 ， 的 变 域 有
12、聚 点 特 殊 情 况 、 可 以 是 以 两个 自 然 数 集 为 变 域 的 函 数 、 001limlixxfba结 论 ： 设 存 在 有 限 ， 且 ， 则0()lixf00lim()lixbxf注 ： 该 结 论 对 ， ， ， 都 可 证 明 成 立 .进 一 步 ， 若1,ab也 考 虑 推 广 . 2sin21lm.3xxyf y 例 4. 已 知 =,求 解： 因为2lim()li1xxf2li()lisnxxx故 2sin2 lmsin221lil3339xxx 000 0limlix xxxxf ff f11结 论 ： 设 =1且 存 在 ， 当 ， 且， 都 可 以
13、则 1+，若 存 在 或 为 +、 ， 则 有 ： 10000lim()li()()lilixxxxf e00ff其 中 当 ， 则 在 该 过 程 下 limligGfF该定理说明，在求幂指函数的极限时，其底与指数可分别用它们个则等价的无穷小（大）代换，极限的存在性及其值不变. tanx053 limrcsi x例 求 trcsi2x解 ： 当 时 ， ， ， 于 是00lilixxx0原 式 =2=1 定 理 4设 在 同 一 过 程 下 ,()、 、 、 、 、 都 是 无 穷 小 (大 )； 2、 、 ； (3)与 、 与 各 是 可 以 比 较 的 非 等 价 无 穷 小 大 ， 则
14、 有lim()li()该定理说明，求幂指函数的极限时，若底或指数是两个无穷小（大）之差，当这两个无穷小（大）可以比较且不等价时，仍可用它们各自的等价无穷小（大）代换，极限的存在性及其值不变. tan0li2sixx例 54 求 si tanxx解 ： 当 时 ， ， 即 与 时 同 阶 不 等 价 的 无 穷 小 ;， 即tan即 与 是 同 阶 不 等 价 的 无 穷 小 ， 于 是2() ()20000lim2sinlim2lilimxxxxx x 原 式 =1第六章 泰勒中值定理求极限() 0limli()lim()oooxxxffgg 为 了 得 到 其 中 这 类 型 未 定 式 的
15、 值 ， 本 文 试 图用 泰 勒 中 值 定 理 来 予 以 解 决 ， 并 从 理 论 上 回 答 上 述 问 题 .1.预备知识 0,fxab引 理 1 （ 泰 勒 中 值 定 理 ） 如 果 函 数 在 含 有 的 某 个 开 区 间 内 具 有 直 到,nxab阶 的 有 界 导 数 ， 则 对 于 有 ：（1）00000 !nnxfxfxff R. 11000,!nnnfRxox其 中 0fx称 （ 1） 为 按 的 幂 展 开 的 阶 泰 勒 公 式 .0 0limlimo ot thxtfxfhxt由 于 总 能 通 过 变 量 代 换 化 为 （ 其 中 ）.x为 了 方 便
16、 ， 我 们 只 考 虑 的 情 形0,1!iifan令 ， 则 ()变 成 ：（2）01nfxaaxo000limlilimxxxffgg0对 于 本 文 所 讨 论 的 （ 其 中 ） 这 类 型 未 定 式 ， 当 1fxg n和 在 点 的 某 个 开 区 间 内 分 别 具 有 直 到 和 阶 的 有 界 导 数 时 ，001afbg由 引 理 显 然 可 得 ： 和 以 及。knxaxo0,1(0,1).! !i ji jfanbm其 中 ，2.泰勒中值定理在极限计算中应用的几个结果 0ifx a定 理 1 设 在 点 的 某 个 开 区 间 内 具 有 阶 的 有 界 导 数 ，
17、 当(,)0kaikna且 时 ， 一 定 有 ：，nfxaxo ,xab0,1.!iifan其 中 ， ,10ifxabna定 理 2 设 在 点 的 某 个 开 区 间 内 具 有 直 到 阶 有 界 导 数 ， 若0,1iaikn（3）0,0lim,1!,imixkf fan, 1fgabm定 理 3 设 和 在 点 的 某 个 开 区 间 内 分 别 具 有 直 到 阶 和 阶0(,1)0(,)0i kj laiknjlnb的 有 界 导 数 ， 若 且 以 及 且 ，则 有 ：（4）0,lim,kxlfagbl0 0,1(,1).! !i ji jfxanm 其 中 ， 240cos
18、.limxxe例 61 解： 时， 2 224 241cos! !xxxoeox由 和 241xfe可 知 ， 于 是 有 ：。2 4440001cos 2limlilimxx xxo20li1csxxe例 6.2 解： 时，2 224 241cos1! !xxxoeox由 和 2 24s cs1xf og 可 知 ， ，于是有:。24422001coslimli 01xx xxeo第七章 综合方法求极限前面介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，思维能够发散起来，使得计算大为化简。下面我们来具体看几个例子，体会一下各种方法的融会
19、贯通.sin7.1limxeI例 求 极 限解： 此极限为 型，直接用罗必达则须连续三次而且计算较繁，若先变形0 sinsin(1)1lilimxxxeeIlix（ 这 里 先 确 定 ）sinlimsin0xe txt对 于 极 限 作 变 量 替 换 ： 令 则 有 时 ， ；1li lim1t tt teI I由 罗 必 达 法 则 ， 得由此例不难看初，引入新变量后只须一次罗必达法则，极大地简化了计算.可见，对较繁琐的极限作适当的替换，可转换成另一较简单的极限，极大地降低了计算难度，从而实现了由难而易的转化，使问题得到较好解决. 1172lim2n n例 求 极 限解： 将和式变形：
20、1211 nnn 1nii0, 0,fx上 式 可 看 作 是 函 数 在 的 一 个 积 分 和 （ 将 等 份 ， 取 每 一 小.1ni iniff区 间 右 端 点 函 数 值 作 积 分 和 11limlim2nin 100l|ln2dx1nii某 些 连 乘 积 的 极 限 ， 可 通 过 取 对 数 使 其 成 为 项 和 数 列 形 式 进 而 转 化 成 定 积分实现计算. 2limnn例 73 求解：改通项为：1212121n n nnlimn取 对 数 有 ：12lilnln1n 101lillnixd10l|x22ln12lim4n e用过定积分求极限深刻体现、解释了两
21、者之间的内在联系，充分展示了数学概论的内在统一性、协调性，数学的优美和谐令人叹为观止. 201coslinx例 74 求 22 22 200 0sinsinlimli limscocoxx xxx解 法 20i1lisncxx注：此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法. 22220002sisisin1cos 11limllminnxxx x解 法 2 注：此解法利用三角和差化积法，配合使用两个重要极限法. 2222300001cos1cossinsin1lilillin4xxxx解 法 3 注：此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则. 222440001cos1cos
22、 1limlilimninsinxx xx解 法 4 注：此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法. 22 42 200001sin1coslimllimlin()2xxxx解 法 5 注：此解法利用三角和差化积法配合使用无穷小代换法. 22000cs1cossinlililincoxuuu u解 法 6 令0liossi2u注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则. 2 2220001cin1limlilimsncstanxx x 解 法 7 注：此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限.参考文献：1孙彩云.求解极限的思想方法小结J四川教育学院报，Vol.20.No.2.200
23、4.109110.2张再云，陈湘栋，丁卫平，涂建斌.极限计算的方法小结与技巧J湖南理工学院报（自然科学版），Vol.22.No.2.Jun.2009 16173王伟珠.求极限计算机中两重要极限应用分析J现代商贸业，2009.4顾建吾.幂指函数极限求值的一点研究 J 常州工业技术学院学报（自然科学版）,Vol.11.No.4Dec.1998.6871.5刘花璐.关于极限计算的探讨J黄石理工学院学报，Vol.23.No.1.Feb2007.3637.6龚东山，刘岳巍，牛富俊.泰勒中值定理在一类极限计算中的应用J巢湖学院学报,Vol.10.No.6.2008.148151.7卢刚夫.转化思想在极限计算中的运用J建材高教理论与实践，Vol.20.No.2.2001.9899.致 谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的导师王家正老师.王老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料到设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中王老师都给予了我悉心的指导. 另外，在论文修改期间，许多同学给我提出了诸多宝贵的意见和建议，在此一并致谢._年_月
