1、2014 年北京理工大学数学建模竞赛第一级竞赛时间：2014 年 3 月 28 日早 8:00 点-2014 年 4 月 10 日早 8:00 点要求，从 AB 两个题目中，任选一题试题 A：关于贷款的问题现代社会人们经常需要利用贷款来进行一些经济活动，比如贷款创业，贷款买房，贷款买车等等，但是贷款利息及每月还款额等等是怎样计算的呢？如果假设采用等额还贷，已知贷款总额、月利率、总贷款时间，如何计算每月还款额？更一般地，若已知贷款总额、月利率、总贷款时间，每月还款额这四个变量中的任意三个，能否求出另外一个？比如有花旗银行的一则低息现金贷款广告：借 50,000 元, 分 36 期( 月) 还清,
2、 每月还 1,637 元 . 能否求出银行的贷款月利率为多少？为了求出月利率需要解什么样的数学问题，能够手算吗?请查找相关资料，解决上述问题，并思考下面的两个具体案例，进行求解，再写成一篇规范的数学建模论文。1. 甲从一个借贷公司贷款 60000 美元, 年利率为 12%, 25 年还清. 假设是月等额还款(即一月为一期), 问他每月要还多少美元? (答案: 约 632 美元. 总还款额为 189600 美元.)这时有另一家借贷公司出来跟甲说：“我可以帮你提前 2 年还清贷款，并且每个月不需要多交还款”. 该借贷公司提出的条件是 : 1. 每半个月交一次还款，每次还款额是原来的一半(这似乎并没
3、有增加甲的负担); 2. 因为每半个月就要给甲开一张收据, 文书工作多了, 所以要求甲预付 3 个月的还款，即先付 6323 = 1896 美元, (这似乎也有一定的道理).甲想了想：提前两年还清贷款就可以少还 63224= 15168 美元, 而先付的1896 美元只是 15168 美元的八分之一. 于是甲认为这是一笔合算的买卖. 试问这另一家借贷公司是会赔钱(它是一家慈善机构！)还是仍然可以赚钱? 把原来的一期( 一个月)拆分为相等的两期, 从而将每期的还款额 x 替换成 x/2,每期的利率 r 替换成 r/2 确实能够提前还清吗 ? 如果是, 能提前多少时间还清? 2为什么同样的借贷利率
4、，总还款额(本息合计)会有不同呢?请仔细阅读 1998 年 12 月 30 日金陵晚报下面的报道: “一笔总额为 13. 5 万元的个人住房组合贷款, 在两家银行算出了两种还款结果,而差额高达万元以上, 这让首次向银行借款的江苏某进出口公司程姓夫妇伤透了脑筋. 据介绍, 小程打算贷 8 万元公积金贷款和 5.5 万元商业性贷款, 他分别前往省建行直属支行和市建行房地产信贷部咨询, 其结果是, 这 13. 5 万元贷款, 分 15 年还清 , 在利率相同的情况下省建行每月要求还本付息 1175. 46 元（其中公积金贷款 660. 88 元, 商业性贷款 514. 58 元）, 而市建行每月要求
5、还 1116. 415元（其中公积金贷款 634. 56 元，商业性贷款 481. 855 元）. 按贷款 180 个月一算, 省建行的贷款比在市建行贷款要多 10628. 1 元. 但两家银行均称, 结果不一样纯属正常. 有关行家向记者解释说, 省建行虽然也是等额还款, 但实行的是先还息后还本原则, 用行话说就是按月结息, 每月还本还息不等, 但每月总额一样. 举个简单的例子, 若每月等额还款 1,000 元, 第一个月还本息分别为 100 元、900 元，而第二个月还本息分别变为 200 元、800 元, 依此类推. 而市建行实行的是较便于市民理解的等本、等息、等额还款法. 为不让市民首期
6、还款时面对巨额利息为难, 该行取了一个利息平均值, 平摊到每个月中. 上述两种算法都是人民银行许可的. 值得一提的是, 小程夫妇的麻烦已引起了央行的重视, 为规范个人住房贷款计息办法, 央行重新明确了个人住房贷款的利息计算方法. 从 1999 年 1 月 1 日起, 除保留每月等额本息偿还法外 , 又推出了利随本清的等本不等息递减还款法公式是：每月还款额=(贷款本金 贷款期月数)(本金 已还本金累计额)月利率. 同一笔贷款按这两种方法计算还款, 偿还总金额相同.请回答下面的问题: 1.省建行的“每月等额本息偿还法（先还息后还本原则） ”中的每月还款额是怎样算出来的? 2.央行推出的“ 利随本清
7、等本不等息偿还法 ”的每月还款额是怎样算出来的 ? 并用市建行的结果进行计算. 3.市建行的“等本、等息、等额还款法” 是怎样得到的 ?4.试分析这三种算法的不同之处及利弊.B 题：阅读所给材料并回答后面的问题材料：Design a ContainerConsider a container that is stored within the wall. The container is formed as a sphere surmounted by a cone (like an ice cream cone), the base of which is equal to the radi
8、us of the sphere. If the radius of the sphere is restricted to exactly 6ft and a surface area of 450 ft2 is all that is allowed in the design（see the following figure）, find the dimensions and such that the volume of the container is a maximum. 1x2Problem Identification Maximize the volume of the co
9、ntainer while meeting the design restrictions.Assumptions There are many factors that can influence the design of a container. For our model we include the shape and dimensions, volume, surface area, and radius of the sphere corresponding with the following figure.Model Formulation We define the fol
10、lowing variables: the volume of the conical top, which equalscV12xrthe volume of the cut sphere, which equals s 2234614xrr: the volume of the containerscwV1x2x6ftrthe surface area of the cone, which equals cS 214xrthe surface area of the sphere (spherical cap)sS 224xr: the total surface areascTSWe w
11、ant to maximize the volume of the container. The total available surface area wVconstrains the containers volume. Thus, the problem is to TMaximize 223121 464),( xrrxxf subject to 5042221xrxrModel Solution We employ the method of Lagrange multipliers to solve this equality constrained optimization p
12、roblem. We set up the function 4504236131),( 2212221 xrxrxLWe substitute and into the equation to simplify the expression: 6r4.310.264.392. 395.9),(1221 xxxLTaking the partial derivatives of L with respect to , , and and setting them 1equal to zero gives 01.264.3942. .57.10942.9122/11 xxLxxUsing a c
13、omputer algebra system, we find the solution to beft, ft, , which implies ft3.95.1x6.2x83.17289),(21xfModel Sensitivity The Lagrange multiplier means that if the total surface area .is increased by one unit, then the volume of the water container will increase by approximately 1.83ft3.请按照“ 合理假设、建立数学
14、模型、求解数学模型、解释验证” 的步骤来研究问题的求解过程。若发现其中的不妥、错误之处，请给出正确求解方法，然后回答以下问题：1. 你认为它有没有证明得到的确实达到最大值，而且是唯一的。如果你认为它没有证明，那么你能证明吗？如果你试图去证明，你碰到什么样的困难？2. 如果你认为问题的求解甚至假设都有问题，请明确指出来，并证明之。3. 你能把这个条件约束优化问题转化为无条件约束优化问题，并“严格证明”该问题存在唯一解吗？4. 如果你认为问题的提法有问题，那么你认为应该怎样正确表述问题。5. 你们在解决本问题时，至少用了数学软件的一部分功能。数学软件是万能的吗？应用数学软件必须“ 受人驾驭 ”或在适当的时候要 “人为介入”，是这样吗？你们是否体会到数学理论的根本重要性？值得思考的问题：一经严格证明的数学理论是不能违背的；但是当把严格的理论用于具体的问题时(目标函数和约束条件) 往往很难手算，甚至根本无法手算。为了解决各种更为复杂的实际问题，符号演算、计算机代数系统、各种强有力的数学软件就得到迅速发展。你们在解决本问题时使用了某些数学软件，你们认为能 100%相信这些数学软件吗？说明你们的理由。
