1、- 1 -长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练泰勒公式及其解题应用系 （部）： 信息与计算科学 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031128 学 生 姓 名： 叶平浩 成 绩： 2012 年 月- 1 -泰勒公式及其应用叶平浩长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022摘 要 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式, 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，本文针对泰勒公式的应用讨论了三个问题，即应用泰勒公式求极限，判断级数的求初等函数的幂级数展开式,进
2、行近似计算 关键词 泰勒公式极限展开式近似计算1 .泰勒公式定义 1.11 若函数 在 存在 阶导数,则有f0xn= + （x- ）+ (x- +()f00()1!f0x0()2!f20x+ （x- + - (1)()0!nf0)n(o0)n这里 - 为佩亚诺型余项,称(1)为函数在点 的泰勒公式.(ox0)n 0x当 =0时,（1）式变为0= + x+ + +()fx0()1!f2(0)!fx()0!nfx()no称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式，- 2 -定义 2.2 若函数 在 某邻域内为存在直至 n+1阶的连续导数,则f0x= + - + - +()f0)f0(fx0)0(2!
3、fx2)+ - + (2)()0!nf0)n(R这里 为拉格朗日余项 ,其中 在 与 之间,称()nRx(1)10)!nnnfRxx&=&x0（2）为 在 的泰勒公式.f0当 =0时,（2）式变成0x () 2(0)0()0.()!nnfffxfxxR=称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式： 2 +1 1+ . + !()!nxx nee3522sin= ()nxo-.24622co1 + .+(1) ()!nnx 23ln()x=-1()n-()o 2(1)mx-+!+1)nmx-+!()o2= . ()nxo2 .泰勒公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限- 3 -例
4、 11 求极限1sin2limscoxxe 0-分析：此为 型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将 和 sinx, 分cosxxe别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由 1sin2xxe-=23 31()()626xoo+-1(-+, 343()()2=+3233sincos()(1()6xxoxo-=-3()+于是 1sin2limscoxxe 0-33()162o+=2.2 利用泰勒公式求非初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式： 2000 0()()()fxfxfx=+-+-!+00()nnfx-!+可以求得。例 22 用间接法求非初等函数 dte
5、xFx02)(的泰勒展开式- 4 -解 以 代替 展开式中的 的，得2xxex ,!)1(!32!12642 nxxx在逐项求积就得到 在 上的展开式)(xF),dtex02)( 12!)(7!3153!1 nxxx2.3 在近似计算方面的应用必须要注意的是，泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似运算时， 不x能远离 否则效果会比较差0x例 33 计算 ，使其误差不超过 e610解 由泰勒公式展开，有 )210(,)21!()2!)2(!1 nnnee ,)!1()(!1)( 11nnnneR当 n=7 时， 687 0569)2!)( 于是 48721.)21(!7)1(!17e参考文献1 康元泰勒公式及其应用D 山西：数学科学学院，20102 华东师范大学数学系数学分析（第三版）下册M 高等教育出版社，2001：52-57.3 刘鹏浅谈泰勒公式及其应用 J 科技信息，2001，第九期.- 5 -
