1、太原市 2018 年高三模拟试题（一）数学试卷（文史类）第 I 卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合集合集合集合故选 A.2. 设复数 满足 ，则 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 的共轭复数为故选 A.3. 已知命题 ；命题 若 ，则 ，则下列为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以命题 为真； 命题为假，所以 为真，选 B.4. 执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）A. B.
2、C. 3 D. 2【答案】D【解析】 ，所以 ，选 D.5. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）A. 3 B. 9 C. 18 D. 27【答案】D【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 . ，即故选 D.6. 函数 的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 的定义域为函数 为奇函数，故排除 B，C. ，故排除 D.故选 A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上
3、述方法排除、筛选选项7. 已知不等式 在平面区域 上恒成立，则动点 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】A【解析】令 .不等式 在平面区域 上恒成立函数 在可行域要求的条件下， 恒成立画出平面区域 如图所示：当直线 过点 或点 或 或 时，有：，点 形成的图形是图中的菱形 .所求的面积故选 A.8. 抛物线 的焦点为 ，设 是抛物线上的两个动点， ，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ， .抛物线 的焦点为由余弦定理得又 ，当且仅当 取等号 的最大值为故选 D.9. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度
4、为（ ）A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥 ：其中，四边形 为边长为 1 的正方形， 面 ，且 ， . ， ， ， ,最长棱为故选 A.点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；画出整体，然后再根据三视图进行调整.
5、10. 已知函数 ，若 ，在 上有且仅有三个零点，则 （ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】函数 ， 或 或函数 在 上有且仅有三个零点 或故选 C.11. 三棱锥 中， 底面 为正三角形，若 ，则三棱锥 与三棱锥 的公共部分构成的几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意画出如图所示的几何体：三棱锥 与三棱锥 的公共部分构成的几何体为三棱锥 为正三角形， 底面 ， ，四边形 为矩形，则 为 与 的中点三棱锥 的高为三棱锥 的体积为故选 B.12. 已知定义在 上的函数 满足 ，设 ，若 的最大值和最小值分别为 和 ，则 （ ）A. 1 B. 2 C.
6、 3 D. 4【答案】B【解析】 ，函数 关于点 对称 的最大值和最小值分别为 和故选 B.A1 B2 C. 3 D4第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 道，每小题 5 分，共 20 分13. 若双曲线 的离心率为 2，则 _【答案】【解析】双曲线 的离心率为 2故答案为 .14. 函数 在点 处的切线方程是 _【答案】【解析】函数函数 在点 处的切线方程是 ，即 .故答案为 .点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的切点的切线方程为：若曲线 在点 的切线平行于 轴（即导数不存在）
7、时，由切线定义知，切线方程为 15. 在正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则实数_【答案】【解析】试题分析：设正方形边长为 ，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，故 ，解得 .考点：向量运算16. 已知数列 满足 ， 为数列 的前 项和，则 的值为_【答案】2016【解析】数列 满足 ，且 ，则 .故答案为 .三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 的内角为 的对边分别为 ，已知 （1）求角 ；（2）若 ，当 的面积最大值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用正弦定理得： ，进而 ，即可求出角 ；（2）由 ，利用余弦定理建立等式关系，
8、结合不等式的性质求解 的最大值，可得 面积的最大值试题解析：（1）利用正弦定理得： ，.又（2）由余弦定理得： . ，当且仅当 时取等号 18. 某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱现统计了连续 5 天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6收入 （单位：元） 165 142 148 125 150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前 20 名，获一等奖学金 500 元；综合考核 21-50 名，获二等奖学金 300 元；综合考核 50 名以后的不获得奖学金（1）
9、若 与 成线性相关，则某天售出 9 箱水时，预计收入为多少元？（2）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过 1000 元的概率附：回归方程 ，其中 【答案】 （1）206；（2） .【解析】试题分析：（1）由题意可求得 ， ，从而求得 ， ，即可求出线性回归方程，将代入求出即可；（2）设事件 ：甲获一等奖；事件 ：甲获二等奖；事件 ：乙获一等奖，事件 ：乙获二等奖，事件 ：丙获一等奖；事件 ：丙获二等奖，利用列举法能求出三人获得奖学金之和不超过 1000 元的概率试题解析：（1）由题意可得 ，.当 时， ，即某天售出 9 箱水的预计收益是
10、206 元（2）设事件 ：甲获一等奖；事件 ：甲获二等奖；事件 ：乙获一等奖，事件 ：乙获二等奖，事件 ：丙获一等奖；事件 ：丙获二等奖，则总事件有：，8 种情况甲、乙、丙三人奖金不超过 1000 的事件有 1 种情况，则求三人获得奖学金之和不超过 1000 元的概率 点睛：求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，点 在线段 上，且 为 的中点（1）求证： 平面
11、；（2）若平面 平面 ，求三棱锥 的体积【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）由 为 的中点可得 ，在底面菱形中结合已知条件证得 ，然后由线面垂直的判断得到 平面 ；（2）由 可得，根据平面 平面 结合面面垂直的性质得到 ，然后根据，即可求解试题解析：（1） 为 的中点， ，又底面 是菱形， ， 为等边三角形，又 平面 ，（2）又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 ，又 20. 已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，点 在椭圆 上（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 交于 两点，直线 分别与 轴交于点 ，在 轴上，是否存在点 ，使得无论非零实数 怎样变化，总有
12、为直角？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）存在点 ，使得无论非零实数 怎么变化，总有 为直角，点 坐标为 或 .【解析】试题分析：（1）依题意， ，结合点 在椭圆 上及 ，即可求得椭圆 的方程；（2）设 ，则 ，联立直线与椭圆的方程，求得 ，根据 得 所在直线方程，即可分别得到 与 的坐标，结合 为直角，列出等式，即可求解.试题解析：（1）依题意， .点 在 上， ，又 ，椭圆方程为（2）假设存在这样的点 ，设 ，则 ，联立，解得 ， 所在直线方程为 ， ，同理可得 ， ，. 或存在点 ，使得无论非零实数 怎么变化，总有 为直角，点 坐标为 或 点睛： （1
13、）存在性问题通常采用“肯定顺推法” ，将不确定性问题明朗化解题时可先假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在；（2）由于解析几何问题的解答中一般要涉及到大量的计算，因此在解题时要注意运算的合理性和正确性21. 已知函数 （1）求函数 的极值；（2）若对任意给定的 ，方程 在 上总有两个不相等的实数根，求实数的取值范围【答案】 （1） 时， 无极值； ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）对函数 求导，对 进行分类讨论，结合单调性即可得函数 的极值；
14、（2）对函数 求导，得 的单调性，从而得 的值域，根据方程 在上总有两个不相等的实数根，只需满足 ，即可求得实数 的取值范围试题解析：（1） ，当 时， 在 单调递增， 无极值；当 时，令 ，解得 ，故 在 递增， 递减， .综上所述， 时， 无极值； ， （2） ，令 单增； 递减时， 依题意， ，由 ，得 ，由 ，即 ，令 ，可知 单增，且 . ，得综上所述， 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形
15、结合的思想找到解题的思路.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑22. 在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数，） ，以 为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）求已知曲线 和曲线 交于 两点，且 ，求实数 的值【答案】 （1） , ；（2） 或 .【解析】试题分析：（1）对曲线 进行消参即可得曲线 的普通方程，根据 和将曲线 化为直角坐标方程；（2）将曲线 的参数方程代入曲线 ,根据参数方程的几何意义可知 ， | |，利
16、用 ，分类讨论，即可求实数 的值试题解析：（1） 的参数方程 ，消参得普通方程为 ，的极坐标方程为 两边同乘 得 即 ；（2）将曲线 的参数方程 （ 为参数， ）代入曲线 得，由 ，得 ，设 对应的参数为 ，由题意得 即 或 ，当 时， ，解得 ，当 时， 解得 ，综上： 或 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)根据不等式解集化简绝对值得 ，解得 ，再根据不等式恒成立得 ，即得 的取值范围试题解析：解：（1）当 时， ， 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ；综合可知，原不等式的解集为 （2）由题意可知 在 上恒成立，当 时，从而可得 ，即，且 ， ，因此
