1、教研室主任 (签字)： 系主任(签字)：第 1 页 共 6 页广西师范大学漓江学院试卷（2008 2009 学年第二学期）课程名称：常微分方程 课程序号： 开课院系：理学系任课教师：陈迪三 年级、专业：07 数学 考试时间：120 分钟 考核方式：闭卷 开卷 试卷类型：A 卷 B 卷 一、填空题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)(请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分) .1、方程 有积分因子 的充要条件为 .0d),(),(yxNyxM()uy1()NMyx2、 连续是保证 对 满足利普希茨条件的 充分条件 条件),(fy ),(f3、函数组 的朗斯基行列式值为
2、tte2, 2264tttttttee4、若 是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们 无 (有或无)共同零)(),(21xy点5、若矩阵 具有 个线性无关的特征向量 ，它们对应的特征值分别为 ，Annv,21 n,21那么常系数线性方程组 的一个基解矩阵 = .Ax )(t12,nttteve二、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.)(请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分)1、形如 的方程是（ D ）.()ndyPxy(0,1)A欧拉方程 B贝塞尔方程 C黎卡尔方程 D伯努力方程 得 分评卷人得 分评卷人年 级： 专 业： 装订密封线考生答题不得出现红色
3、字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。第 2 页 共 4 页2、设 连续， 是 在 上的两个线性无(),pxq)(,21xy()0pxyq(,)关解，且 ，则（ A ）. 1(0), 0y（A） （B）()q()1,()（C） （D）(),1p0pq3、二阶非齐次线性微分方程的所有解（ C ） （A）构成一个 2 维线性空间 （B）构成一个 3 维线性空间（C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间4、如果 ， 都在 平面上连续，而且 有界，则方程 的),(yxff),(xoy),(yxf ),(dyxf任一解的存在区间（ A ） （
4、A）必为 （B）必为),(),0(（C）必为 （D）将因解而定05、若 是齐次线性方程组 的一个基解矩阵， 为非奇异 常数矩阵，那么()x()dYAxTn是否还是此方程组的基解矩阵（ B ）.T(A) 不是 (B) 是 (C) 也许是 (D) 也许不是三、计算题(本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分)(求下列微分方程的通解) .1、 ； 2dyx1、解：将方程变为 .（2 分）2()x则有 （1 分）21()yd从而得 ( 为任意的常数） （3 分）22lnxc得 分评卷人得分第 3 页 共 4 页2、 ；0)d(d)(3223 yxyx解：由于 ，所以原方程是恰当方程 （2 分 ）
5、NM假设存在 使得它同时满足方程： 和 （1 分 ）u32uxy23uxy则有 且 ，所以 （2 分 ）421()xy2()3()，即原方程的通解为： （1 分）4()y424xyC3、 ； “2costxe解：齐次方程的特征方程为 21,20i齐次方程的通解为 （2 分） ).snco(1ttext令 ，并求其特解如下：tix)(“2由于 是单根，故设特解为 i1(1)(itxtABe代入原方程比较系数得 .4,i所以 ).cos(in)si(co4tttttex则原方程有特解 （3 分）Rx1et故原方程的通解为 （1 分）)sic(21ttext ).sin(c4ttt4、 ；2“30t
6、x解：令方程的解为 ，代入原方程有 （3 分） kxt(1)30k于是 （二重） （1 分）故原方程的通解为 （2 分）k 2ln|xctt四、解答题(本题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分)(写出解题的详细步骤) .（1）设函数 连续且满足 ，求 .()x00()()()xxetdt()x得 分评卷人得分第 4 页 共 4 页解：两边关于 求一阶导数，有 （2 分）x0()()xetd两边关于 再求一阶导数，得 （2 分）x即 而且 （1 分）()xxe(0)1而方程 的解表示为 （3 分）() 2cosinxxe由 ，可得 （2 分）(0)1()si2x（2）求方程组 满足初始条
7、件 的解.3dxyt 1)0(解：方程组的特征方程为，所以特征根为 （二重） （2 分）231(3)003对应齐次方程组的基解矩阵 （3 分）331exp()0t tAIEe满足初始条件的特解 （2 分）0()xp(tttAsfd （3 分）3330133321311=0=tt tsttttteeee五、证明题(本大题共 2 小题，每小题 13 分，共 26 分)(写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后) .1、假设 是二阶齐次线性方程 的解，其中01tx021xtatx在区间 上连续，试证：ta21和 b,（1） 是方程的解的充要条件为： ；x0,2121xwax（2）方程的通解可
8、以表示为： ，其中 21211 0epcdtsxcxtt为常数, .21cbat,0得 分评卷人第 5 页 共 4 页证：（） 0,2121xwax （6 分）的 解 。为即 (*)0,02 12121 21212121xxaxxax （）因为 为方程的解，则由刘维尔公式1, tttt dsadsaetwxxetx010102121 021 :,即（3 分）两边都乘以 则有： ，于是：21xttdsaextwdtx0121012 （4 分）12212 22112 0101 xcdtexcxctectttt sasa 即 ：第 6 页 共 4 页2. 设 和 是方程 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式)(1xy)(2xy0)(yxq，其中 为常数.cxw)(证明：因为 方程 的任意两个解 12(),()yx)(yx所以 ， （4 分）1 2()0, 0xqq 于是 构成的伏朗斯基行列式2, （5 分）12()xW1212()()() 0xxWq由于 和 是方程 的解，)(1y)(y0y因此 ，所以 ，故 （4 分）1220,()xqxqx ()0wx()xc学 号： 姓 名： 所属院系：
